多元函數的極值及其求法

1、第十一講 第十一講 二元函數的極值 二元函數的極值要求： 要求：理解多元函數極值的概念， 會用充分條件判定二元函數的極值， 會用拉格朗日乘數法求條件極值。問題提出 問題提出：在實際問題中，往往會遇到多元函數的最大值， 最小值問題，與一元函數相類似，多元函數的最大值，最小值與極大值，極小值有密切的關系，因此以二元函數為例，來討論多元函數的極值問題．一．二元函數的極值 一．二元函數的極值定義 定義 設函數 z ? f (x, y) 在點 (

2、x0, y0 ) 的某個鄰域內有定義，對于該鄰域內的所有(x, y) ? (x0, y0) ，如果總有 f (x, y) ? f (x0, y0) ，則稱函數 z ? f (x, y) 在點(x0, y0 ) 處有極大值；如果總有 f (x, y) ? f (x0, y0) ，則稱函數 z ? f (x, y) 在點(x0, y0 ) 有極小值．函數的極大值，極小值統(tǒng)稱為極值，使函數取得極值的點稱為極值點．例 1．函數 z ? xy 在

3、點(0,0) 處不取得極值，因為在點(0,0) 處的函數值為零，而在點(0,0) 的任一鄰域內總有使函數值為正的點，也有使函數值為負的點．例 2．函數 z ? 3x ? 4y 在點(0,0) 處有極小值．因為對任何(x, y)有 f (x, y) ? f (0,0) ? 0 ．從幾何上看，點 (0,0,0) 是開口朝上的橢圓拋物面 z ? 3x ? 4y 的頂點，曲面在點 2 22 2(0,0,0) 處有切平面 z ? 0，從而得到函數

4、取得極值的必要條件．定理 定理 1（必要條件） （必要條件）設函數 z ? f (x, y) 在點(x0, y0 ) 具有偏導數， 且在點(x0, y0) 處有極值， 則它在該點的偏導數必然為零，即 fx (x0, y0) ? 0 ， fy (x0, y0 ) ? 0 ．幾何解釋 幾何解釋若函數 z ? f (x, y) 在點(x0, y0 ) 取得極值 z0 ， 那么函數所表示的曲面在點(x0, y0, z0)處的切平面方程為z ?

5、z0 ? fx (x0, y0 )(x ? x0 ) ? fy (x0, y0 )(y ? y0 )是平行于 xoy 坐標面的平面 z ? z0 ．類似地有三元及三元以上函數的極值概念，對三元函數也有取得極值的必要條件為fx (x0, y0, z0) ? 0 ， fy (x0, y0, z0 ) ? 0 ， fz (x0, y0, z0) ? 0注意 注意 2．極值點也不一定是駐點，若對可導函數而言，怎樣？例 4．求函數 f (x, y

6、) ? x ? y ? 3x ? 3y ? 9x 的極值．2 ? ? fx ? 3x ? 6x ? 9 ? 0解 先解方程組? ，求得駐點為(1,0),(1,2),(?3,0),(?3,2) ，2 ? ? fy ? ?3y ? 6y ? 03 3 2 2再求出二階偏導函數 f xx ? 6x ? 6 ， fxy ? 0 ， fyy ? 6y ? 6 ．在點 (1,0) 處， AC ? B ? 12? 6 ? 72 ? 0 ，又 A ?

7、0 ，所以函數在點 (1,0) 處有極小值為 2f (1,0) ? ?5 ；在點(1,2) 處， AC ? B ? ?72 ? 0 ，所以 f (1,2) 不是極值；在點(?3,0) 處， AC ? B ? ?72 ? 0 ，所以 f (?3,0) 不是極值；在點 (?3,2) 處， AC ? B ? 72 ? 0 ，又 A ? 0 ，所以函數在點 (?3,2) 處有極大值為 222f (?3,2) ? 31．二．函數的最大值與最小值

8、二．函數的最大值與最小值求最值方法 求最值方法：⑴ 將函數 f (x, y) 在區(qū)域 D 內的全部極值點求出；⑵ 求出 f (x, y) 在 D 邊界上的最值；即分別求一元函數 f (x,?1(x)) ， f (x,?2(x)) 的最值；⑶ 將這些點的函數值求出，并且互相比較，定出函數的最值．實際問題求最值 實際問題求最值根據問題的性質，知道函數 f (x, y) 的最值一定在區(qū)域 D 的內部取得，而函數在 D 內只有一個駐點，那么可以

9、肯定該駐點處的函數值就是函數 f (x, y) 在 D 上的最值．例 4．求把一個正數a 分成三個正數之和，并使它們的乘積為最大．解 設 x, y 分別為前兩個正數，第三個正數為a ? x ? y ，問題為求函數 u ? xy(a ? x ? y) 在區(qū)域 D ： x ? 0， y ? 0， x ? y ? a 內的最大值．因為 ?u ?u ? x(a ? 2y ? x)， ? y(a ? x ? y) ? xy ? y(a ? 2x