函數(shù)極值的幾種求法-數(shù)學(xué)專業(yè)畢業(yè)論文

1、<p>　　存檔編號 </p><p><b>　　畢 業(yè) 論 文</b></p><p>　　題目 函數(shù)極值的幾種求法 </p><p>　　Several Methods of Solving the Extremum of Functions</p><p>　

2、　學(xué) 院 數(shù)學(xué)與信息科學(xué)學(xué)院 </p><p>　　專 業(yè) 數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)專業(yè) </p><p>　　姓 名 </p><p>　　學(xué) 號 </p><p>　　指導(dǎo)教師

3、 </p><p>　　完成時間 2012年5月11號 </p><p><b>　　目 錄</b></p><p><b>　　摘 要I</b></p><p>　　AbstractII</p><p>　　第1

4、章 緒 論1</p><p>　　1.1研究函數(shù)極值的意義1</p><p>　　1.2極值的概述1</p><p>　　第2章 一元函數(shù)極值的求解方法2</p><p>　　2.1 一元函數(shù)極值定義2</p><p>　　2.2 一元函數(shù)極值的充分必要條件2</p><p>

5、;　　2.2.1 一元函數(shù)極值的必要條件2</p><p>　　2.2.2 極值的第一充分條件2</p><p>　　2.2.3 極值的第二充分條件3</p><p>　　2.2.4 極值的第三充分條件4</p><p>　　2.3 一元函數(shù)極值的求解方法4</p><p>　　第3章 二元函數(shù)極值的求解方

6、法7</p><p>　　3.1 二元函數(shù)極值定義7</p><p>　　3.2 二元函數(shù)極值的充分必要條件7</p><p>　　3.2.1 二元函數(shù)極值必要條件7</p><p>　　3.2.2 二元函數(shù)極值充分條件8</p><p>　　3.3二元函數(shù)極值的求法8</p><p&

7、gt;<b>　　3.4條件極值9</b></p><p>　　3.4.1 代入法求極值9</p><p>　　3.4.2 乘數(shù)法求極值10</p><p>　　第4章 多元函數(shù)極值的求解方法12</p><p>　　4.1 多元函數(shù)極值（）定義12</p><p>　　4.2多元函數(shù)

8、極值的充分必要條件12</p><p>　　4.2.1 梯度12</p><p>　　4.2.2 矩陣12</p><p>　　4.2.3 多元函數(shù)極值必要條件12</p><p>　　4.2.4 多元函數(shù)極值充分條件13</p><p>　　4.3 多元函數(shù)極值的求法14</p><

9、p>　　4.3.1多元函數(shù)的無條件極值求解14</p><p>　　4.4多元函數(shù)的條件極值求解15</p><p>　　4.4.1 代入法求極值15</p><p>　　4.4.2 乘數(shù)法求極值16</p><p>　　4.4.3 矩陣法求極值19</p><p>　　4.4.4 梯度法求極值24

10、</p><p>　　4.4.5 二次方程判別式法求極值26</p><p>　　4.4.6 標(biāo)準(zhǔn)量代換法27</p><p><b>　　結(jié) 束 語29</b></p><p><b>　　致 謝30</b></p><p>　　參 考 文 獻(xiàn)31</p&

11、gt;<p><b>　　附 錄i</b></p><p>　　附錄一： 外文文獻(xiàn)i</p><p>　　附錄二： 外文譯文ix</p><p>　　附錄三： 任務(wù)書xvii</p><p>　　附錄四： 開題報告xviii</p><p><b>　　函數(shù)極值

12、的幾種求法</b></p><p><b>　　摘 要</b></p><p>　　函數(shù)的極值問題是數(shù)學(xué)研究中非常重要的問題，是經(jīng)典微積分最成功的應(yīng)用，它不僅在許多實際問題中占有重要地位，同時也是研究函數(shù)性態(tài)的一個重要特征。在工農(nóng)業(yè)生產(chǎn)、經(jīng)濟(jì)管理和經(jīng)濟(jì)核算中，常常要解決在一定條件下怎么使投入最小，產(chǎn)出最多，效益最高等問題。在生活中也經(jīng)常會遇到求利潤最大化

13、、用料最省、效率最高等問題。這些經(jīng)濟(jì)和生活問題通常都可以轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)中的函數(shù)問題來探討，進(jìn)而轉(zhuǎn)化為求函數(shù)中最大（小）值的問題，而且函數(shù)的最大值、最小值問題與函數(shù)的極值有密切聯(lián)系。</p><p>　　本文從一元函數(shù)極值的問題進(jìn)行研究，包括一元函數(shù)的極值的定義，一元函數(shù)極值存在的充分必要條件，以及一元函數(shù)的多種求解方法。依次延伸到二元函數(shù)極值的定義，極值存在的充分必要條件和約束條件下二元函數(shù)極值的各種求解方法，比如代

14、入法、拉格朗日乘數(shù)法。最后再逐步推廣到多元函數(shù)（）極值定義、極值存在的充分必要條件和約束條件下多元函數(shù)極值的各種求解方法。在多元函數(shù)極值方面，尤其是條件極值方面，主要研究的函數(shù)極值的解題方法有利用代入法求極值、拉格朗日(Lagrange)乘數(shù)法求極值、通過雅可比(Jacobi) 矩陣法求條件極值、利用梯度法求極值以及通過二次方程判別式符號法和標(biāo)準(zhǔn)量代換法等初等方法來判別函數(shù)的極值問題，本文旨在對函數(shù)極值的解法問題作出系統(tǒng)性歸納總結(jié)。&l

15、t;/p><p>　　關(guān)鍵詞：函數(shù)極值；多元函數(shù)；條件極值；拉格朗日乘數(shù)法；梯度法</p><p>　　Several Methods of Solving the Extremum of Functions</p><p><b>　　Abstract</b></p><p>　　Extremum of functions

16、 is very important in mathematics research. It is one of the most successful application of classical calculus. Not only does it occupy an important place in many practical problems,but also it is an important characteri

17、stic of the property of functions. In industrial and agricultural production, management of the economy and the economic accounting, we often have to solve the problems such as how to use the smallest input to make the m

18、ost efficient output in given condition</p><p>　　This paper studies on the issue of extreme value of unary function, including the definition of the extremum of unary function, existence condition of the ext

19、remum of unary function and various methods of solving unary function, further to the definition of the extremum of the duality function, existence condition of the extremum of duality function and various methods of sol

20、ving duality function under constraint condition, such as substitution method and Lagrangian multiplier method. At last, I</p><p>　　Key Words: the extremum of functions; the multivariate function; the condit

21、ional extremum; Lagrangian multiplier method; gradient method</p><p><b>　　.</b></p><p><b>　　第1章 緒 論</b></p><p>　　1.1研究函數(shù)極值的意義</p><p>　　在現(xiàn)實科學(xué)生產(chǎn)

22、實際中，存在著很多極值問題需要去解決，函數(shù)的極值一直是數(shù)學(xué)研究的重要內(nèi)容之一，由于它的應(yīng)用廣泛，加之函數(shù)本身變化紛繁，所以人們對其方法的研究較多，像代入法，梯度法，利用矩陣解決函數(shù)極值，利用乘數(shù)法解決函數(shù)的極值以及其他多種方法判別極值是否存在等等。這些諸多理論與實際有機(jī)的結(jié)合起來，這不僅為科研打下了良好的基礎(chǔ)，也為諸多領(lǐng)域的實際工作提供了便捷，比如在工農(nóng)業(yè)生產(chǎn)、經(jīng)濟(jì)管理和經(jīng)濟(jì)核算中，解決在一定條件下怎么使投入最小，產(chǎn)出最多，效益最高等問

23、題。在生活中也經(jīng)常會求利潤最大化、用料最省、效率最高等問題。這些算法的提出與改進(jìn)，使得許多問題很便利的得以解決，具有非常重要的現(xiàn)實意義。</p><p><b>　　1.2極值的概述</b></p><p>　　如果一個函數(shù)在一點的某一鄰域內(nèi)處處都有確定的值，而以該點處的值為最大（?。?，這函數(shù)在該點處的值就是一個極大（小）值。如果它比鄰域內(nèi)其他各點處的函數(shù)值都大（?。?/p>

24、，它就是一個嚴(yán)格極大（?。?。該點就相應(yīng)地稱為一個極值點或嚴(yán)格極值點。</p><p>　　極值的概念來自數(shù)學(xué)應(yīng)用中的最大值與最小值問題。其定義在一個有界閉區(qū)域上的每一個連續(xù)函數(shù)都必定有它的最大值和最小值，問題在于要確定它在哪些點處達(dá)到最大值或最小值。如果最大值或最小值不是邊界點，那么就一定是內(nèi)點，因而是極值點。</p><p>　　函數(shù)極值涉及的函數(shù)量比較多，尤其是以多元函數(shù)為主，因此我們

25、在求解函數(shù)極值的過程中經(jīng)常會遇到某些形式上比較復(fù)雜的函數(shù)的極值問題，同時我們在解題的過程當(dāng)中也常常會遇到一些具有條件限制的多元函數(shù)極值的求解，在解這種條件極值的問題時我們必須考慮其限制條件，那么對于我們而言，什么時候什么地方以及如何用這些限制條件就成了我們所關(guān)心的問題。</p><p>　　綜上可知，我們對函數(shù)極值，不管是一元函數(shù)極值，還是二元或多元函數(shù)極值的條件極值與無條件極值的求解方法做一個比較全面的了解是相

26、當(dāng)重要的。</p><p>　　第2章 一元函數(shù)極值的求解方法</p><p>　　2.1 一元函數(shù)極值定義</p><p>　　定義1設(shè)函數(shù)在的某個鄰域有定義，對于該鄰域內(nèi)任一異于的點，如果對該鄰域的所有的點,</p><p>　　(1)都有，則稱是函數(shù)的一個極大值，點為函數(shù)的一個極大值點;</p><p>　　

27、(2)都有，則稱是函數(shù)的一個極小值，點為函數(shù)的一個極小值點.</p><p>　　極大值和極小值統(tǒng)稱為極值，極大值點和極小值點統(tǒng)稱為極值點.</p><p>　　2.2 一元函數(shù)極值的充分必要條件</p><p>　　函數(shù)的極值不僅僅在實際問題中占有非常重要的地位，而且也是函數(shù)性態(tài)的一個重要特征.</p><p>　　2.2.1 一元函數(shù)極值

28、的必要條件</p><p>　　費馬定理[1]告訴我們，若函數(shù)在點可導(dǎo)，且為的極值點，則.這就是說可導(dǎo)函數(shù)在點取極值的必要條件是. </p><p><b>　　下面討論充分條件.</b></p><p>　　2.2.2 極值的第一充分條件</p><p>　　定理1設(shè)在點處連續(xù)，在某一鄰域內(nèi)可導(dǎo).</p>

29、<p>　?、偃舢?dāng)時，當(dāng)時，則函數(shù)在點取得極小值.</p><p>　?、谌舢?dāng)時，當(dāng)時，則函數(shù)在點 取得極大值.</p><p>　?、廴绻邳c的鄰域內(nèi)，不變號，則函數(shù)在點沒有極值，即不是 的極值點.</p><p>　　證：由單調(diào)函數(shù)的增減性充要條件，在區(qū)間I上可導(dǎo)，在I上增（減）的充要條件是</p><p>　　則對于①：在內(nèi)

30、遞減，在內(nèi)遞增，又由在處連續(xù)，故對任意，恒有</p><p><b>　　即在處取得極小值.</b></p><p>　　同理，對于②，在處取得極大值；對于③，由于在點的鄰域內(nèi) 不變號，故對任意，不能恒有（或），即不能判定在處取得極小值（或極大值），也就是說函數(shù)在點沒有極值， 不是的極值點.</p><p>　　若函數(shù)是二階可導(dǎo)函數(shù)，則有如下班

31、別極值定理.</p><p>　　2.2.3 極值的第二充分條件</p><p>　　定理2[2] 設(shè)在的某一鄰域內(nèi)一階可導(dǎo)，在處二階可導(dǎo)，且,.</p><p>　?、偃簦瑒t函數(shù)在點取得極大值.</p><p>　?、谌?，則函數(shù)在點取得極小值.</p><p>　　證：由條件，可得在處的二階泰勒公式</p&g

32、t;<p><b>　　由于，因此</b></p><p><b>　　(1)</b></p><p>　　又因，故存在正數(shù)，當(dāng)時，與同號.所以，當(dāng)，(1)式取負(fù)值，從而對任意有</p><p>　　即在處取極大值.同樣對，可得在處取極小值.</p><p>　　對于應(yīng)用二階導(dǎo)數(shù)無法判

33、斷的問題，可借助更高階的導(dǎo)數(shù)來判斷.</p><p>　　2.2.4 極值的第三充分條件</p><p>　　定理3[2]設(shè)在的某一鄰域內(nèi)存在直到階導(dǎo)函數(shù)，在處階可導(dǎo)，且，，則</p><p>　?、佼?dāng)為偶數(shù)時，函數(shù)在點取到極值，且當(dāng)時取極大值，時取極小值.</p><p>　?、诋?dāng)為奇數(shù)時，函數(shù)在點不取極值. </p><

34、;p>　　2.3 一元函數(shù)極值的求解方法</p><p>　　一元函數(shù)極值的求解步驟[3]如下：</p><p>　?。?）確定函數(shù)的定義域；</p><p>　　（2）求出，并在定義域內(nèi)求的全部駐點和不可導(dǎo)點（可能極值點）；</p><p>　?。?）對于駐點可利用定理l或2判定，考查導(dǎo)函數(shù)在駐點左右鄰近的符號，確定是</p&g

35、t;<p>　　否是函數(shù)的極值點，如果是極值點，進(jìn)一步確定是極大值點還是極小值點；</p><p>　?。?）求出各極值點的函數(shù)值，得到函數(shù)的極值.</p><p>　　例1 求的極值點和極值</p><p>　　解：易得的定義域為，在上連續(xù)，且當(dāng)時，有</p><p>　　顯而易見，為的穩(wěn)定點，為的不可導(dǎo)點.這兩點是否是極值點

36、，根據(jù)定理1 ，現(xiàn)列表如下（表中↗表示遞增，↘表示遞減）：</p><p>　　則由上表可見：點為的極大值點，極大值為;</p><p>　　點為的極小值點，極大值為.</p><p><b>　　例2 求函數(shù)的極值</b></p><p>　　解 ：易得的定義域為，在上連續(xù)，有</p><p>

37、<b>　　解，得穩(wěn)定點，</b></p><p>　　又 因此不是函數(shù)的極值點</p><p>　　， 由定理2可知，是函數(shù)的極大值點</p><p>　　故函數(shù)的極大值為，無極小值.</p><p>　　例3 求函數(shù)的極值[4]</p><p>　　解：，解得是函數(shù)的三個穩(wěn)

38、定點.</p><p><b>　　函數(shù)的二階導(dǎo)函數(shù)為</b></p><p>　　則，，由定理3可知，在時取得極小值</p><p><b>　　其極小值為：</b></p><p><b>　　函數(shù)的三階導(dǎo)函數(shù)為</b></p><p>　　則，.由

39、于是奇數(shù)，有定理3可知，在不取極值</p><p><b>　　函數(shù)的四階導(dǎo)函數(shù)為</b></p><p>　　則，是偶數(shù)，有定理3可知，在取極大值</p><p>　　綜上所述，可知函數(shù)為極大值</p><p><b>　　為極小值</b></p><p>　　第3章 二

40、元函數(shù)極值的求解方法</p><p>　　3.1 二元函數(shù)極值定義</p><p>　　定義2設(shè)二元函數(shù)在點的某個鄰域內(nèi)有定義,對該鄰域內(nèi)任一異于的點, </p><p>　　(1)如果,則稱是函數(shù)的極大值，點為函數(shù)的一個極大值點;</p><p>　　(2)如果,則稱是函數(shù)的極小值，點為函數(shù)的一個極小值點.</p>&l

41、t;p>　　3.2 二元函數(shù)極值的充分必要條件</p><p>　　3.2.1 二元函數(shù)極值必要條件 </p><p>　　定理1設(shè)函數(shù)在點具有偏導(dǎo)數(shù), 且在點處有極值, 則它在該點的偏導(dǎo)數(shù)必然為零，即</p><p>　　證：不妨設(shè)處有極大值，的某鄰域內(nèi)任何都有，</p><p><b>　　故當(dāng)，有</b>&l

42、t;/p><p>　　則一元函數(shù)處有極大值，必有</p><p><b>　　類似地，可證</b></p><p>　　與一元函數(shù)的情形類似，對于二元函數(shù)甚至多元函數(shù)，凡是能使一階偏導(dǎo)數(shù)同時為零的點稱為函數(shù)的駐點.</p><p>　　備注：具有偏導(dǎo)數(shù)的極值點必然是駐點，但駐點不一定是極值點.</p><

43、p>　　3.2.2 二元函數(shù)極值充分條件</p><p>　　定理2[5] 設(shè)函數(shù)在點的某鄰域內(nèi)連續(xù)且有直到二階的連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，又令</p><p>　　則在處是否取得極值的條件如下: </p><p>　　(1) 當(dāng)時，函數(shù)在處有極值，且當(dāng)時有極小值；時有極大值；</p><p>　　(2) 當(dāng)時，函數(shù)在處沒有極值;</p>

44、<p>　　(3) 當(dāng)時，函數(shù)在處可能有極值，也可能沒有極值.</p><p>　　在此應(yīng)注意的幾個問題：</p><p>　　(1)對于二元函數(shù),在定義域內(nèi)求極值這是一個比較適用且常用的方法, 但是這種方法對三元及更多元的函數(shù)并不適用； </p><p>　　(2)時可能有極值 也可能沒有極值，還需另作討論；</p><p>

45、　　(3)如果函數(shù)在個別點處的偏導(dǎo)數(shù)不存在，這些點當(dāng)然不是駐點，但也可能是極值點，討論函數(shù)的極值問題時這些點也應(yīng)當(dāng)考慮. </p><p>　　3.3二元函數(shù)極值的求法</p><p>　　根據(jù)定理1與定理2，如果函數(shù)具有二階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，則求的極值的一般步驟如下：</p><p>　　（1）解方程組 求出的所有駐點；</p><p>　　（2

46、）求出函數(shù)每一個駐點的二階偏導(dǎo)數(shù)，確定各駐點處A、B、C的值，并根據(jù)的符號判定駐點是否為極值點.</p><p>　　（3）最后求出函數(shù)在極值點處的極值.</p><p><b>　　例4 求函數(shù)的極值</b></p><p><b>　　解：，</b></p><p><b>　　，，

47、 </b></p><p>　　解方程組： 得駐點為：(1,0),(1,2),(-3,0),(-3,2). 令</p><p>　　則在點(1,0)處，，且</p><p><b>　　為極小值</b></p><p><b>　　在點(1,2)處，</b><

48、/p><p><b>　　不是函數(shù)的極值</b></p><p>　　在點(-3,0)處，</p><p><b>　　不是函數(shù)的極值</b></p><p>　　在點(-3,2)處，，且</p><p><b>　　為極大值</b></p>

49、<p>　　綜上所述，函數(shù)極大值為，極小值為</p><p><b>　　3.4條件極值</b></p><p>　　前面所討論的二元函數(shù)極值問題，對于函數(shù)的自變量一般只要求落在定義域內(nèi)，并無其它限制條件，這類極值我們稱為無條件極值. 但是在實際問題過程中，我們常會遇到除對函數(shù)的自變量有要求外，還有附加其他條件的的極值問題. 這樣我們把對自變量有附加條件的極

50、值稱為條件極值.</p><p>　　3.4.1 代入法求極值</p><p>　　在約束條件中，如果能解出，即，將它代入中，那么，這就把就二元函數(shù)在約束條件的極值問題轉(zhuǎn)化為求一元函數(shù)的極值問題.[6]</p><p>　　例5 求在約束條件的極值</p><p>　　解：由約束條件得，將其帶入到中，得</p><p&g

51、t;<b>　　令，解得</b></p><p><b>　　又，且當(dāng)時，</b></p><p>　　所以，為函數(shù)的極大值點，極大值為</p><p>　　注意：使用代入法時，減少了函數(shù)變量，在判別極值過程中帶來了方便，但是有時約束條件不容易將表示成的函數(shù)形式（或者表示成的函數(shù)形式）.這樣情況下在求條件極值時，使用代入法

52、就顯得比較困難,有時還有可能會出現(xiàn)遺失可能極值點[7].這樣的情況下，則通常采用乘數(shù)法來求函數(shù)的極值.</p><p>　　3.4.2 乘數(shù)法求極值</p><p>　　設(shè)二元函數(shù)和在區(qū)域內(nèi)有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，則求在內(nèi)滿足條件的極值問題，可以轉(zhuǎn)化為求拉格朗日函數(shù)</p><p><b>　　（其中為某一常數(shù)）</b></p><

53、;p><b>　　的無條件極值問題.</b></p><p>　　求函數(shù)在條件的極值的拉格朗日乘數(shù)法的基本步驟為：</p><p>　　(1) 構(gòu)造拉格朗日函數(shù)</p><p><b>　　其中為某一常數(shù);</b></p><p><b>　　(2) 由方程組</b>&l

54、t;/p><p>　　解出, 其中就是所求條件極值的可能的極值點.</p><p>　　注[8] ：乘數(shù)法只給出函數(shù)取極值的必要條件, 因此按照這種方法求出來的點是否為極值點, 還需要加以討論. 不過在實際問題中, 往往可以根據(jù)問題本身的性質(zhì)來判定所求的點是不是極值點.</p><p>　　例6 求函數(shù)在條件下的極值.</p><p>　　解：

55、由乘數(shù)法，設(shè)函數(shù)為</p><p>　　解方程組 </p><p>　　解得 </p><p>　　得駐點 </p><p>　　又 </p><p>　　所以 </p><p>　　故

56、 是極小值點.</p><p>　　極小值為 </p><p>　　第4章 多元函數(shù)極值的求解方法</p><p>　　4.1 多元函數(shù)極值（）定義</p><p>　　定義3 設(shè)多元函數(shù)在點的某鄰域內(nèi)有定義,對于該鄰域內(nèi)任何點,成立不等式</p><p><b>　　(或),</

57、b></p><p>　　則說函數(shù) 在處取極大值(或極小值),點稱為函數(shù)的極值點.</p><p>　　4.2多元函數(shù)極值的充分必要條件</p><p><b>　　4.2.1 梯度</b></p><p>　　定義4 設(shè)n元函數(shù)在點具有偏導(dǎo)數(shù)，則稱向量[]為函數(shù)在點的梯度，記作,即 []</p>

58、<p><b>　　4.2.2 矩陣 </b></p><p>　　定義5 設(shè)n元函數(shù)在點點具有二階偏導(dǎo)數(shù)，則稱矩陣</p><p>　　為函數(shù)在點的矩陣，若二階偏導(dǎo)數(shù)連續(xù)，則是實對稱矩陣.</p><p>　　4.2.3 多元函數(shù)極值必要條件</p><p>　　定理1設(shè)元函數(shù)在點存在偏導(dǎo)數(shù)，且在該點取得極

59、值，則，即.（滿足的點稱為元函數(shù)的駐點）</p><p>　　證：元函數(shù)在點取得極值,令 分別等于，即可得一元函數(shù)在點處取得極值，于是有，</p><p><b>　　同理，，</b></p><p><b>　　因此，</b></p><p>　　4.2.4 多元函數(shù)極值充分條件　</p&g

60、t;<p>　　定理 2[9] 設(shè)多元函數(shù) 在 的某鄰域內(nèi)存在一階及二階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù), 又則:</p><p>　　（1） 當(dāng)是正定矩陣時, 函數(shù)在點取得極小值;</p><p>　?。?） 當(dāng)是負(fù)定矩陣時, 函數(shù)在點取得極大值;</p><p>　　（3）當(dāng)是非定號陣時，函數(shù)在點 不取極值</p><p>　　證:考慮函數(shù)在 點

61、的展開式: </p><p><b>　　[] </b></p><p>　　因為, 所以, .因此, 函數(shù)在點是否取得極值完全取決于二次型 的符號.</p><p>　　如果二次型是正定二次型(是正定矩陣) , 即, 則在足夠小時, , 在處取極小值; </p><p>　　同樣, 如果二次型 是負(fù)定二次型(是負(fù)定矩

62、陣) , 即，則在足夠小時, 有, 在處取極大值.[9]</p><p>　　4.3 多元函數(shù)極值的求法</p><p>　　在前面所討論二元函數(shù)極值問題的求解方法時，提到了二元函數(shù)的極值問題分為無條件極值和條件極值兩大類，同樣在多元函數(shù)（）中也存在著無條件極值和條件極值兩類極值問題.接下來我將對多元函數(shù)無條件極值和條件極值問題做探討.</p><p>　　4.

63、3.1多元函數(shù)的無條件極值求解</p><p>　?。?）求出函數(shù)的駐點，根據(jù)極值存在的必要條件，</p><p><b>　　解方程組</b></p><p>　　解得方程組的解即為函數(shù)的駐點.</p><p>　?。?）需要考慮一階偏導(dǎo)數(shù)不存在的點.</p><p>　?。?）對每一個可能的極

64、值點進(jìn)行檢驗.根據(jù)極值存在的充分條件，計算在點的矩陣，</p><p>　?。?）再根據(jù)極值存在的充分條件判定方法，判定是否為極值點，進(jìn)而并求出函數(shù)的極值.[10]</p><p><b>　　例7求函數(shù)的極值</b></p><p><b>　　解：，，</b></p><p>　　解方程組：，

65、 解得駐點為</p><p><b>　　又，，，，</b></p><p>　　則矩陣，顯然其各階順序主子式全都大于零，則是正定矩陣，故在取得極小值，極小值為</p><p>　　4.4多元函數(shù)的條件極值求解</p><p>　　4.4.1 代入法求極值</p><p>　　在前面的

66、二元函數(shù)條件極值的求解方法中，已經(jīng)提到了代入法和乘數(shù)法，這兩種方法不僅僅適用于二元函數(shù)的條件極值求解方法，而且可以推廣到多元函數(shù)（）的條件極值求解。代入直接求解由等式條件所構(gòu)成的方程組消去問題中的某些變量，將原問題轉(zhuǎn)化為無條件極值問題[11]．從另外一種形式上講，代入法就是采用降維的原理將多元函數(shù)的條件極值問題轉(zhuǎn)化為無條件極值的函數(shù)極值問題.</p><p>　　例8求函數(shù)在條件下的極值.</p>

67、<p><b>　　解：由解得，</b></p><p><b>　　將上式代入函數(shù)，得</b></p><p>　　解方程組 ， 解得駐點</p><p><b>　　又，， </b></p><p><b>　　在點處，，則，</b>

68、</p><p><b>　　∴不是極值點</b></p><p><b>　　在點處，，則，且</b></p><p><b>　　∴為極小值點</b></p><p>　　綜上所述，函數(shù)在點處有極小值，極小值為.</p><p>　　4.4.2 乘數(shù)

69、法求極值</p><p>　　在求解二元函數(shù)條件極值的方法同樣也適用于多元函數(shù)（）條件極值的求解，通過構(gòu)造拉格朗日函數(shù)，解出相對應(yīng)的解，對解出的結(jié)果進(jìn)行判斷，從而判定多元函數(shù)條件極值的極值。</p><p>　　例9[12] 求表面積為而體積最大的長方體的體積。 </p><p>　　解：設(shè)長方體的三棱長為，則原問題就轉(zhuǎn)化為求在條件</p>

70、<p>　　下長方體體積的最大值，構(gòu)造拉格朗日函數(shù)</p><p><b>　　求其對的偏導(dǎo)數(shù)，有</b></p><p><b>　　，，</b></p><p><b>　　解方程組</b></p><p>　　由于都不為0，解得這是唯一可能的極值點。由問題本

71、身可知最大值一定存在，所以最大值就在這個可能的極值點處取得。也就是說，表面積為的長方體中，以棱長為的正方體體積最大，最大體積。</p><p>　　乘數(shù)法不僅僅適用于單個約束條件下的條件極值求解，同樣也可以適用于多個約束性條件下的函數(shù)極值求解。</p><p>　　考慮多元函數(shù)在個約束條件 下的極值。</p><p><b>　　引入函數(shù)</b>

72、;</p><p>　　式中為待定函數(shù)，把當(dāng)作個變量和的無條件函數(shù)，對這些變量求一階偏導(dǎo)數(shù)，得駐點所要滿足的方程如下：</p><p>　　從上述方程中解得駐點，即可能極值點。</p><p>　　利用上述方法只是求出駐點，還需要進(jìn)一步判斷。若函數(shù)在點處取得極值，則在條件下在點處也取得極值，且同取極大值和極小值。</p><p>　　判定準(zhǔn)則

73、（正定判別法）：由多元函數(shù)極值的充分必要條件可知，設(shè)為的極值點，令滿足式。記矩陣</p><p><b>　　則有</b></p><p>　?。?）若正定，則在條件下在點取得極小值；</p><p>　?。?）若負(fù)定，則在條件下在點取得極大值；</p><p>　　（3）若不定，則在條件下在點不取極值。</p&g

74、t;<p>　　例10 拋物面被平面截成一個橢圓，求這個橢圓到坐標(biāo)原點的最長和最短距離</p><p>　　解：這個問題的實質(zhì)是求函數(shù)在約束條件 與 下的最大值和最小值問題，應(yīng)用乘數(shù)法，</p><p><b>　　令 </b></p><p><b>　　求其對的偏導(dǎo)數(shù)，有</b></p>

75、<p><b>　　，，</b></p><p><b>　　解方程組 ，</b></p><p><b>　　得函數(shù)的兩個駐點</b></p><p>　　因為函數(shù) 在有界閉集 上連續(xù)，必有最大值和最小值，而求得的穩(wěn)定點又恰是兩個，所以它們一個是最大點，另一個是最小。應(yīng)用正定判別法

76、：</p><p><b>　　，，，</b></p><p><b>　　，，</b></p><p><b>　　對于，有</b></p><p>　　顯然矩陣式正定矩陣，是函數(shù)的極小值點，其極小值為.</p><p><b>　　同理對于

77、可得，</b></p><p>　　是函數(shù)的極大值點，其極大值為</p><p>　　.即這個橢圓到坐標(biāo)原點的最長和最短距離分別為和</p><p>　　4.4.3 Jacobi矩陣法求極值</p><p><b>　　設(shè)方程</b></p><p><b>　　(1)&l

78、t;/b></p><p>　　在某鄰域內(nèi)滿足隱函數(shù)存在定理的所有條件,它確定的隱函數(shù)為,又設(shè)約束方程組為</p><p><b>　　(2)</b></p><p>　　其中, 函數(shù)在上述鄰域內(nèi)具有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù), 且彼此獨立.</p><p>　　現(xiàn)在要求方程(1)給出的目標(biāo)函數(shù)在約束方程組(2)下的條件極值.利用

79、拉格朗日乘數(shù)法, 設(shè)拉格朗日函數(shù)</p><p>　　則目標(biāo)函數(shù)具有條件極值的必要條件是:</p><p><b>　　(3)</b></p><p>　　有解.這就是說,若目標(biāo)函數(shù)在點取得條件極值, 則 滿足方程組(3).</p><p>　　若方程組(3)有解,將代入(3)的前個方程的偏導(dǎo)函數(shù)中, 并用、表示點處的各

80、偏導(dǎo)數(shù)值, 并以為未知數(shù)構(gòu)造線性方程組:</p><p><b>　　(4)</b></p><p>　　顯然方程組(4)有非零解,故方程組(4)的系數(shù)矩陣的秩, 其中</p><p>　　由此可知方程組(3)的前個方程的所有解對應(yīng)的函數(shù)矩陣</p><p>　　也滿足. 因此矩陣A的后列元素對應(yīng)的函數(shù)矩陣</p&

81、gt;<p>　　是函數(shù)對于一切自變量的偏導(dǎo)數(shù)所組成的雅可比矩陣的轉(zhuǎn)置矩陣,由函數(shù)的彼此獨立性知,,故所以, 目標(biāo)函數(shù)具有條件極值的必要條件是.</p><p>　　將函數(shù)矩陣A 看作是在所討論的某鄰域內(nèi)某點處的各偏導(dǎo)數(shù)所組成的數(shù)值矩陣, 進(jìn)行如下初等變換: 將A的第1列乘以加到第2列; 將A的第1列乘以加到第3列,,直至將A的第1列乘以加到第+1列,可得與A等價的矩陣 , 其中</p>

82、<p>　　由隱函數(shù)存在定理知, 對方程所確定的隱函數(shù), 有:</p><p><b>　　故</b></p><p>　　再將的第1列乘以得矩陣</p><p><b>　　故, 且,</b></p><p>　　因為函數(shù)矩陣的秩為, 故中必有一個m階子式不恒為零. 不失一般性，可設(shè)

83、的右上角的階子式,其中</p><p>　　而且中所有包含的個+1階的加邊行列式都等于零, 其中</p><p><b>　　, . (5)</b></p><p>　　由此可知[13], 若由方程(1)所確定的目標(biāo)函數(shù)在點取得滿足約束方程組(2)的條件極值, 則點必滿足方程組(5) .</p><p>　　綜合以上

84、, 可得求方程(1)所確定的目標(biāo)函數(shù)滿足約束方程組(2)的條件極值的如下方法[14]:</p><p>　?、?選定不恒為零的階子式D,寫出方程組(5),即, ;</p><p>　?、?解方程組(5)與方程組(2)及方程(1)的聯(lián)立方程組;</p><p>　?、?對解出的可能的條件極值點加以判斷. </p><p>　　例11 求表面積

85、為而體積最大的長方體的體積。</p><p>　　解：設(shè)長方體的三棱長為，則長方體的體積為，原問題就轉(zhuǎn)化為求方程所給處的目標(biāo)函數(shù)在約束條件</p><p>　　下長方體體積的條件極值，</p><p><b>　　由與，</b></p><p><b>　　可得</b></p><

86、;p><b>　　解聯(lián)立方程組</b></p><p><b>　　得方程組的解為</b></p><p>　　由實際意義及問題本身可知其極大值一定存在，也即其最大值，所以點就是原方程的最大極值點。也就是說，表面積為的長方體中，以棱長為的正方體體積最大，最大體積。</p><p>　　4.4.4 梯度法求極值<

87、/p><p>　　多元函數(shù)的條件極值也可以利用梯度法[15]求目標(biāo)函數(shù)在條件函數(shù)</p><p><b>　?。ǎ?lt;/b></p><p>　　組限制下的的極值。函數(shù)在點處的梯度向量，</p><p><b>　　；</b></p><p>　　設(shè)為個條件相交部分的方程，其中是一

88、些固定的常數(shù)，這樣我們就可以把多個條件轉(zhuǎn)化了為一個條件，而曲面在點處的法向量為:</p><p><b>　　，其中；</b></p><p>　　設(shè)曲面在點處的切平面上的一個切向量為：，則有.然后令</p><p>　　，可以得到一個切向量，如令，則，，消去，于是得到切平面上的一個切向量，類似可以得到另外的個向量，，…，;把這個向量與作內(nèi)積并

89、令它們?yōu)?，得到個方程，</p><p>　　通過解該方程組以及個極值條件，我們就可以得到極值點的坐標(biāo)。</p><p>　　例12[16] 已知拋物面被平面截成一個橢圓，求原點到這個橢圓的的最長和最短距離。</p><p>　　解：由例10可知，這個問題的實質(zhì)是求目標(biāo)函數(shù)在約束條件 與 下的最大值和最小值問題，</p><p><b

90、>　　有題意可得，設(shè).</b></p><p>　　則曲面在點的法向量為。又曲面在點的切平面上有兩個向量，</p><p><b>　　和，</b></p><p>　　把這兩個向量與作內(nèi)積，使其為0；則可得到下列方程組：</p><p><b>　　解方程組：</b></p

91、><p>　　解得其函數(shù)的駐點為，；</p><p>　　由題意知，函數(shù)在有界閉集上連續(xù)，則函數(shù)必有最大值和最小值，而求得的穩(wěn)定點又恰是兩個，所以它們一個是極大值點，另一個是極小值點。</p><p>　　又，，則原點到這個橢圓的的最長和最短距離分別為和</p><p>　　4.4.5 二次方程判別式法求極值</p><p&g

92、t;　　二次方程判別式法[17]在初等數(shù)學(xué)中的應(yīng)用很廣泛，在眾多的期刊與學(xué)術(shù)報告中都提到其的應(yīng)用。根據(jù)判別式的正負(fù)關(guān)系從而判定根的是否存在性。同樣在函數(shù)極值的應(yīng)用中我們也可以通過變換構(gòu)造二次函數(shù)的不等式，并依據(jù)根的存在性對函數(shù)極值的大小做出相應(yīng)的判定。</p><p>　　例13 若,試求的極值.</p><p><b>　　解: 由得,代入得</b></p&

93、gt;<p>　　整理得： ①</p><p>　　則有: ②</p><p>　　即 ③</p><p>　　解關(guān)于的二次不等式③,得:</p><p><b

94、>　?、?lt;/b></p><p>　　顯然,求函數(shù)的極值, 相當(dāng)于求</p><p><b>　?、?lt;/b></p><p>　　或 ⑥</p><p><b>　　的極值.</b></p><

95、;p>　　由⑤式得 ⑦</p><p>　　關(guān)于的二次方程要有實數(shù)解,必須</p><p>　　, 即 ⑧</p><p>　　解此關(guān)于的二次不等式,得.即</p><p><b>　　把代入⑦得：,</b>&l

96、t;/p><p><b>　　再把，代入①,得,</b></p><p>　　最后把，，代入，得.</p><p>　　所以,當(dāng),,時,函數(shù)達(dá)到極大值3.</p><p>　　同理可得,當(dāng),,時,函數(shù)達(dá)到極小值-3.</p><p>　　4.4.6標(biāo)準(zhǔn)量代換法</p><p>

97、　　所謂標(biāo)準(zhǔn)量代換法[17]，就是在求某些多個變量的條件極值時，我們可以選取某個與這些變量有關(guān)的量作為標(biāo)準(zhǔn)量，稱其余各量為比較量，然后將比較量用標(biāo)準(zhǔn)量與另外選取的輔助量表示出來,這樣就將其變?yōu)檠芯繕?biāo)準(zhǔn)量與輔助量間的關(guān)系了. </p><p>　　如果給定條件是幾個變量之和的形式，一般設(shè)這幾個量的算術(shù)平均數(shù)為標(biāo)準(zhǔn)量.</p><p>　　例14 設(shè),求的最小值.</p><

98、;p>　　解：取為標(biāo)準(zhǔn)量, 令,則 (為任意實數(shù))，從而有</p><p>　　(等號當(dāng)且僅當(dāng)即時成立).</p><p><b>　　最小值為</b></p><p><b>　　結(jié) 束 語</b></p><p>　　本文通過從一元函數(shù)極值的問題開始進(jìn)行研究，包括一元函數(shù)的極值多種求解方法

99、，其次為二元函數(shù)的常用求解，再逐步推廣到多元函數(shù)極值的各種求解方法。通過對多元函數(shù)條件極值的各種解法及應(yīng)用的介紹，我們知道對于不同的多元函數(shù)其極值有不同的解法，針對不同的題目要求，我們應(yīng)該選擇一種既簡便易行又節(jié)省時間的方法，其中拉格朗日乘數(shù)法是一種通用的方法，也是最常用的方法。通過本文知道，除了拉格朗日乘數(shù)法、雅可比矩陣法和梯度法外，其余條件極值解法均為初等數(shù)學(xué)的方法，掌握好初等數(shù)學(xué)的方法求解多元函數(shù)條件極值有時候會更簡單，但其使用的過

100、程中具有一定的技巧性，也有一定的局限性，需要根據(jù)具體情況具體分析。 當(dāng)然，僅僅一個學(xué)期的論文設(shè)計，不足之處在所難免，還希望各位老師指正批評。</p><p><b>　　致 謝</b></p><p>　　四年的讀書生活在這個季節(jié)即將劃上一個句號，而于我的人生卻只是一個逗號，我將面對又一次征程的開始。四年的求學(xué)生涯在師長、親友的大力支持下，走得辛苦卻也收獲滿囊，在論

101、文即將付梓之際，思緒萬千，內(nèi)心充滿了無限的感激之情。</p><p>　　本次學(xué)位論文是在我的導(dǎo)師**老師的親切關(guān)懷和悉心指導(dǎo)下完成的。**老師嚴(yán)肅的科學(xué)態(tài)度，嚴(yán)謹(jǐn)?shù)闹螌W(xué)精神，使我受益匪淺。在此我要向**老師表示我最誠摯的謝意和最崇高的敬意！同時也要感謝參考文獻(xiàn)中的作者們，因為你們的貢獻(xiàn)，讓我順利的完成我的論文。感謝母校為我提供的良好學(xué)習(xí)環(huán)境，使我能夠在此專心學(xué)習(xí)，陶冶情操。感謝王婧老師在四年大學(xué)生活中對我的照顧

102、與關(guān)心，感謝祁萌書記和趙娟老師對我平時的指導(dǎo)以及對我畢業(yè)擇業(yè)時的建議，同時也要感謝陪我一起走過大學(xué)四年的同學(xué)與朋友，因為你們，我在大學(xué)四年經(jīng)歷了許許多多的學(xué)生工作經(jīng)歷，讓我受益很多。最后，我更要感謝我的父母，感謝他們對我的養(yǎng)育之恩，更感謝他們對我學(xué)業(yè)的支持與默默奉獻(xiàn)。最后我要用我最真誠的心意說聲：“感謝你們！”</p><p><b>　　參 考 文 獻(xiàn)</b></p><

103、;p>　　[1]薛婷.關(guān)于一元函數(shù)極值求法的幾點思考[J].考試周刊,2011,(52):84-85.</p><p>　　[2]華東師范大學(xué)數(shù)學(xué)系.數(shù)學(xué)分析(第三版)上冊[M].高等教育出版社,2001.6.142-144.</p><p>　　[3]萬淑香.關(guān)于一元函數(shù)極值問題的研究[J].邢臺學(xué)院學(xué)報,2006.12:97-98.</p><p>　　[

104、4]陳慧珍.關(guān)于一元函數(shù)的極值問題[J].武漢交通管理干部學(xué)院學(xué)報,1994.3:110-115.</p><p>　　[5]馬麗君.多元函數(shù)極值的充分條件[J].科技信息,2010,(24):120.</p><p>　　[6]申蘭珍.例說多元函數(shù)條件極值求法中的三個“陷阱”[J].數(shù)學(xué)技術(shù)應(yīng)用科學(xué),2006:15-16.</p><p>　　[7]王莉萍.關(guān)于一

105、元和多元函數(shù)極值的統(tǒng)一性研究[J].焦作師范高等?？茖W(xué)校學(xué)報,2007(12):80-82.</p><p>　　[8]陳允杰.多元函數(shù)無條件極值充分條件推廣形式[J].氣象教育與科技,2008,3.(2),14-18.</p><p>　　[9]龍莉,黃玉潔.多元函數(shù)的極值及其應(yīng)用[J].鞍山師范學(xué)院學(xué)報,2003.8,5(4):10-12.</p><p>　　

106、[10]李克.用無條件極值判定多元函數(shù)條件極值[J].菏澤師專學(xué)報,2003.5,25(2):16-18. </p><p>　　[11]張芳,徐文雄.關(guān)于約束極值問題降維法的探討[J].大學(xué)數(shù)學(xué),2008.12,24(6):130-133.</p><p>　　[12]齊新社,包敬民,楊東升.多元函數(shù)條件極值的幾種求解方法[J]. 高等數(shù)學(xué)研究,2009.3,12(2):54-56.&l

107、t;/p><p>　　[13]陳龍.多元函數(shù)的極值與最值的求法[D]:玉林師范學(xué)院,2007.</p><p>　　[14]李遠(yuǎn)華.二元函數(shù)極值的矩陣求法[J].淮南師范學(xué)院學(xué)報,2004,3(6):1-2.</p><p>　　[15]朱江紅,孫蘭香.幾種多元函數(shù)條件極值的解法之比較[J].滄州師范?？茖W(xué)校學(xué)報,2010,02:95-99.</p>&l

108、t;p>　　[16]唐軍強(qiáng).用方向?qū)?shù)發(fā)求解多元函數(shù)極值[J].科技創(chuàng)新導(dǎo)報,2008,(15):246-247.</p><p>　　[17]王延源.條件極值的六種初等解法[J].臨沂師范學(xué)院學(xué)報,1999,(12):21-24.</p><p><b>　　附 錄</b></p><p><b>　　附錄一：外文文獻(xiàn)<

109、;/b></p><p>　　EXTREME VALUES OF FUNCTIONS OF SEVERAL REAL VARIABLES</p><p>　　1. Stationary Points</p><p>　　Definition 1.1 Let and . The point a is said to be:</p><p&

110、gt;　　(1) a local maximum iffor all points sufficiently close to ;</p><p>　　(2) a local minimum iffor all points sufficiently close to ;</p><p>　　(3) a global (or absolute) maximum iffor all po

111、ints ;</p><p>　　(4) a global (or absolute) minimum iffor all points ;;</p><p>　　(5) a local or global extremum if it is a local or global maximum or minimum.</p><p>　　Definition 1.2

112、 Let and . The point a is said to be critical or stationary point if and a singular point if does not exist at .</p><p>　　Fact 1.3 Let and .If has a local or global extremum at the point , then must b

113、e either:</p><p>　　(1) a critical point of , or</p><p>　　(2) a singular point of , or</p><p>　　(3) a boundary point of .</p><p>　　Fact 1.4 If is a continuous function

114、on a closed bounded set then is bounded and attains its bounds.</p><p>　　Definition 1.5 A critical point which is neither a local maximum nor minimum is called a saddle point.</p><p>　　Fact 1.

115、6 A critical point is a saddle point if and only if there are arbitrarily small values of for which takes both positive and negative values.</p><p>　　Definition 1.7 If is a function of two variables such

116、 that all second order partial derivatives exist at the point , then the Hessian matrix of at is the matrix</p><p>　　where the derivatives are evaluated at.</p><p>　　If is a function of three

117、 variables such that all second order partial derivatives exist at the point , then the Hessian of f at is the matrix</p><p>　　where the derivatives are evaluated at.</p><p>　　Definition 1.8 Le

118、t be an matrix and, for each ,let be the matrix formed from the first rows and columns of .The determinants det(),,are called the leading minors of </p><p>　　Theorem 1.9(The Leading Minor Test). Suppose

119、 that is a sufficiently smooth function of two variables with a critical point atand H the Hessian of at.If , then is:</p><p>　　(1) a local maximum if 0>det(H1) = fxx and 0<det(H)=;</p><p&g

120、t;　　(2) a local minimum if 0<det(H1) = fxx and 0<det(H)=;</p><p>　　(3) a saddle point if neither of the above hold.</p><p>　　where the partial derivatives are evaluated at.</p><

121、p>　　Suppose that is a sufficiently smooth function of three variables with a critical point at and Hessian H at.If , then is:</p><p>　　(1) a local maximum if 0>det(H1), 0<det(H2) and 0>det(H3);

122、</p><p>　　(2) a local minimum if 0<det(H1), 0<det(H2) and 0>det(H3);</p><p>　　(3) a saddle point if neither of the above hold.</p><p>　　where the partial derivatives are ev

123、aluated at.</p><p>　　In each case, if det(H)= 0, then can be either a local extremum or a saddle point.</p><p>　　Example. Find and classify the stationary points of the following functions:<