數(shù)學(xué)物理中的若干反問題.pdf

1、數(shù)學(xué)物理反問題是源于物理、生物、醫(yī)學(xué)、地質(zhì)等眾多科學(xué)領(lǐng)域中的實際問題，經(jīng)過數(shù)學(xué)建模而產(chǎn)生的一個新興交叉學(xué)科領(lǐng)域。其特點是問題種類繁多，涉及多學(xué)科領(lǐng)域的理論，大多屬于數(shù)學(xué)中的不適定問題，數(shù)學(xué)理論和方法尚不完善，很多問題的研究依賴于其正問題的研究。本文研究的問題分別屬于下面兩個反問題領(lǐng)域中的問題：未知邊界探測問題和生物電磁場問題．全文共分為四部分： 1．橢圓方程沿直線唯一延拓的條件穩(wěn)定性； 2．波動方程和逆波源問題沿直線唯一

2、延拓的條件穩(wěn)定性； 3．EEG和MEG的正問題； 4．卵球模型的MEG反問題。 在論文的第一部分，我們的主要工作是利用C<'n>中全純函數(shù)的延拓方法討論了R<'n>中一類高階橢圓方程的解沿直線作唯一延拓時的條件穩(wěn)定性。該問題的條件穩(wěn)定性意即：在解的先驗界的假設(shè)下，我們可以由較小部分直線段上解的值來估計較大直線段上的值．該類問題是近些年來研究未知邊界探測反問題中所呈現(xiàn)出來的一種新的反問題．彈性力學(xué)中許多問題是我們這

3、里所討論的橢圓方程類型的重要的實際背景。作為應(yīng)用，我們將該穩(wěn)定性結(jié)果用于彈性力學(xué)中的兩個方程： Lamé方程組和具有解析系數(shù)的Kirchhoff板方程。最后，根據(jù)我們建立的條件穩(wěn)定性結(jié)果，我們針對二維調(diào)和函數(shù)進行了數(shù)值試驗，意在考察這種條件穩(wěn)定性對數(shù)值解的影響。數(shù)值結(jié)果顯示我們得到了較高精度的近似解，并且隨著大線段上的點與小線段右端點之間的距離越小而誤差精度越高，與我們的條件穩(wěn)定性的理論結(jié)果相符合。 論文的第二部分則考察的是波動

4、方程和逆波源問題沿直線的唯一延拓問題，我們通過Fourier-Bros-Iagolnitzer變換，并將波動方程問題化為Laplace方程問題，進而利用Laplace方程的有關(guān)結(jié)果得到了波動方程的解沿直線唯一延拓的對數(shù)型條件穩(wěn)定性結(jié)果。根據(jù)該結(jié)果，進一步研究了逆波源問題，建立了與空間變量有關(guān)的波源項在線段上延拓的條件穩(wěn)定性． 本文的第三部分是醫(yī)學(xué)影像技術(shù)中的問題--腦電圖影像(electroencephalog-raphy，簡記

5、EEG)和磁源影像(magnetoencephalography，簡記MEG)的正問題，求解EEG/MEG正問題是研究通過EEG和MEG測量數(shù)據(jù)來確定腦內(nèi)部神經(jīng)電流源分布的反問題的一個重要組成部分， EEG和MEG的正問題是在假定電流源分布已知的情況下，分別計算腦皮層上的電位勢和腦外部磁場。在Maxwell方程的擬穩(wěn)態(tài)的假設(shè)下，我們給出了適合處理一般的非球腦模型的EEG/MEG問題的解析表達式并利用邊界元加權(quán)殘數(shù)配點法和最小二乘配點法給

6、出了數(shù)值計算的統(tǒng)一框架。然后，我們利用上述兩種方法針對非球模型——卵球模型，分別在單層卵球模型和三層卵球模型下實施了多方位的EEG/MEG正問題的數(shù)值試驗，并且詳細地分析了上述兩種方法在處理單層及三層卵球模型下， EEG和MEG正問題的解相對于偶極子位置和方向變化時的誤差。在各種情形下，得到了穩(wěn)定可靠的EEG和MEG正問題數(shù)值結(jié)果。 第四部研究的是MEG反問題．我們利用均勻卵球體作為人腦模型的近似，該模型比球模型和橢球模型更接近