分式函數(shù)值域的求法

1、分式函數(shù) 的值域2 2221 121c x b x ac x b x a y ? ?? ? ?函數(shù)值域是函數(shù)三要素之一，求函數(shù)值域無(wú)定法，且方法靈活，是中學(xué)數(shù)學(xué)的一個(gè)難點(diǎn)。今天我們主要討論分式函數(shù) 的值域求法。2 2221 121c x b x ac x b x a y ? ?? ? ?一、若 同時(shí)為零，則函數(shù) 就變?yōu)樾稳?（ 2 1 a a ，2 2221 121c x b x ac x b x a y ? ?? ? ?2 21 1c

2、 x bc x b y ?? ?不同時(shí)為零）的函數(shù)，可以用分離常數(shù)法或求反函數(shù)法來(lái)求函數(shù)的值域。 2 2 b b ，例１ 求函數(shù) 的值域 31 2?? ? xx y解法１：（分離常數(shù)法）利用恒等變形可化為： 37 2 37 ) 3 ( 2? ? ? ?? ? ? x xx y所以，該函數(shù)的值域?yàn)?： ) 2 ( ) 2 ( ? ? ?? ? ， ， ? y解法２：（求反函數(shù)法）函數(shù) 的反函數(shù)為所以 原函數(shù)值域?yàn)?（即反函數(shù) 31 2

3、?? ? xx y 1 32x y x? ? ? ? ? 2 ? ? y y y定義域?yàn)樵瘮?shù)值域） 。二、若 不同時(shí)為零，但分子與分母有公因式子，可先約分再求值域。如果不約 2 1 a a ，分，直接采用下面三的方法，將加大運(yùn)算量（如例 6） 。例２ 求函數(shù) 的值域 2 312 ? ?? ? x xx y解：可先將函數(shù)變?yōu)?。 ) 2 )( 1 (1 ) ( ? ?? ? ? x xx x f y約分后函數(shù)變?yōu)?。 21 ) ( ?

4、? x x g所以 0 ) ( ? x g約分后函數(shù) 的定義域擴(kuò)大了（嚴(yán)格來(lái)說(shuō) 與原函數(shù) 不是同一個(gè)函數(shù)，但 ) (x g ( ) g x ) (x f在不引起混淆的情況下也可直接約分） ， 在１處所對(duì)應(yīng)的函數(shù)值 ，也是 不能 ) (x g 1 ? ) (x f取到的值，所以函數(shù) 的值域是 。 2 312 ? ?? ? x xx y ） （０， ０） １ （ １） ， （ ? ? ? ? ? ? , - -例３求函數(shù) 的值域 26 5

5、 2?? ? ? xx x y所以函數(shù)的值域?yàn)?。 ( , 2] [2, ) ?? ? ?? ?例 6：求函數(shù) 的值域 212x y x x? ? ? ?解：因?yàn)榉肿优c分母有公因子，約分后可用上面二介紹的方法來(lái)求值域，如果不約分，也可直接用判別式法來(lái)求。將 轉(zhuǎn)化為關(guān)于 的一元二次方程； 212x y x x? ? ? ? x2 ( 1) 1 2 0 yx y x y ? ? ? ? ?當(dāng) 時(shí)， 不在函數(shù)定義域內(nèi)； 0 y ? 1 x ?

6、當(dāng) 時(shí)， 0 y ? 2 ( 1) 4 (1 2 ) 0 y y y ? ? ? ? ? ?即 ，當(dāng) 時(shí)， ，此時(shí) 不在函數(shù)定義域內(nèi)。 2 (3 1) 0 y ? ? 2 (3 1) 0 y ? ? 13 y ? 1 x ?所以函數(shù)值域內(nèi) 1 1 ( ,0) (0, ) ( , ) 3 3 y ? ?? ?? ? ?對(duì)于形如 （ ）的二次分式函數(shù)的求值域問(wèn)題，只要函22ax bx c y dx ex f? ? ? ? ?2 2 0 a