高次方程的解法.doc

1、<p><b>　　高次方程的解法</b></p><p>　　有很多中學(xué)生一談起高次方程，就好比見天書一樣。其實(shí)高次方程沒什么難的，學(xué)數(shù)學(xué)應(yīng)該學(xué)會(huì)舉一反三。我們知道初中學(xué)了一元二次方程，有些學(xué)生只把二次方程的求根公式記住了，但這個(gè)求根公式怎么推導(dǎo)的呢，他沒有理解。其實(shí)學(xué)數(shù)學(xué)應(yīng)該學(xué)會(huì)理解，注重理解，而不在于死記公式。比如說我們學(xué)了一元二次方程，重要的不是這個(gè)求根公式，而是一元二次方

2、程有幾種解法。</p><p>　　一元二次方程有以下幾種解法：</p><p>　　1、配方法（二次方程是配平方法）：這一方法雖然是很好理解的，但我通過在網(wǎng)上了解有很多學(xué)生對(duì)一方法根本就不懂。因?yàn)槲覇柕剿麄儠r(shí)，他們絕大多數(shù)都是只會(huì)這個(gè)求根公式，一問起是怎么推導(dǎo)的，他們根本就不知道。其實(shí)二次方程的求根公式就是用配方法導(dǎo)出來的，配方法是解方程的里面的，尤其是解高次方程里面的最重要的一個(gè)方法。

3、如果能夠徹底理解這一方法，不僅是二次方程這塊好掌握，對(duì)以后解高次方程也有很大幫助。</p><p>　　比如說對(duì)于二次方程ax2+bx+c=0，我們知道可用配平方（完全平方公式）法配成缺少一次項(xiàng)系數(shù)的二次方程，即配成關(guān)于x的一次代數(shù)式的完全平方的行式，這樣就可以通過直接開平方法解出此方程。那么二次方程我們能用配方法求解，我們是不是就考慮舉一反三，三次方程ax3+bx2+cx+d=0是不是也可以采取配方來解，當(dāng)然對(duì)

4、于三次方程就應(yīng)該是配立方法了。通過研究對(duì)于某些特殊的三次方程是可以通過配立方法來求解的，為什么說是要特殊的三次方程呢，因?yàn)槿畏匠毯投畏匠滩灰粯?，它有三個(gè)帶未知數(shù)x的項(xiàng)，這樣用配立方法化把二次項(xiàng)系數(shù)去掉的同時(shí)，不一定一次項(xiàng)系數(shù)也同時(shí)去掉。所以對(duì)于某特殊的三次方程也適用于配方法的。比如說x3+6x2+12x+9=0，通過配立方法，可以化成完全立方的形式（x+2）3+1=0，這樣就可以解得該方程有一實(shí)根X=-3，所以我們學(xué)了二次方程的配方

5、法后，可以把這種方法推廣到三次方程，甚至更高次數(shù)的方程上（例如某些四次方程可以通過配四次方法來解……）。所以如果能夠舉一反三，學(xué)了二次方程以后。對(duì)于某些特殊的高次方程也應(yīng)該會(huì)解。</p><p>　　2、因式分解法：這種方法適合一些根為整數(shù)的方程。可以解一些特殊的二次方程。比如說方程x2+x-2=0，可以分解因式為（x+2）(x-1)=0，那可以解得X1=-2，X2=1。同樣我們應(yīng)該考慮二次以上次數(shù)的方程也有可能

6、適用此法。比如說一元三次方程x3+18x2+72x+64=0，仔細(xì)觀察這個(gè)方程，發(fā)現(xiàn)該方程的三次項(xiàng)和常數(shù)項(xiàng)可以組合，用立方和公式公解，18x2+72x這一部分可以提取公因式x，那么這兩個(gè)代數(shù)式分解之后有公因式（x+4），那么又可以提取公因式（x+4），從而求出該一元三次方程的根。[來源:學(xué)科網(wǎng)]</p><p>　　綜上所述，二次方程的某些方法，是可以推廣到某些特殊的高次方程上面的。學(xué)了二次方程，如果會(huì)舉一反三，

7、對(duì)某些高次方程應(yīng)該輕而易舉就會(huì)解出來的。</p><p>　　其實(shí)不論二次方程的配平方法或者是因式分解法，其主旨思想都是降次，把二次降為一次就解出來了。實(shí)際上解高次方程的主旨思想也是降次，如果是三次的就想辦法降為一次的或兩次的。關(guān)鍵是怎么降次，降次的方法，下面通過舉例說一下某些特殊高次方程的幾種解法。[來源:學(xué)科網(wǎng)]</p><p><b>　　1、換元法：</b>&

8、lt;/p><p>　　例如四次方程(x+1)(x+2)(x+3)(x+4)+1=0，可以分成</p><p>　　(x+2)(x+3)和(x+1) (x+4)兩個(gè)因式，</p><p>　　然后這兩個(gè)因式分別乘出，得到</p><p>　?。▁2+5x+6）(x2+5x+4)+1=0，</p><p>　　設(shè)x2+5x=

9、y，代入方程，得：（y+6）(y+4)+1=0，</p><p>　　最后整理得，y2+10y+25=0，解得y1=y2=-5，</p><p>　　然后代入x2+5x=y，得x2+5x=-5，</p><p>　　再解這個(gè)二次方程，即可求出原方程的四個(gè)實(shí)數(shù)根。</p><p>　　2、配方法：[來源:Z_xx_k.Com]</p>

10、;<p>　　例如四次方程x4+6x3+13x2+12x+4=0，這個(gè)方程如果不仔細(xì)看，好像是看著很亂，找不到求解的頭緒，其實(shí)如果試用配方法解，應(yīng)該是很容易的。先通過配平方法將三次項(xiàng)式系數(shù)化掉，</p><p>　　即（x2+3x）2+4x2+12x+4=0，</p><p>　　然后觀察正好后面的系數(shù)比和括號(hào)里的一樣，[來源:學(xué)*科*網(wǎng)Z*X*X*K]</p>

11、<p>　　即（x2+3x）2+4（x2+3x）+4=0，</p><p>　　這樣就可以用換元法，把四次方程化成二次方程，最后求出原方程的根。通過這個(gè)例子我們可以看出，對(duì)于某些最高次數(shù)為合數(shù)的N次方程，不僅可以考慮使用配N次方的方法，也可以考慮使用配N的因數(shù)次方的方法。例如四次方程可以考慮配平方的方法，六次方程可以考慮配二次方或者是三次方的方法，九次方程可以考慮配三次方的方法等等……。</p&

12、gt;<p><b>　　3、因式分解法：</b></p><p>　　例如解三次方程x3+x2+3x+27=0，可以分解因式為</p><p>　?。▁+3）(x2-3x+9)+x(x+3)=0，</p><p>　　提取公式因式(x+3)，得（x+3）(x2-2x+9)=0，</p><p>　　然后就

13、通過解x2-2x+9=0、x+3=0這兩個(gè)方程，</p><p>　　解原方程只有一個(gè)實(shí)根x=-3。[來源:學(xué)§科§網(wǎng)]</p><p>　　以上這些解高次方程的方法仔細(xì)想一下，都來自于解二次方程的方法。所以學(xué)數(shù)學(xué)應(yīng)該學(xué)會(huì)舉一反三。</p><p>　　下面出幾道題供學(xué)生練習(xí)參考</p><p><b>　　解下

14、列方程：</b></p><p>　　1、 （x+1) (x+2)(x+3)(x+4)(x+5)(x+6)+9=0</p><p>　　2、 x3+8x2-4x-32=0</p><p>　　3、 x4+2x3-x2+2x+1=0</p><p>　　4、 x3+6x2+11x+6=0</p>