函數(shù)定義域、值域求法總結(jié)(精彩)

1、<p>　　函數(shù)定義域、值域求法總結(jié)</p><p>　　一、定義域是函數(shù)y=f(x)中的自變量x的范圍。 </p><p>　　求函數(shù)的定義域需要從這幾個(gè)方面入手： </p><p><b>　?。?）分母不為零 </b></p><p>　?。?）偶次根式的被開(kāi)方數(shù)非負(fù)。</p><p&

2、gt;　?。?）對(duì)數(shù)中的真數(shù)部分大于0。 </p><p>　　（4）指數(shù)、對(duì)數(shù)的底數(shù)大于0，且不等于1 </p><p>　?。?）y=tanx中x≠kπ+π/2；y=cotx中x≠kπ等等。</p><p><b>　　( 6 )中x</b></p><p>　　二、值域是函數(shù)y=f(x)中y的取值范圍。這些解題思想

3、與方法貫穿了高中數(shù)學(xué)的始終。</p><p>　　常用的求值域的方法：（1）直接法 （2）圖象法（數(shù)形結(jié)合） （3）函數(shù)單調(diào)性法</p><p>　?。?）配方法 （5）換元法 （包括三角換元） （6）反函數(shù)法（逆求法） </p><p>　?。?）分離常數(shù)法 （8）判別式法 （9）復(fù)合函數(shù)法</p>

4、;<p>　?。?0）不等式法 （11）平方法等等 </p><p><b>　　三、典例解析</b></p><p><b>　　1、定義域問(wèn)題</b></p><p>　　例1 求下列函數(shù)的定義域：</p><p><b>　?、?；② ；③ </b><

5、;/p><p>　　解：①∵x-2=0，即x=2時(shí)，分式無(wú)意義，</p><p>　　而時(shí)，分式有意義，∴這個(gè)函數(shù)的定義域是.</p><p>　?、凇?x+2<0，即x<-時(shí)，根式無(wú)意義，</p><p>　　而，即時(shí)，根式才有意義，</p><p>　　∴這個(gè)函數(shù)的定義域是{|}.</p>&

6、lt;p>　?、邸弋?dāng)，即且時(shí)，根式和分式 同時(shí)有意義，</p><p>　　∴這個(gè)函數(shù)的定義域是{|且}</p><p>　　另解：要使函數(shù)有意義，必須： </p><p>　　例2 求下列函數(shù)的定義域：</p><p>　?、?③ </p><p>　　④

7、 ⑤ </p><p>　　解：①要使函數(shù)有意義，必須： 即： </p><p>　　∴函數(shù)的定義域?yàn)椋?[] </p><p>　?、谝购瘮?shù)有意義，必須：</p><p>　　∴定義域?yàn)椋簕 x|}</p><p>　?、垡购瘮?shù)有意義，必須： </p>&l

8、t;p><b>　　∴函數(shù)的定義域?yàn)椋?lt;/b></p><p>　　④要使函數(shù)有意義，必須： </p><p><b>　　∴定義域?yàn)椋?</b></p><p>　?、菀购瘮?shù)有意義，必須： </p><p>　　即 x< 或 x> ∴定義域?yàn)椋?/p>

9、</p><p>　　例3 若函數(shù)的定義域是R，求實(shí)數(shù)a 的取值范圍 </p><p>　　解：∵定義域是R,∴</p><p><b>　　∴</b></p><p>　　例4 若函數(shù)的定義域?yàn)閇1，1]，求函數(shù)的定義域</p><p>　　解：要使函數(shù)有意義，必須：</p>&

10、lt;p><b>　　∴函數(shù)的定義域?yàn)椋?lt;/b></p><p>　　例5 已知f(x)的定義域?yàn)閇－1，1]，求f(2x－1)的定義域。</p><p>　　例6已知已知f(x)的定義域?yàn)閇－1，1]，求f(x2)的定義域。</p><p>　　例5分析：法則f要求自變量在[－1，1]內(nèi)取值，則法則作用在2x－1上必也要求2x－1在 [

11、－1，1]內(nèi)取值，即－1≤2x－1≤1,解出x的取值范圍就是復(fù)合函數(shù)的定義域；或者從位置上思考f(2x－1)中2x－1與f(x)中的x位置相同，范圍也應(yīng)一樣，∴－1≤2x－1≤1,解出x的取值范圍就是復(fù)合函數(shù)的定義域。</p><p>　　（注意：f(x)中的x與f(2x－1)中的x不是同一個(gè)x，即它們意義不同。）</p><p>　　解：∵f(x)的定義域?yàn)閇－1，1]，</p&g

12、t;<p>　　∴－1≤2x－1≤1，解之0≤x≤1，</p><p>　　∴f(2x－1)的定義域?yàn)閇0，1]。</p><p>　　例6已知已知f(x)的定義域?yàn)閇－1，1]，求f(x2)的定義域。</p><p>　　答案：－1≤x2≤1 x2≤1－1≤x≤1</p><p>　　練習(xí)：設(shè)的定義域是[3，]，求函數(shù)的定義域

13、</p><p>　　解：要使函數(shù)有意義，必須： 得： </p><p>　　∵ ≥0 ∴ </p><p>　　∴ 函數(shù)的定域義為：</p><p>　　例7已知f(2x－1)的定義域?yàn)閇0，1]，求f(x)的定義域</p><p>　　因?yàn)?x－1是R上的單調(diào)遞增函數(shù)，因此由2x－1， x∈[0,

14、1]求得的值域[－1，1]是f(x)的定義域。</p><p>　　練習(xí)：已知f(3x－1)的定義域?yàn)閇－1，2），求f(2x+1)的定義域。）</p><p>　　（提示：定義域是自變量x的取值范圍）</p><p><b>　　練習(xí)：</b></p><p>　　【練1】已知f(x2)的定義域?yàn)閇－1，1]，求f(x

15、)的定義域</p><p>　　【練2】若的定義域是，則函數(shù)的定義域是（　?。?lt;/p><p>　?。粒拢茫模?lt;/p><p>　　【練3】已知函數(shù)的定義域?yàn)椋?，函?shù)的定義域?yàn)椋?，則（　?。?lt;/p><p>　?。粒拢瓸Ｃ．Ｄ． </p><p><b>　　2、求值域

16、問(wèn)題</b></p><p>　　利用常見(jiàn)函數(shù)的值域來(lái)求（直接法）</p><p>　　一次函數(shù)y=ax+b(a0)的定義域?yàn)镽，值域?yàn)镽；</p><p>　　反比例函數(shù)的定義域?yàn)閧x|x0}，值域?yàn)閧y|y0}；</p><p>　　二次函數(shù)的定義域?yàn)镽，</p><p>　　當(dāng)a>0時(shí)，值域?yàn)閧

17、}；當(dāng)a<0時(shí)，值域?yàn)閧}.</p><p>　　例1 求下列函數(shù)的值域</p><p>　?、?y=3x+2(-1x1) ② </p><p>　?、?（記住圖像） </p><p>　　解：①∵-1x1，∴-33x3，</p><p>　　∴-13x+25，即-1y5，∴值域是

18、[-1，5]</p><p><b>　?、诼?lt;/b></p><p>　?、?當(dāng)x>0，∴=，</p><p><b>　　當(dāng)x<0時(shí)，=－</b></p><p>　　∴值域是[2，+).（此法也稱為配方法）</p><p><b>　　函數(shù)的圖

19、像為：</b></p><p>　　二次函數(shù)在區(qū)間上的值域(最值)：</p><p>　　例2 求下列函數(shù)的最大值、最小值與值域：</p><p>　??； ②；</p><p><b>　?、郏?④； </b></p><p>　　①∵拋物線的開(kāi)口向上，函數(shù)的

20、定義域R，</p><p>　　∴x=2時(shí)，ymin=-3 ,無(wú)最大值；函數(shù)的值域是{y|y-3 }.</p><p>　?、凇唔旤c(diǎn)橫坐標(biāo)2[3,4]，</p><p>　　當(dāng)x=3時(shí)，y= -2；x=4時(shí)，y=1； </p><p>　　∴在[3,4]上，=-2，=1；值域?yàn)閇-2，1].</p><p>　　③∵頂

21、點(diǎn)橫坐標(biāo)2 [0,1]，當(dāng)x=0時(shí)，y=1；x=1時(shí)，y=-2,</p><p>　　∴在[0,1]上，=-2，=1；值域?yàn)閇-2，1].</p><p>　?、堋唔旤c(diǎn)橫坐標(biāo)2 [0,5]，當(dāng)x=0時(shí)，y=1；x=2時(shí)，y=-3, x=5時(shí)，y=6,</p><p>　　∴在[0,1]上，=-3，=6；值域?yàn)閇-3，6].</p><p>&

22、lt;b>　　注：對(duì)于二次函數(shù),</b></p><p><b>　?、湃舳x域?yàn)镽時(shí)，</b></p><p>　?、佼?dāng)a>0時(shí)，則當(dāng)時(shí)，其最小值；</p><p>　?、诋?dāng)a<0時(shí)，則當(dāng)時(shí)，其最大值.</p><p>　?、迫舳x域?yàn)閤 [a,b],則應(yīng)首先判定其頂點(diǎn)橫坐標(biāo)x0是否屬于區(qū)

23、間[a,b].</p><p>　?、偃鬧a,b],則是函數(shù)的最小值（a>0）時(shí)或最大值（a<0）時(shí)，</p><p>　　再比較的大小決定函數(shù)的最大（?。┲?</p><p>　?、谌鬧a,b],則[a,b]是在的單調(diào)區(qū)間內(nèi)，只需比較的大小即可決定函數(shù)的最大（小）值.</p><p>　　注：①若給定區(qū)間不是閉區(qū)間，則可能得不到

24、最大（?。┲?；</p><p>　　頂點(diǎn)橫坐標(biāo)是字母時(shí)，則應(yīng)根據(jù)其對(duì)應(yīng)區(qū)間特別是區(qū)間兩端點(diǎn)的位置關(guān)系進(jìn)行討論.</p><p>　　練習(xí)：【練1】求函數(shù)y=3+√(2－3x)的值域</p><p>　　解：由算術(shù)平方根的性質(zhì)，知√(2－3x)≥0，</p><p>　　故3+√(2－3x)≥3。</p><p>　　∴

25、函數(shù)的值域?yàn)椤　?</p><p>　　【練2】求函數(shù) 的值域</p><p><b>　　解： 對(duì)稱軸 </b></p><p>　　例3 求函數(shù)y=4x－√1-3x(x≤1/3)的值域。</p><p>　　法一：（單調(diào)性法）設(shè)f(x)=4x,g(x)= －√1-3x ,(x≤1/3),易知它們?cè)诙x域內(nèi)為增函數(shù)，

26、從而y=f(x)+g(x)= 4x－√1-3x </p><p>　　在定義域?yàn)閤≤1/3上也為增函數(shù)，而且y≤f(1/3)+g(1/3)=4/3,因此，</p><p>　　所求的函數(shù)值域?yàn)椋鹹|y≤4/3｝。</p><p>　　小結(jié)：利用單調(diào)性求函數(shù)的值域，是在函數(shù)給定的區(qū)間上，或求出函數(shù)隱含的區(qū)間，結(jié)合函數(shù)的增減性，求出其函數(shù)在區(qū)間端點(diǎn)的函數(shù)值，進(jìn)而可確定函

27、數(shù)的值域。</p><p>　　法二：換元法(下題講)</p><p>　　例4 求函數(shù) 的值域 </p><p>　　解：（換元法）設(shè)，則</p><p>　　練習(xí)：求函數(shù)y=3+√4-x的值域。(答案：｛y|y≥3｝)</p><p>　　點(diǎn)評(píng)：將無(wú)理函數(shù)或二次型的函數(shù)轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)，通過(guò)求出二次函數(shù)的最值，從

28、而確定出原函數(shù)的值域。這種解題的方法體現(xiàn)換元、化歸的思想方法。它的應(yīng)用十分廣泛。</p><p>　　練習(xí)：求函數(shù)y=√x-1 –x的值域。（答案：｛y|y≤－3/4｝</p><p>　　例5 （選）求函數(shù) 的值域</p><p>　　解：（平方法）函數(shù)定義域?yàn)椋?lt;/p><p>　　例6 （選不要求）求函數(shù)的值域</p>

29、;<p>　　解：（三角換元法） 設(shè)</p><p>　　小結(jié)：（1）若題目中含有，則可設(shè)</p><p>　?。?）若題目中含有則可設(shè)，其中</p><p>　　（3）若題目中含有，則可設(shè)，其中</p><p>　?。?）若題目中含有，則可設(shè)，其中</p><p>　?。?）若題目中含

30、有，則可設(shè)</p><p><b>　　其中</b></p><p>　　例7 求 的值域</p><p>　　解法一：（圖象法）可化為 如圖， </p><p><b>　　觀察得值域</b></p><p>　　解法二：（零點(diǎn)法）畫(huà)數(shù)軸 利用可得。<

31、/p><p>　　解法三：（選）（不等式法）</p><p><b>　　同樣可得值域</b></p><p>　　練習(xí)：的值域呢？ （）（三種方法均可）</p><p>　　例8 求函數(shù) 的值域</p><p>　　解：（換元法）設(shè)

32、 ，則 原函數(shù)可化為</p><p><b>　　例9求函數(shù) 的值域</b></p><p>　　解：（換元法）令，則</p><p>　　由指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性知，原函數(shù)的值域?yàn)?</p><p>　　例10 求函數(shù) 的值域</p><p>　　解：（圖象法）如圖，值域?yàn)?</p>

33、;<p>　　例11 求函數(shù) 的值域</p><p><b>　　解法一：（逆求法）</b></p><p>　　解法二：（分離常數(shù)法）由 ，可得值域</p><p>　　小結(jié)：已知分式函數(shù)，如果在其自然定義域（代數(shù)式自身對(duì)變量的要求）內(nèi)，值域?yàn)?；如果是條件定義域（對(duì)自變量有附加條件），采用部分分式法將原函數(shù)化為，用復(fù)合函數(shù)法

34、來(lái)求值域。</p><p>　　例12 求函數(shù) 的值域</p><p>　　解法一：（逆求法） </p><p>　　小結(jié)：如果自變量或含有自變量的整體有確定的范圍，可采用逆求法。</p><p>　　解法二：（換元法）設(shè) ，</p><p><b>　　則</b></p>

35、<p>　　練習(xí)：y=；（y∈(-1，1)）.</p><p>　　例13 函數(shù) 的值域</p><p><b>　　解法一：（逆求法）</b></p><p>　　解法二：（換元法）設(shè) ，則 </p><p>　　解法三：（判別式法）原函數(shù)可化為 </p><p><

36、b>　　時(shí) 不成立</b></p><p><b>　　時(shí)，</b></p><p><b>　　綜合1）、2）值域</b></p><p>　　解法四：（三角換元法）設(shè)，則</p><p><b>　　原函數(shù)的值域?yàn)?lt;/b></p><p

37、>　　例14 求函數(shù)的值域</p><p>　　解法一：（判別式法）化為</p><p><b>　　1）時(shí)，不成立</b></p><p><b>　　2）時(shí)，得</b></p><p><b>　　綜合1）、2）值域</b></p><p>

38、;　　解法二：（復(fù)合函數(shù)法）令，則</p><p><b>　　所以，值域</b></p><p>　　例15 函數(shù)的值域</p><p>　　解法一：（判別式法）原式可化為 </p><p>　　解法二：（不等式法）1）當(dāng)時(shí)，</p><p><b>　　時(shí)，</b>&

39、lt;/p><p>　　綜合1）2）知，原函數(shù)值域?yàn)?lt;/p><p>　　例16 (選) 求函數(shù)的值域</p><p>　　解法一：（判別式法）原式可化為 </p><p>　　解法二：（不等式法）原函數(shù)可化為 </p><p>　　當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，故值域?yàn)?lt;/p><p>　　例17 （選） 求

40、函數(shù)的值域</p><p>　　解：（換元法）令 ，則原函數(shù)可化為。。。</p><p>　　小結(jié)：已知分式函數(shù) ，如果在其自然定義域內(nèi)可采用判別式法求值域；如果是條件定義域，用判別式法求出的值域要注意取舍，或者可以化為</p><p>　?。ㄟx）的形式，采用部分分式法，進(jìn)而用基本不等式法求出函數(shù)的最大最小值；如果不滿足用基本不等式的條件，轉(zhuǎn)化為利用函數(shù)的單調(diào)性去解

41、。</p><p><b>　　練習(xí)：</b></p><p><b>　　【練1】 ；</b></p><p>　　解：∵x0，，∴y11.</p><p>　　另外，此題利用基本不等式解更簡(jiǎn)捷：(或利用對(duì)勾函數(shù)圖像法)</p><p><b>　　【練2】<

42、;/b></p><p><b>　　0<y5.</b></p><p>　　【練3】求函數(shù)的值域</p><p>　?、伲?②</p><p><b>　　解：①令0,則,</b></p><p><b>　　原式可化為,</b

43、></p><p>　　∵u0，∴y，∴函數(shù)的值域是（-，].</p><p>　　②解：令 t=4x0 得 0x4 </p><p>　　在此區(qū)間內(nèi) (4x)=4 ，(4x) =0</p><p>　　∴函數(shù)的值域是{ y| 0y2}</p><p>　　【練4】求函數(shù)y=|x+1|+|x-2|的值域.

44、</p><p>　　解法1：將函數(shù)化為分段函數(shù)形式：，畫(huà)出它的圖象（下圖），由圖象可知，函數(shù)的值域是{y|y3}.</p><p>　　解法2：∵函數(shù)y=|x+1|+|x-2|表示數(shù)軸上的動(dòng)點(diǎn)x到兩定點(diǎn)-1，2的距離之和，∴易見(jiàn)y的最小值是3，∴函數(shù)的值域是[3，+]. 如圖</p><p>　　【練5】求函數(shù)的值域</p><p>　　

45、解：設(shè) 則 t0 x=1</p><p><b>　　代入得 </b></p><p>　　∵t0 ∴y4</p><p>　　【練6】（選）求函數(shù)的值域</p><p>　　方法一：去分母得 (y1)+(y+5)x6y6=0 ①</p><p>　　當(dāng) y1時(shí) ∵xR

46、∴△=(y+5)+4(y1)×6(y+1)0</p><p>　　由此得 (5y+1)0</p><p>　　檢驗(yàn) （有一個(gè)根時(shí)需驗(yàn)證）時(shí) （代入①求根）</p><p>　　∵2 定義域 { x| x2且 x3} ∴</p><p>　　再檢驗(yàn) y=1 代入①求得 x=2 ∴y1</p><