數(shù)學專業(yè)畢業(yè)論文-多元函數(shù)的極值與最值的求法

1、<p>　　多元函數(shù)的極值與最值的求法</p><p><b>　　摘要：</b></p><p>　　在實際問題中, 往往會遇到多元函數(shù)的最大值、最小值問題.多元函數(shù)的最大值、最小值問題與極大值、極小值有密切聯(lián)系.</p><p>　　求多元函數(shù)極值, 一般可以利用偏導數(shù)來解決.與一元函數(shù)相類似, 可以利用函數(shù)的極值來求函數(shù)的最大值

2、和最小值，但是由于自變量個數(shù)的增加, 從而使該問題更具復雜性. 這里主要討論二元函數(shù), 對于二元以上的函數(shù)極值可以類似加以解決.</p><p>　　求多元函數(shù)的極值,本文主要采用以下方法：（1）利用二元函數(shù)的偏導數(shù)求二元函數(shù)極值；（2）拉格朗日乘數(shù)法求極值；（3）用幾何模型法求解極值;（4）通過Jacobi 矩陣求條件極值；(5)利用參數(shù)方程求極值;(6)利用方向?qū)?shù)判別多元函數(shù)的極值;(7)用梯度法求極值.&

3、lt;/p><p>　　對多元函數(shù)的最值問題,我們主要采用的方法有：（1）消元法；（2）均值不等式法；（3）換元法；（4）數(shù)形結(jié)合法；（5）柯西不等式法；（6）向量法.除此之外，很重要的一種就是：考慮極值與最值的關(guān)系，運用極值法求最值.</p><p>　　關(guān)鍵詞:多元函數(shù)，極值，最值，方法</p><p><b>　　、</b></p>

4、;<p>　　Methods for Calculating Extremum and the most Value of Multivariable Function</p><p>　　Author：Chenlong Class: 2007-2 Mathematics and Applied Mathematics</p><p>　　Supervisor: Huang

5、Junhua</p><p><b>　　Abstract</b></p><p>　　In practical problems, we often encounter maximum and minimum problems of multivariable function. Both of them have a close relationship with

6、 maximum, minimum values. </p><p>　　Similar to monad function, we can use the extremum of Function to seek the maximum and minimum value of function, but due to the increased number of independent variable w

7、hich make the issue more complicated. Usually, we can use the partial derivatives to get the extremum of multivariable function. Here, the thesis mainly discusses the duality function so that we can use the similar way t

8、o solve the extremum of duality function to the above.</p><p>　　To get the extreme of multivariable function, the thesis adopts the following ways: (1)Using the partial derivative of duality function to get

9、the extreme; (2)Lagrangian multiplier method to calculate the extremum; (3)Geometric modeling method for solving extremum; (4) Using Jacobi matrix to get the conditional extremum; (5) Using parameter equation to calculat

10、e the extremum; (6)Using directional derivative to identify the extremum of multivariable function; (7) Using gradient method to get the </p><p>　　To calculate the most value of multivariable function, the t

11、hesis takes several main ways as follow: (1) Elimination method (2) The mean value inequality method (3) Substitution method (4) Method of numerical and shaping combination (5) Cauchy inequality method (6) Vector method.

12、Besides, a very important method we should take into consideration is to consider the relations of extremum and most value, using extremum method to calculate most values.</p><p>　　Key words: multivariable f

13、unction, extremum, the most value, method</p><p><b>　　目 錄</b></p><p>　　引言……………… …………………………………………………………………1</p><p>　　1 多元函數(shù)的極值的求法…………………………………………………………1</p><p

14、>　　1.1 利用二元函數(shù)的偏導數(shù)求二元函數(shù)極值…………………………………1</p><p>　　1.2 利用拉格朗日（Lagrange）乘數(shù)法求極值………………………………2</p><p>　　1.3 利用幾何模型法求解極值…………………………………………………3</p><p>　　1.4 通過雅可比(Jacobi) 矩陣求條件極值 ………………

15、…………………5</p><p>　　1.5 利用參數(shù)方程求解條件極值………………………………………………11</p><p>　　1.6 利用方向?qū)?shù)判別多元函數(shù)的極值………………………………………12</p><p>　　1.7 用梯度法求極值……………………………………………………………15</p><p>　　2 多元函數(shù)最值

16、的求法……………………………………………………………17</p><p>　　2.1 消元法………………………………………………………………………18</p><p>　　2.2 均值不等式法………………………………………………………………18</p><p>　　2.3 換元法………………………………………………………………………19</p>

17、<p>　　2.4 數(shù)形結(jié)合法 ……………………………………………………………… 20</p><p>　　2.5 柯西不等式法………………………………………………………………21</p><p>　　2.6 向量法………………………………………………………………………22</p><p>　　2.7 利用極值求最值…………………………………………

18、…………………23</p><p>　　小結(jié)………………………………………… ………………………………………25</p><p>　　致謝……………………………………… …………………………………………25</p><p>　　參考文獻………………………………… …………………………………………25</p><p><b>　　引言

19、</b></p><p>　　多元函數(shù)的極值及其求法是高等數(shù)學學習過程中的一大難點,主要原因有：（1）對拉格朗日乘數(shù)法中參數(shù)的困惑；（2）求可能極值點過程中繁瑣的計算；（3）對極值存在的必要條件及其充分條件的理解.</p><p>　　最值問題是中等數(shù)學中永恒的話題,也是每年高考必不可少的熱門考點.因此,怎樣求最值,是師生們非常關(guān)注和必須解決的問題,也是學生必須具備的解題技能.

20、而在最值求解中,尤以求多元函數(shù)的最值問題因其技巧性強、難度大、方法多、靈活多變而具有挑戰(zhàn)性,成為最值求解中的難點和熱點.</p><p>　　1 多元函數(shù)極值的求法</p><p>　　1.1 利用二元函數(shù)的偏導數(shù)求二元函數(shù)極值</p><p>　　例1.1.1 求由方程, 所確定的函數(shù)的極值.</p><p>　　解: 將方程兩邊分別

21、對求偏導數(shù)</p><p><b>　　(1)</b></p><p><b>　　(2)</b></p><p>　　解出 , </p><p>　　令,求得=1, =-1將他們帶入原方程得.</p><p>　　下面考察函數(shù)在點（1，-

22、1.6）及點（1，-1，-2）的鄰域內(nèi)取值情況.</p><p>　　令= .由于, 所以原方程分別在點(1,-1,6)和（1，-1，-2）的鄰域內(nèi)確定函數(shù).</p><p>　　又方程（1）對x求偏導:,得，.</p><p>　　方程（1）對y求偏導:,得.</p><p>　　方程（2）對y求偏導:,得，</p><

23、p>　　在點（1，-1,6）有，且A<0，所以是極大值。</p><p>　　在點（1，-1,2）處有,且A>0，所以是極小值。</p><p>　　綜上所述, 知由方程在點（1，-1,6）的某鄰域內(nèi)確定的函數(shù),是極大值；在點（1，-1,2）的某鄰域內(nèi)確定的函數(shù)，是極小值.</p><p>　　如把本題所給的方程化成</p><

24、p>　　這是球面方程 ,半徑,球心在點（1，-1,2），對于的一組值，有兩個z與之對應(yīng)，因此 ,從整體來看 ,該方程并不確定一個單值函數(shù) ,從幾何圖形上看 ,z在(1,-1)取得極大值6與極小值-2是然顯的 ,因為球面上最高點與最低點的坐標分別為(1,-1,6)與（1，-1，-2）.</p><p>　　1.2 利用拉格朗日（Lagrange）乘數(shù)法求極值</p><p>　　例1.

25、2.1 求函數(shù)在條件下的極值.</p><p>　　解：本題是條件極值問題，用Lagrange乘法，設(shè)函數(shù)為</p><p>　　解得 </p><p>　　故得駐點 </p><p>　　又 </p><p>　　所以 </p><p

26、>　　故 是極小值點.</p><p><b>　　極小值 </b></p><p>　　1.3 用幾何模型法求解極值</p><p>　　本節(jié)利用多元函數(shù)微分法在幾何上的應(yīng)用得到了求解多元函數(shù)條件極值的方法.</p><p>　　1.3.1 z=f(x,y)在滿足條件下的極值<

27、;/p><p>　　引理 設(shè)空間曲線的方程以的形式給出，是曲線上的一個點，則曲線在點M處的切線方程為</p><p>　　由空間解析幾何知方程組（1）表示一條空間曲線，</p><p>　　在滿足條件下的極值即為曲線： 上點P的坐標的極大值與極小值.如果曲線上處處都有切線，則z 坐標取極大值與極小值的點p處的切平面必平行于坐標面，亦即垂直于z軸。</p>

28、<p>　　由（1）知的方程為，設(shè)其切向量為，</p><p><b>　　則有＝，又,</b></p><p><b>　　即</b></p><p>　　定理 設(shè)函數(shù),在,某一鄰域內(nèi)均有連續(xù)的一階偏導數(shù)且雅克比行列式,則為在滿足條件下的極值點的必要條件為.</p><p>　　例1

29、.3.1 求函數(shù)在附加條件下的極大值.</p><p><b>　　解：因為,</b></p><p><b>　　所以</b></p><p>　　即 (1)</p><p>　　又

30、 (2)</p><p><b>　　解得為，從而=</b></p><p>　　由題意知的極大值為.</p><p>　　例1.3.2 拋物面被平面原點到這橢圓的最長與最短距離.</p><p><

31、b>　　解：因為</b></p><p>　　所以設(shè)目標函數(shù)為 (1)</p><p>　　限制條件為 (2)</p><p><b>　　(3)</b&g

32、t;</p><p>　　由(1)(2)(3)知即求</p><p><b>　　在限制條件下的極值</b></p><p><b>　　因為 </b></p><p>　　所以 即 (4)</p><p>　　由(

33、1)(2)(3)解得</p><p>　　由題意知最長距離為，最短距離為.</p><p>　　1.3.2 在滿足條件下的最值</p><p>　　基本過程（1）在滿足條件下的可能極值點。</p><p>　　（2）求一元函數(shù)的最值。</p><p>　　例1.3.3 求內(nèi)接于橢球的體積最大的長方體的體積，長方體的

34、各個面平行于坐標面.</p><p>　　解：設(shè)內(nèi)接于橢球且各個面平行于坐標面的長方體在第一卦限的頂點坐標為則長方體的體積為V=8xyz且</p><p><b>　　任意固定, </b></p><p>　　首先求(1) 滿足條件時的極值點</p><p><b>　　因為, , , ,</b>&

35、lt;/p><p><b>　　由得得（3）</b></p><p>　　由（2）（3）解得 </p><p><b>　　則由 由</b></p><p>　　解得 時， 最大，</p><p>　　此時長方體在第一卦限的頂點坐標為.</p><p&g

36、t;　　用上述定理給出的解決多元函數(shù)條件極值問題的方法，可避免利用拉格朗日乘數(shù)法過程中繁瑣的計算， 同時對工科學生而言也比較容易理解.</p><p>　　1.4 通過雅可比(Jacobi) 矩陣求條件極值</p><p>　　1.4.1　問題的提出</p><p><b>　　設(shè)方程</b></p><p><

37、b>　　(1)</b></p><p>　　在某鄰域內(nèi)滿足隱函數(shù)存在定理的所有條件,它確定的隱函數(shù)為,又設(shè)約束方程組為</p><p><b>　　(2)</b></p><p>　　其中, 函數(shù)在上述鄰域內(nèi)具有連續(xù)偏導數(shù), 且彼此獨立.</p><p>　　現(xiàn)在要求方程(1)給出的目標函數(shù)在約束方程組

38、(2)下的條件極值.利用拉格朗日乘數(shù)法, 設(shè)拉格朗日函數(shù)</p><p>　　則目標函數(shù)具有條件極值的必要條件是:</p><p><b>　　(3)</b></p><p><b>　　有解.</b></p><p>　　這就是說,若目標函數(shù)在點取得條件極值, 則 滿足方程組(3).</p&

39、gt;<p>　　1.4.2　問題的分析</p><p>　　若方程組(3)有解,將代入(3)的前個方程的偏導函數(shù)中, 并用、表示點處的各偏導數(shù)值, 并以為未知數(shù)構(gòu)造線性方程組:</p><p><b>　　( 4)</b></p><p>　　顯然方程組(4)有非零解,故方程組(4)的系數(shù)矩陣的秩, 其中</p>

40、<p>　　由此可知方程組(3)的前個方程的所有解對應(yīng)的函數(shù)矩陣</p><p>　　也滿足. 因此矩陣A的后列元素對應(yīng)的函數(shù)矩陣</p><p>　　是函數(shù)對于一切自變量的偏導數(shù)所組成的雅可比矩陣的轉(zhuǎn)置矩陣,由函數(shù)的彼此獨立性知,,故所以, 目標函數(shù)具有條件極值的必要條件是.</p><p>　　將函數(shù)矩陣A 看作是在所討論的某鄰域內(nèi)某點處的各偏導數(shù)所組

41、成的數(shù)值矩陣, 進行如下初等變換: 將A的第1列乘以加到第2列; 將A的第1列乘以加到第3列,,直至將A的第1列乘以加到第+1列,可得與A等價的矩陣 , 其中</p><p>　　由隱函數(shù)存在定理知, 對方程所確定的隱函數(shù), 有:</p><p><b>　　故</b></p><p>　　再將的第1列乘以得矩陣</p><

42、p><b>　　故, 且,</b></p><p>　　1.4.3　問題的解決</p><p>　　因為函數(shù)矩陣的秩為, 故中必有一個m階子式不恒為零. 不失一般性，可設(shè)的右上角的階子式,其中</p><p>　　而且中所有包含的個+1階的加邊行列式都等于零, 其中</p><p>　　, . (5)&l

43、t;/p><p>　　由此可知, 若由方程( 1)所確定的目標函數(shù)在點取得滿足約束方程組(2)的條件極值, 則點必滿足方程組(5) .</p><p>　　綜合以上, 可得求方程(1)所確定的目標函數(shù)滿足約束方程組(2)的條件極值的如下方法:</p><p>　?、?選定不恒為零的階子式D,寫出方程組(5),即, ;</p><p>　?、?解方

44、程組(5)與方程組(2)及方程(1)的聯(lián)立方程組;</p><p>　?、?對解出的可能的條件極值點加以判斷.</p><p>　　例1.4.1 求橢球面的內(nèi)接最大長方體體積.</p><p>　　解 設(shè)橢球面的內(nèi)接長方體在第一卦限內(nèi)的頂點為,則其體積為.</p><p>　　現(xiàn)求方程所給出的目標函數(shù)在約束方程組下的條件極值.</p

45、><p>　　由 與，可得 與.解聯(lián)立方程組</p><p><b>　　可得</b></p><p>　　由實際意義知,橢球面的內(nèi)接最大長方體體積是存在的,而且求得唯一的可能條件極值點, 故點為所求條件極值點,所求內(nèi)接最大長方體體積為.</p><p>　　從以上討論和計算可知, 對于目前函數(shù)是顯函數(shù)的情形, 不必化為隱函

46、數(shù),可直接計算.</p><p>　　例1.4.2　從斜邊長為的一切直角三角形中,求有最大周長的直角三角形.</p><p>　　解　設(shè)直角三角形的兩直角邊邊長分別為, 則周長且.</p><p>　　現(xiàn)求目標函數(shù)在約束方程下的條件極值.</p><p>　　由得,得,解聯(lián)立方程組得</p><p>　　由實際意義知,

47、斜邊為定長的直角三角形的最大周長是存在的,而且求得唯一的可能極值點, 故點為所求的條件極值點,因此所求直角三角形為等腰直角三角形, 兩直角邊均為.</p><p>　　1.5 利用參數(shù)方程求解條件極值</p><p>　　在求由參數(shù)方程所確定函數(shù)的極值點,會出現(xiàn)以下二例的情形.</p><p>　　例1.5.1 設(shè)函數(shù)由確定,求函數(shù)的極值點.</p>

48、<p>　　解 ,令得到,對應(yīng)唯一駐點.</p><p>　　當(左側(cè)) (右側(cè)),所以是函數(shù)的極大值點.</p><p>　　注意,t=-1時不存在(函數(shù)有定義),t<-1左側(cè)）右側(cè)) ,但即卻不是函數(shù)的極值點.考察在的性態(tài).因為</p><p><b>　　，</b></p><p>　　所以是

49、的唯一極小值點,也是其最小值點. 對應(yīng)的是函數(shù)定義區(qū)間的左端點,它不是函數(shù)的極值點(極值點應(yīng)為定義區(qū)間的內(nèi)點).</p><p>　　例1.5.2 設(shè)由確定了函數(shù),求并求函數(shù)的極值點.</p><p><b>　　解 對應(yīng),</b></p><p><b>　　(1)</b></p><p>　

50、　由(1)可見時不存在,但函數(shù)在()處的導數(shù)仍存在. 事實上,由導數(shù)定義可得</p><p><b>　　(2)</b></p><p><b>　　于是</b></p><p><b>　　(3)</b></p><p>　　由(2)可見是的連續(xù)不可導點,不是的極值點,對應(yīng)的

51、是函數(shù)定義區(qū)間的內(nèi)點.</p><p>　　由(3)可見,()是的唯一極小值點.</p><p>　　由以上三例可見,由于參數(shù)方程所確定的函數(shù)與自變的關(guān)系是通過參數(shù)t來溝通的,在求解此類問題時應(yīng)注意:</p><p>　　1. 即使,中有一個不存在,對(或?qū)?的導數(shù)仍可以存在,只是不能用公式來求,此時可用導數(shù)定義求.</p><p>　　2.

52、 即使在(或)不存在的(對應(yīng))的左右兩側(cè) (或)變號, 也不能確定它是函數(shù)的極值點(或拐點),需要進一步考察,切勿妄下結(jié)論.</p><p>　　3．若有同時成立,而中至少有一個不為0,則點稱為曲線的奇異點(見菲赫金哥爾茨《微積分教程》一卷二分冊).</p><p>　　1.6 利用方向?qū)?shù)判別多元函數(shù)的極值</p><p><b>　　1.6.1 引

53、理</b></p><p>　　設(shè)函數(shù),在平面區(qū)域D上可微,L是D內(nèi)的光滑曲線 ,當點在L上移動時,函數(shù)沿L的前進方向的方向?qū)?shù)滿足：</p><p>　　(1),則函數(shù)在L上單調(diào)增加.</p><p>　　(2),則函數(shù)在L上單調(diào)減少.</p><p>　　(3),則函數(shù)在L上為常數(shù).</p><p>　

54、　證明 設(shè)曲線L的方程為且沒有垂直于X軸的切線在L上任意兩點,(移動時先經(jīng)過點),對于定義在L上的一元函數(shù)應(yīng)用微分中值定理,</p><p>　　,(在與之間)， (1)</p><p>　　及 （a為L的切線與X軸的夾角）</p><p>　　于是 （2）</p><p><

55、b>　　當時，，；</b></p><p>　　當時，，，故與同號，如果當時，，從而.所以，函數(shù)在L上眼前進方向是單調(diào)增加的.</p><p>　　同理,可證(2)、(3)成立.</p><p>　　如果曲線L有鉛直切線,則可設(shè)其方程為,證法類似.</p><p>　　1.6.2 極值存在的二個充分條件</p>

56、<p>　　定理1 設(shè)函數(shù),在點的某鄰域內(nèi)可微,且,如果函數(shù)在該鄰域任一點處，沿直線方向的方向?qū)?shù)滿足:</p><p>　　(1) ,則為的極大值；</p><p>　?。?），則為的極小值.</p><p>　　證明 設(shè)為領(lǐng)域內(nèi)任意一點,L為領(lǐng)</p><p>　　域內(nèi)過點和的直線段，由假設(shè)知,函數(shù)在點處沿方向的導數(shù)，且

57、在L上點與之間的何點處,該方向的方向?qū)?shù)均為負.由引理知, 在L上單調(diào)減少,即>.由的任意性, 是極大值.情形（2）同理可證.</p><p>　　定理2 設(shè)函數(shù)在平面區(qū)域D上可微,曲線L完全屬于D,且在曲線L上的一階偏導數(shù)為零.如果在曲線L上各點的法線上,函數(shù)沿法線向外方向的方向?qū)?數(shù)滿足.</p><p>　　(1) 在該弧段的鄰近均為負,則函數(shù)在該弧段上取得弱極大值.<

58、/p><p>　　(2) 在該弧段的鄰近均為正,則函數(shù)在該弧段上取得弱極小值.</p><p>　　證明 (1) 設(shè)為曲線L上某弧段內(nèi)一點,又設(shè)s為過的任一曲線,點為s上某鄰域內(nèi)的任意一點.</p><p>　　如果點在上,根據(jù)引理知=.</p><p>　　如果點不在上,則點必在上某點的法線上,由假設(shè)知線段各點沿的方向?qū)?shù)為負,由引理知,函數(shù)

59、在線段上單調(diào)減少所以<.故=.由點p的任意性知,在點的某鄰域內(nèi)總有即函數(shù)值.即函數(shù)值為的弱極大值.</p><p><b>　　(2) 類似可證。</b></p><p>　　1.6.3 應(yīng)用舉例</p><p>　　利用上述充分條件判別極值的一般步驟:</p><p>　　(1) 求出函數(shù)的駐點,用射線及曲線里

60、將的鄰域劃分成若干區(qū)域.</p><p>　　(2) 及上和各部分區(qū)域內(nèi),判斷方向?qū)?shù)各項符號,進而判斷方向?qū)?shù)的符號.</p><p>　　(3) 根據(jù)定理1、2，判斷該駐點是否為極值點.</p><p>　　例1.6.1 求函數(shù)=,極值。</p><p>　　解 ,,令，得駐點（2，-2）方向?qū)?shù)</p><p>

61、;　　在點(2,-2)鄰近，各項符號如下表：</p><p>　　所以,由定理1,點(2,-2)為極大值.</p><p>　　例1.6.2 求函數(shù)的極值.</p><p>　　解 ,得駐點=0為一直線.方向?qū)?shù)駐點直線=0與軸的夾角,</p><p>　　直線上各點的法線與軸夾角為或，此時在直線=0的上方,法線方向為，且.在直線=0的下

62、方,法線方向為,,其鄰近各點沿法線方向的方向?qū)?shù)為:</p><p><b>　　,</b></p><p>　　由定理2,函數(shù)在直線=0上取得弱極小值. </p><p>　　1.7 用梯度法求極值</p><p><b>　　1.7.1 引言</b></p><p>

63、　　設(shè)為實n維歐氏空間,是以中子集為定義域的一個n 維實數(shù).</p><p>　　定義1 設(shè)， ，若,并且在某鄰域內(nèi)有定義，當極限</p><p>　　存在，稱這個極限為函數(shù)在關(guān)于的偏導數(shù)，記為</p><p><b>　　或.</b></p><p>　　定義2 若函數(shù)在存在對所有自變量的偏導數(shù)，則稱向量為在的梯度

64、記為：</p><p>　　定義3 設(shè)為開集,,若存在線性變量，使</p><p><b>　　,</b></p><p>　　則稱函數(shù)f在處可微，線性變量為f在的微分.</p><p>　　顯然，當f可微時，在處存在并且.0</p><p><b>　　重要結(jié)果</b>&

65、lt;/p><p>　　定理1 設(shè)函數(shù)在凸形域內(nèi)可微，并且,其中L為常數(shù)，則在上一致連續(xù).</p><p>　　證明：當是閉區(qū)域時，結(jié)論顯然成立.設(shè),為中點，由于是凸形域，則線段PQ整個都落在內(nèi)，令，，考察一元函數(shù)，，由于在凸形域內(nèi)可微，我們有：</p><p><b>　　于是</b></p><p><b>

66、　　所以</b></p><p><b>　　故對于，取當時，有</b></p><p><b>　　所以在上一致連續(xù).</b></p><p>　　定理2 若n元函數(shù)在某鄰域梯度向量存在，并且，則在點連續(xù).</p><p>　　定理3 設(shè)函數(shù)，在鄰域內(nèi)，連續(xù)，在內(nèi)可微.</p

67、><p>　　(1) 當，有，則在點取極大值；</p><p>　　(2) 當，，則在點取極小值；</p><p>　　例1.7.1 求的極值.</p><p>　　解 令得其穩(wěn)定點為（1,1）.</p><p>　　由于Hessn矩陣，無法判斷其極值.而</p><p>　　所以穩(wěn)定點（1,

68、1）取極小值.</p><p>　　2 多元函數(shù)最值的求法</p><p>　　求最值問題是中等數(shù)學永恒的話題,其中,多元函數(shù)求最值是難點.求多元函數(shù)最值的常用方法有:消元法、均值不等式法、換元法、數(shù)形結(jié)合法、柯西不等式法、向量法等,結(jié)合例題將這些方法加以總結(jié).</p><p>　　最值問題是中等數(shù)學中永恒的話題,也是每年高考必不可少的熱門考點。因此,怎樣求最值,

69、是師生們非常關(guān)注和必須解決的問題,也是學生必須具備的解題技能。而在最值求解中,尤以求多元函數(shù)的最值問題因其技巧性強、難度大、方法多、靈活多變而具有挑戰(zhàn)性,成為最值求解中的難點和熱點.</p><p>　　現(xiàn)將多元函數(shù)求最值的常用方法和技巧總結(jié)介紹如下.</p><p><b>　　2.1 消元法</b></p><p>　　消元法是指通過消去

70、變量(或未知數(shù)) 從而達到解題目的的方法。當題中有兩個或兩個以上的變量(或未知數(shù)) 時,要同時求出它們是做不到的。如果能先消去一些變量(或未知數(shù)) 使其減少到一個,使數(shù)量關(guān)系單一化,則便于找到解題途徑。多元函數(shù)最值難求,關(guān)鍵在于變量較多。如果能夠采取合理的手段消元,使變量減少甚至只剩下一個變量,則問題往往迎刃而解。消元法是求多元函數(shù)最值的最基本方法,遇到此類問題時,首選之法就是消元法。</p><p>　　例2.

71、1 已知,求的最值。</p><p><b>　　解:由條件知</b></p><p><b>　　∴</b></p><p><b>　　1</b></p><p><b>　　又，</b></p><p><b>　

72、　∴，</b></p><p><b>　　∴.</b></p><p>　　而 ,函數(shù)S在[0,3]上是增函數(shù),</p><p>　　∴當時, ;當, .</p><p>　　需特別提醒的是,消元后,留下的元(變量或未知數(shù)) 的取值范圍往往并不是任意的,而要根據(jù)題設(shè)條件挖掘出來,而這往往成濰解題成敗的關(guān)鍵。

73、</p><p>　　2.2 　均值不等式法</p><p>　　均值不等式: 設(shè)ai ( i = 1 , 2 , 3 , ?, n) > 0 ,則</p><p>　　(當且僅當時等號成立) 。</p><p>　　在實際中,經(jīng)常使用的只是n = 2 和n = 3 的情況。它的最大用途在于求最值。</p><p&g

74、t;　　在將均值不等式應(yīng)用于求最值時,要求比較高,可概括為:“一正、二定、三相等”。即: (1) 所涉及的量必須都正數(shù); (2) 這些正數(shù)的“和”或“積”是定值:當積為定值時,可以求和的最小值;當和為定值時,可以求積的最大值; (3) 這些正數(shù)必須相等。這三點缺一不可,否則,所求的最值是不可能正確的。</p><p>　　均值不等式是解決多元函數(shù)求最值的行之有效的方法。只要滿足了“一正、二定、三相等”的條件,就屢

75、試不爽。但在具體解題時,因其技巧性較強,需要合理拆分項或恰當配湊因式,創(chuàng)設(shè)使用均值不等式的條件,因此,需要多做題,細揣摩,才能把握好。</p><p>　　例2.2 已知x ≥y > 0 ,求的最小值。</p><p><b>　　解: </b></p><p><b>　　=3</b></p>&l

76、t;p><b>　　當且僅當</b></p><p><b>　　即時,.</b></p><p>　　本題通過“恰當配湊”達到“積是定值”的條件,并且配湊后三個正數(shù)“會相等”。</p><p><b>　　2.3 　換元法</b></p><p>　　所謂換元法,就是在

77、一個比較復雜的數(shù)學式子中,用新的變量去代替原來的部分(或全部) 變量或改造原來的式子,利用新元架起未知通向已知的橋梁。換元的實質(zhì)是轉(zhuǎn)化,目的是化繁為簡、化生為熟,使問題易于解決,其關(guān)鍵是構(gòu)造元和設(shè)元。換元的方法有:局部換元、三角換元、均值換元等。換元時要盡可能地用新元把分散的條件聯(lián)系起來,把隱含的條件顯露出來。換元法是數(shù)學中一個非常重要而且應(yīng)用十分廣泛的解題方法和技巧,通過換元可以使復雜問題簡單化,使一些看似“一籌莫展”的問題“柳暗花明

78、”。 </p><p>　　例2.3 設(shè)a , b , c > 0 , 求的最小值。</p><p><b>　　解:令</b></p><p><b>　　則</b></p><p><b>　　∴</b></p><p><b>　

79、　- 17 + 4</b></p><p><b>　　即.</b></p><p>　　由于給出的關(guān)于a 、b、c 的函數(shù)表達式比較繁雜,特別是分母,但通過本題的換元“強制性”地簡化了分母,當把表達式整理成關(guān)于x 、y 、z 的解析式后,其結(jié)論水到渠成。另外,特別注意換元后的新元的取值范圍不一定是任意的,題設(shè)條件或其自身將可能影響新元的范圍,這正是很多使

80、用換元法解題不正確的原因所在。</p><p>　　2.4 　數(shù)形結(jié)合法</p><p>　　數(shù)形結(jié)合,就是通過數(shù)與形之間的對應(yīng)和轉(zhuǎn)化來解決數(shù)學問題。它包含“以形助數(shù)”和“以數(shù)解形”兩個方面,一方面,許多數(shù)量關(guān)系的抽象概念和解析式,若賦予其幾何意義,往往可以變得非常的直觀、形象;另一方面,一些圖形的屬性又可以通過數(shù)量關(guān)系的研究使得圖形的性質(zhì)更豐富、更精確、更深刻。數(shù)形結(jié)合的實質(zhì)就是將抽象的

81、數(shù)學語言與直觀的圖形結(jié)合起來,使抽象思維和形象思維結(jié)合起來。它兼有數(shù)的嚴謹與形的直觀之長,利用它可使復雜問題簡單化,抽象問題具體化,是優(yōu)化解題過程的重要途徑之一。</p><p>　　例2.4 設(shè)0 < u < , v > 0 ,求的最小值。</p><p>　　解:設(shè),則，此時,P 的軌跡是,</p><p>　　Q 的軌跡是,() ,<

82、;/p><p>　　在平面直角坐標系中做出動點P ,Q 的軌跡(如圖) ,則</p><p>　　,即| OQ| min = .,</p><p>　　可得v = 3 。又| OP| = 2 ,</p><p>　　∴| PQ| ≥| OQ| - | OP| = </p><p><b>　　∴.</b&g

83、t;</p><p><b>　　即當時, .</b></p><p>　　數(shù)形結(jié)合解題時的一般方法是:第一步,先把已知條件與待求結(jié)論的代數(shù)式(或量) 都化成形,第二步,觀察圖形,得到解題方法,進而得出結(jié)論。</p><p>　　2.5 　柯西不等式法</p><p><b>　　柯西不等式:設(shè);均</b

84、></p><p><b>　　是實數(shù),則有</b></p><p>　　等號當且僅當(為常數(shù), )時取得。</p><p>　　柯西不等式是一個非常重要的不等式,其結(jié)構(gòu)和諧,應(yīng)用靈活廣泛,靈活巧妙地運用它,可以使一些較為困難的問題迎刃而解。在使用時,往往要采取一些方法(如巧拆常數(shù)、巧變結(jié)構(gòu)、巧設(shè)數(shù)組等) 構(gòu)造符合柯西不等式的形式及條件,

85、繼而達到使用柯西不等式解決有關(guān)的問題。</p><p>　　例2.5 設(shè),且,求u =的最小值。</p><p>　　解:由柯西不等式可得,</p><p><b>　　由及可得,</b></p><p><b>　　，</b></p><p><b>　　此時,

86、 .</b></p><p>　　本題通過巧用常數(shù)“1”構(gòu)造出了符合柯西不等式的形式及條件,繼而達到解題目的。</p><p><b>　　2.6 　向量法</b></p><p>　　在求有些多元函數(shù)的最值時,恰當構(gòu)造向量模型,利用向量的坐標及內(nèi)積,?？墒箯碗s問題變得簡單明了,使繁瑣的解題顯得巧妙與自然。</p>&

87、lt;p>　　例2.6 已知 ,求的最大值。</p><p>　　解:由已知,可取點,設(shè)是圓 上任一點, 為原點,則</p><p><b>　　，</b></p><p><b>　　∴</b></p><p><b>　　∴的最大值是.</b></p>

88、<p>　　向量知識是新近出現(xiàn)在高中數(shù)學中的內(nèi)容,對其在解題中的重要作用的認識和使用遠未到位。向量的內(nèi)積公式在求最值時非常管用,只要根據(jù)題設(shè)條件恰當?shù)卦O(shè)出坐標,再利用向量的內(nèi)積公式及余弦函數(shù)的有界性便可順利求解。</p><p>　　2.7 利用極值求最值</p><p>　　定理1 若函數(shù)在上有唯一的極大（小）值點，則該點為最大（?。┲迭c.則該點必為最大（?。┲迭c.<

89、;/p><p>　　證明 先求的駐點，為此解方程組</p><p><b>　　（1）</b></p><p>　　以下分三種情況進行討論.</p><p>　?、?若方程組（1）無解，則無極值，從而無最值（因為在上的最值比為極值）.</p><p>　　② 若方程組（1）有唯一解，則直線與不平

90、行，所以，即（其中，，，若，則無極值也無最值；若，則在取極值，時取極小值,時取極大值,下證是的最值點.</p><p><b>　　有泰勞公式知</b></p><p>　　當且時，為正定二次型，恒有，是的最小值點；當且時，為負定二次型，恒有，是的最大值點.</p><p>　?、?若方程組（1）有無窮多組解，則，此時有無限多個駐點.對的任意

91、一個駐點，由泰勞公式知</p><p><b>　　記,由于，所以秩.</b></p><p>　　若秩，則，此時既無極值也無最值.</p><p>　　若秩，則可通過變量變換，把化為二次型，這里P是一個二階可逆矩陣，.當時，恒有；當時，恒有.所以每一個駐點都是極值點也是最值點.</p><p>　　綜上所述定理1的結(jié)論

92、得證.</p><p>　　從定理3的證明不難得出下述結(jié)論：</p><p>　　推論1 函數(shù)，在區(qū)域D上的極大（小）值必為最大（?。┲?</p><p><b>　　求函數(shù)在的最值.</b></p><p>　　解 函數(shù)有駐點，又</p><p><b>　　,</b>

93、</p><p><b>　　.</b></p><p>　　所以是的極大值點，有推論1知是的最大值點.</p><p><b>　　小結(jié)</b></p><p>　　多元函數(shù)極值與最值的求法種類可能還有很多，而且隨著數(shù)學的發(fā)展，可能會更加豐富，更加有趣，此因本人能力有限，研究出了以上的方法.本文采

94、取不同的形式論述各種求值方法.在論述簡單的方法時，只是運用實例加以論述；比較難些的，引用定理，甚至推論，再輔以例題論述；對于更難的，采用更加詳細的提出、分析、解決的步驟，使論述更加淺顯易懂.在實際生活中，極值與最值的關(guān)系是非常緊密的，在此把求極值作為求最值的一種方法，來顯現(xiàn)兩者關(guān)系.</p><p><b>　　致謝</b></p><p>　　彈指一揮間，四年的大學

95、生活過去了.在這四年中，我有幸得到了玉林師范學院數(shù)計系各位老師的諄諄教誨，再一次體驗了學習的辛苦與快樂.可以這么說，這四年是我學習工作倍感進步的四年.在此，我真誠地對以下各位表示謝意：</p><p>　　感謝我的導師黃副教授.</p><p>　　感謝諸多文獻的作者！他們的研究成果給了我很多啟發(fā)，有的已經(jīng)成為論文重要部分.</p><p>　　雖然論文已經(jīng)完稿，然

96、而對于這篇論文，我是不滿多于自足，現(xiàn)僅將這個盡心盡力，同時還有待進一步完善的作品，獻給以上給予我關(guān)心，支持和幫助的各位領(lǐng)導，老師和朋友們.</p><p><b>　　參考文獻</b></p><p>　　[1] 王惠珍，等.二元函數(shù)極值的一種新判斷方法[J].高等教學研究，2000(1)：18-19.</p><p>　　[2] Chen F

97、ulai,Liao Jiawu. Existence of Positive Periodic Solution to a Class of Neutral Delay Competition Model[J].Ann of Diff Eqs,2006,22(1):13-20.</p><p>　　[3] Wang Haiqing. Periodic Solutions for Higher Order Dela

98、y Functional Differential Equation of Neutral Type with Linear Restoring Teams [J]. Ann of Diff Eqs,2006,22(1):62-68．</p><p>　　[4] 劉炳文,黃立宏.一類n階非線性常微分方程周期解的存在性[J].數(shù)學學報,2004(6):1133-1140.</p><p>　

99、　[5] Lu Shiping.On the Existence of Positive Periodic Solutions for Neutral Functional Differential Equation with Multiple Deviating Arguments [J].J Math Anal Appl,2003,280:321-333.</p><p>　　[6] 周先鋒,王曉佳.關(guān)于三元

100、函數(shù)極值的探討[J].合肥學院學報,2008(2):12-19.</p><p>　　[7] T.M.菲赫 金哥爾茨.微積分教程(第一卷第二分冊).人民教育出版社, 1956年.</p><p>　　[8] 同濟大學數(shù)學教研室主編.高等數(shù)學(第四版下冊).高等教育出版社,1996 年.</p><p>　　[9] 同濟大學數(shù)學教研室主編 高等數(shù)學 第三版 高等教育出

101、版社.</p><p>　　[10] 山東大學數(shù)學教研室主偏 吉來多雄奇習趁集 山 東科學技術(shù)出版社.</p><p>　　[11] 合肥工業(yè)大學.工科數(shù)學.1995年第1期.</p><p>　　[12] 華東師范大學數(shù)學系.數(shù)學分析[M].高等教育出版社.</p><p>　　[13] 王全慶.求多元函數(shù)的一類方法[A].大連民族學院學報