外文翻譯---帶有垂直傳染和接種疫苗seirs流行病模型的全局穩(wěn)定性

1、<p>　　帶有垂直傳染和接種疫苗SEIRS流行病模型的全局穩(wěn)定性</p><p>　　Global Stability of an SEIRS Epidemic Model with Vertical Transmission and Vaccination</p><p>　　作者： 茍清明 劉春花</p><p>　　起止頁(yè)碼：56--61<

2、/p><p>　　出版日期(期刊號(hào))：2010年11月(1673-9868)</p><p>　　出版單位：西南大學(xué)學(xué)報(bào)( 自然科學(xué)版) </p><p><b>　　外文翻譯譯文：</b></p><p>　　摘要： 本文建立一個(gè)考慮了疾病的水平傳播和垂直傳播以及接種疫苗等因素的傳染病模型，通過(guò)排除周期解、同宿軌和異宿環(huán)的

3、存在來(lái)研究模型的全局穩(wěn)定性， 最后證明系統(tǒng)的全局動(dòng)力學(xué)特性完全由基本再生數(shù)所確定：當(dāng)時(shí)，無(wú)病平衡點(diǎn)是全局漸近穩(wěn)定的；當(dāng)時(shí)，地方病平衡點(diǎn)是全局漸進(jìn)穩(wěn)定的.</p><p>　　關(guān)鍵詞：傳染病模型；垂直傳播；疫苗；全局穩(wěn)定性</p><p>　　中圖分類(lèi)號(hào)：O17513 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A</p><p>　　在許多傳染病模型中，總是假設(shè)人口傳染病是通過(guò)直

4、接接觸感染源或通過(guò)諸如蚊子等媒介叮咬，或通過(guò)水平傳播.但是許多傳染病不僅有水平傳播還有垂直傳.垂直傳播也可通過(guò)媒介的胎盤(pán)轉(zhuǎn)移完成，如乙肝，風(fēng)疹，皰疹的病原體.對(duì)昆蟲(chóng)或植物而言，往往是通過(guò)垂直傳播如卵或種子.Busenberg等人討論了疾病的水平傳播和垂直傳播問(wèn)題.在本文中，我們假設(shè)疾病既有水平傳播又有垂直傳播.我們假定人口具有指數(shù)出生，人口被均勻分為四個(gè)倉(cāng)室：易感染者(S)，潛伏者(E)，染病者(I)和恢復(fù)者(R). 因此總?cè)丝跒?&l

5、t;/p><p>　　我們認(rèn)為這種疾病不是致命的，人均自然出生率和死亡率分別記為參數(shù)b和d.我們假設(shè)，潛伏者的新生兒進(jìn)入易感者類(lèi)，而染病者的新生兒有q比例是感染者.因此進(jìn)入潛伏者類(lèi)的新生兒為bqI，.對(duì)于染病者類(lèi)，我們假設(shè)δ比例的染病者具有永久免疫力，進(jìn)入R類(lèi)，r比例的染病者沒(méi)有免疫力，進(jìn)入S類(lèi)，模型假設(shè)易感者類(lèi)的接種比例為θ. 根據(jù)上述假設(shè)，得到如下微分方程</p><p><b>

6、;　　(1)</b></p><p>　　這里β是常規(guī)接觸率，參數(shù)μ是從E類(lèi)到I類(lèi)的轉(zhuǎn)換率.參數(shù)b，d，β，μ為是正數(shù)，θ，σ，r為非負(fù)數(shù).</p><p>　　設(shè)x=S/N; y=E/N; z=I/N和ω=R/N分別表示S，E，I，R在總?cè)丝谥械谋壤?易證x，y，z，ω滿(mǎn)足下列微分方程：</p><p>　　(2)

7、 </p><p>　　受的限制，由于變量不出現(xiàn)在方程組（2）的前三式中，這使我們減少方程（2）得到一個(gè)子式.</p><p><b>　　(3)</b></p><p>　　在可行的區(qū)域內(nèi)，我們從生物角度研究(3)式</p><p><b>　　(4)</b>&l

8、t;/p><p>　　在V中(3)式的動(dòng)態(tài)學(xué)行為和疾病傳播是由如下基本再生數(shù)決定的</p><p><b>　　(5)</b></p><p>　　本文的目的是要證明(3)的動(dòng)力學(xué)行為由決定.</p><p><b>　　1 數(shù)學(xué)框架</b></p><p>　　我們簡(jiǎn)要概述一個(gè)

9、一般的數(shù)學(xué)框架，證明了一個(gè)常微分方程系統(tǒng)的全局穩(wěn)定性，這是在文獻(xiàn)[3]中提到的.</p><p>　　令是一個(gè)函數(shù)，x屬于開(kāi)集.讓我們考慮如下微分</p><p><b>　　(6)</b></p><p>　　我們記是式(6)中使得的一個(gè)解.如果每個(gè)對(duì)于和充分大的t，則(6)式中集合K收斂于D.</p><p>　　我

10、們提出兩個(gè)基本假設(shè)：</p><p>　　存在一個(gè)緊的吸引集合K?D.</p><p>　　在D中(6)具有唯一的平衡點(diǎn).</p><p>　　若是局部穩(wěn)定且在D中所有的軌跡收斂到，則唯一的平衡點(diǎn)是全局穩(wěn)定的.</p><p>　　對(duì)于可行區(qū)域是有界圓錐體的傳染病模型，是等價(jià)于(6)的一致持久性.</p><p>　　

11、對(duì)于x∈D，設(shè)是一個(gè)矩陣值函數(shù)為的.假設(shè)當(dāng)x∈K，K為緊集時(shí)，存在，且為連續(xù)的.一個(gè)數(shù)量定義為</p><p><b>　　(7)</b></p><p><b>　　(8)</b></p><p>　　矩陣是通過(guò)P沿f方向的導(dǎo)數(shù)來(lái)代替P的每個(gè)元素得到的，、和是第二加性復(fù)合矩陣f的雅可比矩陣和及μ(B)是B的Lozinsk

12、ii測(cè)度，其向量范數(shù)為中的范數(shù).</p><p>　　文獻(xiàn)[3]中定理3.5給出了如下全局穩(wěn)定性結(jié)果.</p><p>　　定理1 設(shè)D是單連通的，而且假設(shè)，成立.如果<0的，則(6)的唯一的平衡點(diǎn)在D是全局穩(wěn)定的.</p><p>　　文獻(xiàn)[3]證明了在定理1的條件下，條件<0排除了(6)中有不變閉曲線的可能性，如周期解，同宿軌和異宿軌，因而它蘊(yùn)含了x

13、的局部穩(wěn)定性.</p><p>　　使用定理1來(lái)分析(3)的全局穩(wěn)定性，設(shè)V，定義分別為(4)，(5). 易證V是系統(tǒng)(3)的正不變集.</p><p>　　2 模型(3)的定性分析</p><p>　　易證，如果是模型(3)在V中的唯一平衡點(diǎn)；如果V的內(nèi)部存在唯一的地方病平衡點(diǎn).</p><p>　　定理2 如果，系統(tǒng)(3)的無(wú)病平衡點(diǎn)在V

14、中是全局漸近穩(wěn)定；如果則它是不穩(wěn)定的，從足夠靠近0E出發(fā)的軌線遠(yuǎn)離，從x?軸出發(fā)的軌線沿x?軸趨向于.</p><p><b>　　證明 令</b></p><p><b>　　則如果，，</b></p><p>　　而且，如果；否則，如果，則在V中y=z=0.因此集合中的最大緊不變集是單點(diǎn)集.當(dāng)時(shí)，的全局穩(wěn)定性由Lasa

15、lles不變集原理得到.</p><p>　　如果，則除了y=z=0的情形，當(dāng)x足夠接近時(shí)候，.因此，從足夠接近出發(fā)的軌線遠(yuǎn)離，從X軸出發(fā)的軌線滿(mǎn)足系統(tǒng)(3)的方程，從而當(dāng)t→∞，.</p><p>　　當(dāng)時(shí)，V中系統(tǒng)(3)的全局動(dòng)力學(xué)完全由定理2決定.其流行病學(xué)含義是，受感染人口在總?cè)丝谥械谋壤?即潛伏者和染病者比例之和)隨著時(shí)間而趨于零.</p><p>　　引

16、理1 如果，此時(shí)系統(tǒng)(3)在v中是一致持久的，也即存在一個(gè)常數(shù)0<ε< 1使得從出發(fā)的任意解都滿(mǎn)足</p><p>　　證明 我們運(yùn)用參考文獻(xiàn)[4]中的定理4.5來(lái)證明此引理.為了證明當(dāng)，系統(tǒng)(3)滿(mǎn)足定理4.5的所有條件，我們選擇V=X，，V.那么</p><p>　　是X中的一個(gè)不變集，令，由定理2知，包含的同宿軌道不存在，而且M是一個(gè)弱排斥子.因此M是的非循環(huán)的，孤立的，

17、覆蓋.因此，文獻(xiàn)[4] 中定理4.5 的所有條件系統(tǒng)(3)都滿(mǎn)足，因此引理得證.</p><p>　　為了證明地方病平衡點(diǎn)*E的全局漸近穩(wěn)定性，我們需要另一個(gè)引理.</p><p>　　引理2 假設(shè)是(3)的解且.如果，則存在，當(dāng)時(shí)，解滿(mǎn)足.</p><p>　　證明 由(3)的第一個(gè)方程知</p><p>　　如果bq≥r，顯然成立.如果b

18、q<r，令. 當(dāng)時(shí)，易得，因此， ，從而當(dāng)時(shí)，.因此，當(dāng)t從分大時(shí)，有.從而引理結(jié)論得以證明.</p><p>　　定理 3 假定，那么在V中，唯一的地方病平衡點(diǎn)是全局漸近穩(wěn)定的.</p><p>　　證明 通過(guò)第一節(jié)的討論以及引理1，我們看到系統(tǒng)(3)滿(mǎn)足假設(shè)和.</p><p>　　系統(tǒng)(3)的通解的雅可比矩陣J為：</p><p>

19、;　　其第二復(fù)合加法矩陣為：</p><p><b>　　(9)</b></p><p>　　關(guān)于復(fù)合矩陣及其性質(zhì)的詳細(xì)討論，請(qǐng)讀者參考文獻(xiàn)[9].</p><p>　　設(shè)(8)中的函數(shù)P(x)為，則</p><p><b>　　，</b></p><p>　　(8)中的矩陣

20、，可以被寫(xiě)成矩陣塊的形式</p><p><b>　　當(dāng)，</b></p><p><b>　　， ，</b></p><p><b>　　在中，向量范數(shù)選作</b></p><p><b>　　.</b></p><p>　　讓?duì)?/p>

21、(.)表示該對(duì)應(yīng)范數(shù)的Lozinskii度量.利用文獻(xiàn)[11]中估計(jì)μ(.)的方法，得</p><p><b>　　(10)</b></p><p><b>　　其中</b></p><p>　　表示在中的范數(shù)對(duì)應(yīng)的的Lozinskii度量.由于為標(biāo)量，對(duì)于中的任意范數(shù)的Lozinskii度量都是等于.，是對(duì)應(yīng)于范數(shù)的矩陣

22、范數(shù).因此，這里</p><p>　　由引理2知，當(dāng)時(shí)，有，.</p><p><b>　　因此，當(dāng)時(shí)，</b></p><p><b>　　(11)</b></p><p><b>　　(12)</b></p><p><b>　　重寫(xiě)(3)

23、，我們有</b></p><p><b>　　(13)</b></p><p><b>　　(14)</b></p><p>　　將(13)代入到(11)，(14)代入(12)，我們可得，當(dāng)時(shí)，</p><p>　　由此得 根據(jù)(3)式的是緊促吸收集.對(duì)于，有</p>&l

24、t;p>　　從(7)可知，這就完成了證明定理3.</p><p>　　3 人口數(shù)量的動(dòng)態(tài)學(xué)行為</p><p>　　現(xiàn)在考慮和構(gòu)成的動(dòng)力學(xué)行為，它們有系統(tǒng)(1)來(lái)控制.由于(1)的前三個(gè)方程中沒(méi)有出現(xiàn)R (t)，因此我們研究其等價(jià)系統(tǒng)：</p><p><b>　　(15)</b></p><p>　　顯然，人口總

25、量N(t)可能增加、減少或?yàn)槌?shù)，其完全依賴(lài)于增長(zhǎng)率r=b?d.</p><p>　　比例(x ，y ，z)可能趨向于或地方病平衡點(diǎn)，但是感染者比例的變化并不能給提供我們關(guān)于染病者(包括E類(lèi)和I類(lèi))行為變化的信息.特別地，即使被感染的個(gè)體的總數(shù)呈指數(shù)增加，但以比人口總量增長(zhǎng)率低，那么這兩者所占的比重將趨向于零，然而，被感染個(gè)體的總數(shù)趨于無(wú)窮.我們也能夠想象出相反的情況——感染者的數(shù)量和人口總量的下降到零，但是二者

26、比例一直保持(非零)常量不變.在這種情況下，只要人口總量非零，就一定存在感染者.為了描述的變動(dòng)情況，我們需要另外兩個(gè)閾值參數(shù)(文獻(xiàn)[12]中有介紹).以下是相關(guān)的閾值參數(shù)：</p><p>　　我們得到以下兩個(gè)定理.</p><p>　　定理4 (a) 易感者的數(shù)量以指數(shù)漸近率b?d增加(減小).</p><p>　　(b) 假設(shè)，如果或，則.</p>

27、<p>　　證明 (a)由定理2知，意味著?由(1)的第一個(gè)方程，我們有.由定理3知，當(dāng)時(shí)，. 方程(1)的第一個(gè)方程除以S并取極限得：</p><p>　　由(3)的第一個(gè)方程可知，平衡點(diǎn)滿(mǎn)足方程</p><p><b>　　因此 </b></p><p>　　(b)通過(guò)E(t)，I(t)的方程來(lái)研究其行為：</p&g

28、t;<p><b>　　(16)</b></p><p>　　這是線性系統(tǒng)的一個(gè)擾動(dòng).(16)的線性主部的解正如定理中所描述的那樣，因?yàn)楫?dāng)t→∞時(shí)，擾動(dòng)部分以指數(shù)衰減(見(jiàn)參考文獻(xiàn)[10]，第3章定理2 3)，則(16)的解與其線性系統(tǒng)的解行為相同.</p><p><b>　　定理5 假定.</b></p><p

29、>　　如果數(shù)量下降(增加).而且指數(shù)漸進(jìn)增長(zhǎng)(下降率)為</p><p><b>　　(17)</b></p><p>　　如果數(shù)量下降(增加).而且指數(shù)漸近增長(zhǎng)(下降率)為</p><p><b>　　(18)</b></p><p>　　證明 由定理3知：如果，則且</p>

30、<p><b>　　(19)</b></p><p><b>　　因此</b></p><p><b>　　(20)</b></p><p>　　由(1)的第二個(gè)方程，方程(19)及方程(20)，可得(17).由(1)的第三個(gè)方程及方程(20)，也可得到(18).</p>&l

31、t;p>　　致謝：審稿人提出了非常有價(jià)值的意見(jiàn)和建議， 對(duì)此我們表示感謝.</p><p><b>　　參考文獻(xiàn)：</b></p><p>　　[1] 茍清明.一類(lèi)具有階段結(jié)構(gòu)和標(biāo)準(zhǔn)發(fā)生率的SIS 模型[J].西南大學(xué)學(xué)報(bào)：自然科學(xué)版，2007，29(9)：6-13.</p><p>　　[2] 茍清明，王穩(wěn)地.一類(lèi)有遷移的傳染病模型的穩(wěn)

32、定性[J].西南師范大學(xué)學(xué)報(bào)：自然科學(xué)版，2006，31(1)：18-23.</p><p>　　[3] Li M Y， Muldowney J S. A Geometric Approach to Global Stability Problems [J]. SIAM J Math Anal， 1996，27(4)：1070-1083.</p><p>　　[4] Thieme H R.

33、 Persistence Under Relaxed Point Dissipativity (with an Application to an Endemic Model)[J].SIAM J Math Anal，1993，24(2)：407-435.</p><p>　　[5] Driessche P Van den，Watmough J. Reproduction Numbers and Sub Thre

34、shold Endemic Equilibria for Compartmental Models of Disease Transmission [J].J Math Biosci， 2002(180)：29-48.</p><p>　　[6] Busenberg S， Cooke K. Vertical Transmission Diseaes，Models and Dynamics [M]. Berlin：

35、 Springer Verlag，1993.</p><p>　　[7] Li M Y， Smith H L， Wang L. Global Stability of an SEIR Model with Vertical Transmission [J]. SIAM J Appl Math， 2001，62(1)：58-69.</p><p>　　[8] Li M Y， Wang L.

36、A Criterion for Stability of Matrices[J].J Math Anal Appl， 1998(225)： 249-264.</p><p>　　[9] Muldowney J S. Compound Matrice and Ordinary Differential Equations[J].Rocky Moun J Math，1990，20(4)： 857-872.</p

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38、stem [J]. J Math Anal Appl，1974(45)：432-454.</p><p>　　[12] Thieme H R. Epidemic and Demographic Interaction in the Spread of Potentially FatalDiseases in a Growing Population. [J]. Math Biosci， 1992， 111(1)：

39、 99-130.</p><p>　　該英文原文由指導(dǎo)教師提供，選自：</p><p>　　Gou Q M， Liu C H. Global Stability of an SEIRS Epidemic Model with Vertical Transmis-sion and Vaccination [J]. J Southwest Univ， 2010， 32(11)： 55-61.&

40、lt;/p><p><b>　　原文：</b></p><p>　　Global Stability of an SEIRS Epidemic Model with Vertical Transmission and Vaccination</p><p>　　Abstract： In this paper， by ruling out the p

41、resence of periodic solutions， homoclinic orbits and heteroclinic cycles， we study the global stability of an SEIRS epidemic model which incorporates exponential growth， horizontal transmission， vertical transmission， st

42、andard incidence and vaccination. It is shown that the global dynamics are completely determined by the basic reproduction number . If ， the disease free equilibrium is globally asymptotically stable; whereas if ， the u

43、nique endemic eq</p><p>　　Key words： epidemic model; vertical transmission; vaccination; global stability</p><p>　　CLC number： O175 13 Document code： A</p><p>　　In many epidemic mod

44、els， one assumes that infectious diseases transmit in a population through direct contact with infectious host s， or through disease vectors such as mosquitos or other biting sects， Viz. horizontal transmission . But man

45、y infectious diseases spread through not only horizontal transmission but also vertical transmission. Vertical transmission can be accomplished through transplacental transfer of disease aents， such as Hepat it is B， rub

46、ella， herpes simplex . Among insect s or</p><p><b>　　(1)</b></p><p>　　Here， is the adequate contact rate， the parameterμis the transfer rate from the E class to I class. The paramete

47、rs b， d， β，μare positive， θ，σ，r， rare nonnegative.</p><p>　　Let x = S / N， y = E / N ， z = I / N and w = R / N denote the fraction of the classes S ， E ， I ， R in the population， respectively. It is easy to

48、verify that x， y， z， w satisfy the following differential equations：</p><p>　　(2) </p><p>　　subject to the restriction x + y + z + w = 1. Because the variable w do

49、es not appear in the first three equations of ( 2) . This allow s us to reduce ( 2) to a subsystem：</p><p>　　(3) </p><p>　　From biological considerations， we study ( 3) in

50、 the feasible closed region</p><p><b>　　(4)</b></p><p>　　The dynamical behavior of ( 3) in V and the fate of the disease is determined by the basic reproduction number</p><

51、;p><b>　　(5)</b></p><p>　　The objective of this paper is to show that the dynamical behavior of ( 3) is characterized by .</p><p>　　Mathematical Framework</p><p>　　We

52、 briefly outline a general mathematical framework to prove the global stability o f</p><p>　　a system of ordinary differential equations， which is proposed in reference [ 3] .</p><p>　　Let be a

53、 function for x in an open set . Let us consider</p><p>　　the system of differential equations</p><p><b>　　( 6)</b></p><p>　　We denote by the solution to ( 6) such tha

54、t . A set K is said to be</p><p>　　absorbing in D for (6)， if x ( t ， K 1 ) K for each compact K 1 D and sufficiently large t. We make two basic assumptions：</p><p>　　( H1 ) There exists a compa

55、ct absorbing set K?D.</p><p>　　( H2 ) ( 6) has a unique equilibrium in D.</p><p>　　The unique equilibrium x is said to be globally stable in D if it is locally stable and all trajectories in D

56、converge to x. For epidemic models w here the feasible region is abounded cone， ( H 1 ) is equivalent to the uniform persistence of ( 6).</p><p>　　Let be an matrix-valued function that is For x∈D Assume that

57、 exists and is continuous for x|∈K， the compact set. A quantity is defined as</p><p><b>　　(7)</b></p><p><b>　　(8)</b></p><p>　　The matrix Pf is obtained by

58、 replacing each entry pij of P by its derivative in the direct ion of f， ( pij ) f ， andis the second additive compound matrix of the Jacobian matrixof</p><p>　　f ， and μ(B)is the Lozinski measure of B with

59、respect to a vector norm in .</p><p>　　The following global stability result is proved in Theorem 3.5 of reference [ 3] .</p><p>　　Theorem 1 Assume that D is simply connected and that assum

60、ptions (H 1 ) ， (H 2 ) hold. Then the unique equilibrium of ( 6) is globally stable in D if < 0.</p><p>　　It is show in reference [3] that under the assumptions of Theorem 1， the condition < 0 rules

61、out the presence of any orbit that g iv e rise to a simple closed rectifiable curve that is invariant for ( 6) ， such as periodic orbit s， homoclinic or bits and heteroclinic cycles， and it implies the local stability of

62、 .</p><p>　　We now use Theorem 1 to analyze the global stability of ( 3) . Let V ， R0 be defined as in ( 4) and ( 5) ，respectively. It is easy to verify that the set V is positively invariant for (3) .</

63、p><p>　　Qualitative Analysis of Model ( 3)</p><p>　　It is easy to prove that ， ifis the only equilibrium of the model ( 3) in V;if R0 > 1， a unique endemic equilibrium ?V( the interior of V ) ex

64、ists.</p><p>　　Theorem 2 The disease-free equilibrium of ( 3) is globally asymptotically stable in V if ; it is unstable if and the trajectories star ting sufficiently close to E0 leave E0 except those sta

65、rting on the x axis which approach E0 along this axis. </p><p>　　Proof Set </p><p><b>　　Then， if，</b></p><p>　　Furthermore，if ；whereas，if ，then y=z=0

66、 in V. Therefore， the largest compact invariant set in is the singleton.The global stability o f w hen時(shí)，follow s from the LaSalles invariance principle[ 10] .</p><p>　　If，then for x sufficiently close toexc

67、ept when y=z=0，Therefore， trajectorie starting sufficiently close to leave a neighborhood of except those starting on the x􀀂axis，on which model(3)reduces to，and thus， as t→∞.</p><p>　　Theorem 2 com

68、pletely determines the global dynamics of ( 3) in V for the case . Its epidemiological implication is that the infected fraction (the sum of the latent and the infectious fraction) of the population vanishes over time.&l

69、t;/p><p>　　Lemma 1 If system ( 3) is uniformly persistent in V in the sense that there exists a constant 0<ε< 1， such that any solution with</p><p><b>　　satisfies</b></p>

70、;<p>　　Proof We apply Theorem 4.5 in reference [ 4] to prove this Lemma. To demonstrate system ( 3) satisfies all the conditions of Theorem 4.5 in reference [ 4] when ，choose V=X，，V. is aisolated compact invari

71、ant set in X . Set ， From Theorem 2， the homoclinic orbit containing E 0 does not exist， and M is a weak repeller for X 1 . T hen M is an acyclic isolated covering of . Thus， all the conditions of Theorem 4.5 in refere

72、nce [4] hold for ( 3) . The Lemma is proved.</p><p>　　In order to prove that the endemic equilibrium E is globally asymptotically stable， we need another technical lemma.</p><p>　　Lemma 2 Suppo

73、se is a solution to ( 3) with. If ，then there exists T0 > 0， such that the solution satisfies for .</p><p>　　Proof From the first equation of ( 3) ， we have</p><p>　　If bq≥r ， there is not

74、hing to prove. If bq < r ， we let . Since ， it is easy to see ， thus. T hen we have when It follow s that for all larget. The conclusion of the lemma now follows.</p><p>　　Theorem 3 Assume that . T he

75、n the unique endemic equilibrium is globally asymptotically stable in V.</p><p>　　Proof From the discussion in section 1 and Lemma 1， we see that system ( 3) satisfies the assumptions and .</p><

76、p>　　The Jacobian matrix J associated with a general solution to ( 3) is</p><p>　　Its second additive compound matrix is：</p><p><b>　　(9)</b></p><p>　　For detailed dis

77、cussions of compound matrix and their properties we refer the reader to reference [9] .</p><p>　　Set the function P (x ) in ( 8) as ， then</p><p>　　and the matrix in ( 8) can be written in bloc

78、k form </p><p><b>　　where </b></p><p><b>　　， ，</b></p><p>　　The vector norm in is chosen as. </p><p>　　Let μ(.) denote the Lozinski measure wi

79、th respect to this no rm. U sing the method of estimating μ(.) in reference [ 11] ， we have </p><p><b>　　(10)</b></p><p><b>　　where</b></p><p>　　denote the L

80、ozinski measure with respect to the norm in . Since is scalar， its Lozinski measure with respect to any norm in R1 is equal to . ， are matrix norms with respect to vector norm. therefore，</p><p>　　Where ，

81、From Lemma 2，we have， for ， </p><p><b>　　，.</b></p><p>　　Thus， for </p><p><b>　　(11)</b></p><p><b>　　(12)</b></p><p>　　

82、Rewriting ( 3) ， we have</p><p><b>　　(13)</b></p><p><b>　　(14)</b></p><p>　　Substituting (13) into ( 11) and ( 14) into ( 12) ， we obtain， for t > T 0 ，&l

83、t;/p><p>　　Therefore for .Along each solution is the compact absorbing set， we have， for </p><p>　　which in turn implies that from ( 7) ， completing the proof of Theorem 3.</p><p&g

84、t;　　The Dynamics of the Population Size</p><p>　　We now turn to the dynamics of</p><p>　　and，which are governed by systems ( 1) . The fact that R( t ) does not appear in the first three equation

85、s in ( 1) allows us to study the equivalent system：</p><p><b>　　(15) </b></p><p>　　It is obvious that the total population size N (t ) may be increasing ， decreasing or constant ， de

86、pending on the growth rate r = b- d .</p><p>　　The proportions (x，y，z) might tend to or the endemic equilibrium ， but the behavior of the proportions does not g iv e us much insight on the behavior of the t

87、otal number of infected individuals ( comprise E class and I class) . In particular， even if the total number of infected individuals increases exponentially but at a lower rate than the total population size N ( t ) ， t

88、hen the proportion of the two tends to zero， however， the total number of infected individuals approach infinity. We can</p><p>　　We derived the following Theorem.</p><p>　　Theorem 4 </p>

89、<p>　　(a) The number of susceptible individuals S(t) increase (decrease) with exponential asymptotic rate b- d.</p><p>　　(b) Assume that then ifor .</p><p><b>　　Proof </b><

90、;/p><p>　　(a) From Theorem 2， implies that ， from the first equation in (1) ， we have . In the case ， from Theorem 3， ， we divide by S in the first equation in (1) and take the limit ：</p><p>　　f

91、rom the first equation in (3) it follows that the equilibrium satisfies </p><p><b>　　Thus </b></p><p>　　(b) To see the behavior of E(t) and I (t) ， consider the equations for E and I

92、</p><p><b>　　(16)</b></p><p>　　which is a perturbation of a linear system. The solutions to the principal part of (16) behave as claimed in the theorem， as do those for the perturbed

93、 system (16) since the perturbation decays exponentially as t→∞( see reference [10] ，Chapter 3，Theorem 2.3) .</p><p>　　Ttheorem 5 Assume that ，</p><p>　　(a) the number of individuals E(t) decre

94、ases if R 2 < 1 and increases if R2 > 1. Moreover， the exponential asymptotic rate of increase ( decrease) is</p><p><b>　　(17)</b></p><p>　　(b) the number of individuals I (t)

95、decreases if R2 < 1 and increases if R 2 > 1. Moreover， the exponential asymptotic rate of increase ( decrease) is</p><p><b>　　(18)</b></p><p>　　Proof If ， from Theorem 3， we

96、haveand</p><p><b>　　(19)</b></p><p><b>　　Hence，</b></p><p><b>　　(20)</b></p><p>　　From the second equation in (1) and (19) ， (20) we

97、 obtain (17) . From the third equation in (1) and(20) we also obtain (18) .</p><p>　　Acknowledgements We would like to thank the referees very much for their valuable comments suggestions.</p><p&g

98、t;　　References：</p><p>　　茍清明.一類(lèi)具有階段結(jié)構(gòu)和標(biāo)準(zhǔn)發(fā)生率的SIS模型[J].西南大學(xué)學(xué)報(bào)：自然科學(xué)版，2007，29(9)：6-13.</p><p>　　茍清明，王穩(wěn)地.一類(lèi)有遷移的傳染病模型的穩(wěn)定性[J].西南師范大學(xué)學(xué)報(bào)：自然科學(xué)版，2006，31(1)：18-23.</p><p>　　Li M Y，Muldowney J S

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