若干反問題模型的數(shù)值求解.pdf

1、反問題在醫(yī)學(xué)成像、無損探傷、氣象預(yù)報(bào)、圖像處理、計(jì)量經(jīng)濟(jì)、生命科學(xué)等領(lǐng)域都有著廣泛的應(yīng)用，因此對(duì)它的理論分析和數(shù)值求解有重大的研究意義和應(yīng)用價(jià)值。本文的主要工作就是針對(duì)若干有實(shí)際應(yīng)用背景的反問題模型，系統(tǒng)開展相關(guān)理論分析與數(shù)值求解研究工作。 ⑴討論了一維情形利用帶噪聲均值數(shù)據(jù)進(jìn)行函數(shù)重構(gòu)的問題，提出了一種正則化方法，并證明了該方法解的存在唯一性，再由Banach空間中的優(yōu)化定理給出一系列條件來刻畫解的性質(zhì)，從而發(fā)現(xiàn)解可由樣條函數(shù)

2、表示，通過插值算子的引進(jìn)我們也給出了近似解的誤差估計(jì)，最后用數(shù)值模擬通過圖表說明該方法在實(shí)際計(jì)算時(shí)是可行的和有效的，同時(shí)提出了一些選取正則化參數(shù)的方法。 ⑵將此正則化方法推廣到了二維甚至高維情形，通過輔助空間的引入，同樣證明了此方法解的存在唯一性，并且說明了此解可由格林函數(shù)表示。利用Poincaré不等式給出了近似解的L2模誤差估計(jì)，數(shù)值例子驗(yàn)證了該方法的有效性，其中正則化參數(shù)由多種不同的選取策略決定。 ⑶考慮了腐蝕探測(cè)

3、問題，給出了薄管區(qū)域基于小參數(shù)展開方法的一個(gè)誤差估計(jì)。假設(shè)管壁的厚度為a，對(duì)于提出的兩種方法其誤差度量分別為O(a)和O(a2)。同時(shí)，我們用優(yōu)化控制的思想構(gòu)造了一個(gè)非薄板區(qū)域腐蝕探測(cè)問題的數(shù)值求解方法，數(shù)值實(shí)驗(yàn)證明了該方法的可行及有效性。 ⑷討論了二階線性橢圓型方程的柯西問題，給出了一種數(shù)值方法來求解未知邊界上的信息。該方法通過最優(yōu)控制的思想將原來的柯西問題改寫為等價(jià)的優(yōu)化問題，并通過添加正則化項(xiàng)來克服離散后問題的病態(tài)性，證明