數(shù)學(xué)建模論文-衛(wèi)星和飛船的跟蹤測(cè)控

1、<p>　　2009高教社杯全國(guó)大學(xué)生數(shù)學(xué)建模競(jìng)賽題目</p><p>　　（請(qǐng)先閱讀“全國(guó)大學(xué)生數(shù)學(xué)建模競(jìng)賽論文格式規(guī)范”）</p><p>　　C題 衛(wèi)星和飛船的跟蹤測(cè)控</p><p>　　衛(wèi)星和飛船在國(guó)民經(jīng)濟(jì)和國(guó)防建設(shè)中有著重要的作用，對(duì)它們的發(fā)射和運(yùn)行過(guò)程進(jìn)行測(cè)控是航天系統(tǒng)的一個(gè)重要組成部分，理想的狀況是對(duì)衛(wèi)星和飛船（特別是載人飛船）進(jìn)行全程跟

2、蹤測(cè)控。</p><p>　　測(cè)控設(shè)備只能觀測(cè)到所在點(diǎn)切平面以上的空域，且在與地平面夾角3度的范圍內(nèi)測(cè)控效果不好，實(shí)際上每個(gè)測(cè)控站的測(cè)控范圍只考慮與地平面夾角3度以上的空域。在一個(gè)衛(wèi)星或飛船的發(fā)射與運(yùn)行過(guò)程中，往往有多個(gè)測(cè)控站聯(lián)合完成測(cè)控任務(wù)，如神州七號(hào)飛船發(fā)射和運(yùn)行過(guò)程中測(cè)控站的分布如下圖所示：</p><p>　　圖片來(lái)源 http://www.gov.cn/jrzg/2008-09

3、/24/content_1104882.htm</p><p>　　請(qǐng)利用模型分析衛(wèi)星或飛船的測(cè)控情況，具體問題如下：</p><p>　　1. 在所有測(cè)控站都與衛(wèi)星或飛船的運(yùn)行軌道共面的情況下至少應(yīng)該建立多少個(gè)測(cè)控站才能對(duì)其進(jìn)行全程跟蹤測(cè)控？</p><p>　　2.如果一個(gè)衛(wèi)星或飛船的運(yùn)行軌道與地球赤道平面有固定的夾角，且在離地面高度為H的球面S上運(yùn)行。考慮到地

4、球自轉(zhuǎn)時(shí)該衛(wèi)星或飛船在運(yùn)行過(guò)程中相繼兩圈的經(jīng)度有一些差異，問至少應(yīng)該建立多少個(gè)測(cè)控站才能對(duì)該衛(wèi)星或飛船可能飛行的區(qū)域全部覆蓋以達(dá)到全程跟蹤測(cè)控的目的？</p><p>　　3. 收集我國(guó)一個(gè)衛(wèi)星或飛船的運(yùn)行資料和發(fā)射時(shí)測(cè)控站點(diǎn)的分布信息，分析這些測(cè)控站點(diǎn)對(duì)該衛(wèi)星所能測(cè)控的范圍。</p><p>　　衛(wèi)星和飛船的跟蹤測(cè)控</p><p>　　摘 要：本論文研究了應(yīng)至

5、少建立多少個(gè)測(cè)控站才能對(duì)衛(wèi)星或飛船可能飛行的區(qū)域全部覆蓋，以達(dá)到全程跟蹤測(cè)控的目的。我們的思路是先求得一個(gè)站點(diǎn)能覆蓋衛(wèi)星或飛船軌道的最大弧長(zhǎng)；然后計(jì)算衛(wèi)星或飛船軌道的周長(zhǎng)；最后用周長(zhǎng)除以弧長(zhǎng)，取整加1，即。就得到了應(yīng)至少建立多少個(gè)測(cè)控站才能實(shí)現(xiàn)對(duì)衛(wèi)星或飛船可能飛行的區(qū)域全部覆蓋。</p><p>　　對(duì)問題一，由于所有測(cè)控站都與衛(wèi)星或飛船的運(yùn)行軌道共面，故我們把衛(wèi)星軌道放到赤道平面上來(lái)分析，分地球靜止和自轉(zhuǎn)兩種情

6、況對(duì)衛(wèi)星軌道的測(cè)控作了討論，得到測(cè)控點(diǎn)數(shù)。同時(shí)，還討論了當(dāng)軌道為橢圓時(shí)，可轉(zhuǎn)化為對(duì)圓的討論。</p><p>　　對(duì)問題二，我們對(duì)衛(wèi)星軌道平面與赤道平面有固定夾角分三種情況，（1） ；（2）； (3). 結(jié)合地球的自轉(zhuǎn)分別作了討論。首先建立了空間直角坐標(biāo)系，得到了地球面的參數(shù)方程 ：</p><p>　　和衛(wèi)星運(yùn)行軌道的參數(shù)方程：</p><p>　　利用這兩個(gè)參

7、數(shù)方程，結(jié)合測(cè)控站的測(cè)控范圍只考慮與地平面夾角3度以上的空域的條件，我們可以確定測(cè)控站開始測(cè)控衛(wèi)星時(shí)的位置、結(jié)束測(cè)控衛(wèi)星時(shí)的位置、以及衛(wèi)星進(jìn)入和離開測(cè)控區(qū)域的位置和；其次利用曲線積分</p><p>　　求得一個(gè)站點(diǎn)能覆蓋衛(wèi)星或飛船軌道的最大弧長(zhǎng)。最后得到 個(gè)測(cè)控站。</p><p>　　對(duì)問題三 用具體的實(shí)例來(lái)檢驗(yàn)我們的方法，吻合較好，說(shuō)明了本論文具有可操作性。</p>

8、<p>　　關(guān)鍵詞： 測(cè)控站點(diǎn)；測(cè)控站點(diǎn)數(shù)；軌道平面；地球自轉(zhuǎn)；</p><p><b>　　一、問題重述</b></p><p>　　隨著我國(guó)航天事業(yè)在空間技術(shù)、空間應(yīng)用和空間科學(xué)三大領(lǐng)域?qū)崿F(xiàn)的跨越式發(fā)展，建立航空航天測(cè)控系統(tǒng)工程極為重要。因此，合理布局測(cè)控站、建立衛(wèi)星導(dǎo)航系統(tǒng)測(cè)控網(wǎng)對(duì)衛(wèi)星發(fā)射和運(yùn)行有著重要作用。所謂布局是指測(cè)控網(wǎng)為完成對(duì)衛(wèi)星或飛船的跟蹤、

9、觀測(cè)、定軌和控制，地面站的布設(shè)測(cè)控站的位置要合理，所需的地面測(cè)控站要盡量少，實(shí)質(zhì)上是解決對(duì)衛(wèi)星或飛船的運(yùn)行軌道的覆蓋問題。</p><p>　　當(dāng)衛(wèi)星或飛船飛入測(cè)控站點(diǎn)切平面以上區(qū)域，可以實(shí)現(xiàn)測(cè)控站對(duì)衛(wèi)星或飛船的跟蹤。但為保證觀測(cè)精度及測(cè)控效果，觀測(cè)仰角應(yīng)大于3度，即最小仰角為3度，測(cè)控站對(duì)衛(wèi)星或飛船才能跟蹤，此時(shí)才能將觀測(cè)數(shù)據(jù)作為有效數(shù)據(jù)進(jìn)行衛(wèi)星的定軌。在一個(gè)衛(wèi)星或飛船的發(fā)射與運(yùn)行過(guò)程中，往往有多個(gè)測(cè)控站聯(lián)合完

10、成測(cè)控任務(wù)。</p><p><b>　　要求：</b></p><p>　　（1）在所有測(cè)控站都與衛(wèi)星或飛船的運(yùn)行軌道共面的情況下至少應(yīng)該建立多少個(gè)監(jiān)控站才能對(duì)其進(jìn)行全程跟蹤測(cè)控？</p><p>　　(2)如果一個(gè)衛(wèi)星或飛船的運(yùn)行軌道與地球赤道平面有固定的夾角，且在離地面高度為H的球面S上運(yùn)行?？紤]到地球自轉(zhuǎn)時(shí)該衛(wèi)星或飛船在運(yùn)行過(guò)程中相繼兩

11、圈的經(jīng)度有一些差異，問至少應(yīng)該建立多少個(gè)測(cè)控站才能對(duì)該衛(wèi)星或飛船可能飛行的區(qū)域全部覆蓋以達(dá)到全程跟蹤測(cè)控的目的？</p><p>　?。?）收集我國(guó)一個(gè)衛(wèi)星或飛船的運(yùn)行資料和發(fā)射時(shí)測(cè)控站點(diǎn)的分布信息，分析這些測(cè)控站點(diǎn)對(duì)該衛(wèi)星所能測(cè)控的范圍。</p><p>　　二、模型假設(shè)和符合說(shuō)明</p><p><b>　　1．模型假設(shè)</b></p

12、><p>　　衛(wèi)星或飛船的運(yùn)行周期小于地球自轉(zhuǎn)運(yùn)行周期。</p><p>　　衛(wèi)星或飛船的運(yùn)行方向與地球自轉(zhuǎn)方向一致。</p><p>　　衛(wèi)星或飛船的運(yùn)行的軌道是圓。</p><p>　　地面觀測(cè)站點(diǎn)的設(shè)備完好。</p><p>　　地理、氣候、干擾等因素對(duì)測(cè)控精確度無(wú)影響。</p><p>&l

13、t;b>　　2.符合說(shuō)明</b></p><p>　　：地球的半徑6371.004千米。</p><p>　　：衛(wèi)星離地面的高度。</p><p>　?。阂粋€(gè)測(cè)控點(diǎn)檢測(cè)的最大弧長(zhǎng)。</p><p>　?。旱厍蜃赞D(zhuǎn)的角速度。</p><p>　　：衛(wèi)星軌道平面與赤道平面的夾角。</p>&

14、lt;p>　?。盒l(wèi)星轉(zhuǎn)動(dòng)的角速度。</p><p>　?。旱厍虺嗟郎献赞D(zhuǎn)線速度465 m/s 。</p><p>　　：地面測(cè)控站的個(gè)數(shù)。</p><p>　　： 衛(wèi)星運(yùn)行的速度 。 </p><p><b>　　三、問題分析</b></p><p>　　我們要解決的問題是，用最少的

15、監(jiān)測(cè)站來(lái)對(duì)衛(wèi)星或飛船可能飛行的區(qū)域全部覆蓋。我們的思路是先找到一個(gè)測(cè)控站點(diǎn)能測(cè)控衛(wèi)星運(yùn)行軌道的最大弧長(zhǎng)，然后用衛(wèi)星軌道的周長(zhǎng)除以，取整加1，即，可得到最少測(cè)控站點(diǎn)的個(gè)數(shù)。</p><p>　　對(duì)問題一，我們分地球自轉(zhuǎn)和不自轉(zhuǎn)兩種情況作了討論，由于所有測(cè)控站都與衛(wèi)星或飛船的運(yùn)行軌道共面，所以我們以赤道面為基準(zhǔn)來(lái)做分析討論。</p><p>　　對(duì)問題二，由于衛(wèi)星運(yùn)行的軌道面與赤道面有固定夾角

16、，所以，我們分三種情況（1） ；（2） ；（3），并結(jié)合地球的自轉(zhuǎn)來(lái)作討論和分析。我們先建立了地球面和衛(wèi)星運(yùn)行軌道的參數(shù)方程；然后根據(jù)參數(shù)方程確定出衛(wèi)星進(jìn)入和離開測(cè)控區(qū)域位置的坐標(biāo)，建立了相應(yīng)的模型；最后采用曲線積分計(jì)算出一個(gè)測(cè)控站點(diǎn)測(cè)控衛(wèi)星軌道的最大弧長(zhǎng),用衛(wèi)星軌道的周長(zhǎng)除以，取整加1，即，可得到最少測(cè)控站點(diǎn)的個(gè)數(shù)。</p><p>　　對(duì)問題三，我們選擇神州七號(hào)載人航天飛船作為參考，從網(wǎng)上查找的數(shù)據(jù)來(lái)驗(yàn)證模

17、型的可靠性。并結(jié)合實(shí)際情況來(lái)討論分析。</p><p>　　四、模型的建立與求解</p><p><b>　　1．問題一的模型</b></p><p>　　我們要解決的問題是在所有測(cè)控站都與衛(wèi)星或飛船共面的情況下，計(jì)算出用最少的測(cè)控站對(duì)衛(wèi)星運(yùn)行軌道進(jìn)行全程跟蹤測(cè)控，由于所有的測(cè)控站都與衛(wèi)星或飛船共面，所以我們選擇在赤道面上來(lái)分析；下面我們分地球

18、靜止和地球自轉(zhuǎn)兩種情況來(lái)討論建立模型。 </p><p>　?。?） 考慮地球靜止的情況 </p><p>　　由于測(cè)控設(shè)備只能觀測(cè)到所在點(diǎn)切平面以上的空域。測(cè)控的區(qū)域視為一個(gè)圓錐內(nèi)部，圖1是其過(guò)球心的側(cè)面圖。在點(diǎn)處的測(cè)控站能測(cè)控衛(wèi)星運(yùn)行軌道的最大弧長(zhǎng)就是。</p><p><b>　　(i). 求弧長(zhǎng)</b></p><p

19、>　　用初等數(shù)學(xué)的方法，很容易求得弧長(zhǎng)。</p><p>　?。╥i）. 求最少測(cè)控站點(diǎn)數(shù)</p><p>　　衛(wèi)星軌道周長(zhǎng), 所以在地球靜止時(shí)，全程跟蹤測(cè)控衛(wèi)星的最少的站點(diǎn)數(shù)為：</p><p><b>　　= （）, </b></p><p><b>　　表示對(duì)除以取整。</b>&

20、lt;/p><p>　?。╥ii）. 模型驗(yàn)證</p><p>　　取 ， ，把 代入計(jì)算得12.</p><p>　　所以要全程跟蹤測(cè)控該衛(wèi)星至少需要建立12個(gè)測(cè)控站。</p><p>　　取， ， 把 代入計(jì)算得 4.</p><p>　　所以要全程跟蹤測(cè)控該衛(wèi)星至少需要建立4個(gè)測(cè)控站.</p><

21、p>　　(2). 考慮地球自轉(zhuǎn)的情況</p><p>　　如圖2.設(shè)地球自轉(zhuǎn)的角速度是，且與衛(wèi)星運(yùn)行的方向相同，衛(wèi)星運(yùn)行的速度是；衛(wèi)星在點(diǎn)處進(jìn)入測(cè)控站點(diǎn)的測(cè)控區(qū)域，設(shè)衛(wèi)星經(jīng)過(guò)時(shí)間離開該測(cè)控站點(diǎn)的測(cè)控區(qū)域，此時(shí)，衛(wèi)星在軌道上點(diǎn)處。弧就是該測(cè)控站點(diǎn)在衛(wèi)星運(yùn)行的軌道上，測(cè)控得到的最大弧長(zhǎng)。</p><p><b>　　(i) 求弧長(zhǎng)</b></p>&l

22、t;p><b>　　建立方程，得</b></p><p><b>　　解得</b></p><p>　　該站點(diǎn)測(cè)控的最大測(cè)控弧長(zhǎng)為：</p><p>　　(ii) 求最少測(cè)控站點(diǎn)數(shù)</p><p><b>　?。ㄆ渲?=）</b></p><p>

23、;　　(iii). 模型驗(yàn)證</p><p>　　取,,= 弧度／ , =7.7, 把代入上式中計(jì)算得11.</p><p>　　所以要全程跟蹤測(cè)控該衛(wèi)星至少需要建立11個(gè)測(cè)控站。與實(shí)際需要建立測(cè)控點(diǎn)的個(gè)數(shù)大致相同。</p><p>　?。?）.當(dāng)衛(wèi)星軌道是橢圓時(shí)</p><p>　　當(dāng)衛(wèi)星軌道是橢圓時(shí)，如圖3所示，我們以地心為圓心，以地

24、心到近地點(diǎn)的距離為半徑作圓。在地球上設(shè)兩個(gè)測(cè)控站點(diǎn)和，能全程跟蹤圓上各點(diǎn)的站點(diǎn)必能跟蹤橢圓上的各點(diǎn)。</p><p>　　所以，我們對(duì)衛(wèi)星軌道為橢圓的研究就轉(zhuǎn)化為對(duì)軌道為圓的研究。</p><p><b>　　2．問題二的模型</b></p><p>　?。?）.建立幾個(gè)必用的方程 </p><p>　　建立空

25、間直角坐標(biāo)系，如圖4。</p><p>　　設(shè)地球的半徑是，衛(wèi)星離地面的高度是，衛(wèi)星運(yùn)行軌道平面與地球赤道平面固定的夾角是，則：</p><p>　?。╥）地球面的參數(shù)方程</p><p>　　地球面的參數(shù)方程是：</p><p>　?。╥i）衛(wèi)星運(yùn)行軌道所在球面的方程</p><p>　　衛(wèi)星運(yùn)行軌道球面的方程是：

26、 </p><p>　?。╥ii）衛(wèi)星運(yùn)行軌道平面的方程</p><p>　　由于衛(wèi)星運(yùn)行軌道平面過(guò)軸，故可設(shè)其平面方程為：</p><p>　　又衛(wèi)星運(yùn)行軌道平面與地球赤道平面固定的夾角是，故可得，</p><p>　　衛(wèi)星運(yùn)行軌道平面的方程是：</p><p>　　（iiii）衛(wèi)星運(yùn)行軌道的參數(shù)方程</p&g

27、t;<p>　　衛(wèi)星運(yùn)行軌道所在球面與衛(wèi)星運(yùn)行軌道平面的交線就是衛(wèi)星運(yùn)行軌道的方程，所以有：</p><p>　　把方程（2）代入方程(1),經(jīng)整理有：</p><p><b>　　令，為參數(shù)，得：</b></p><p>　　故可得，衛(wèi)星運(yùn)行軌道的參數(shù)方程：</p><p>　?。?）問題二模型的建立&l

28、t;/p><p>　　根據(jù)衛(wèi)星運(yùn)行軌道平面與赤道平面夾角的大小，分三種情況討論：</p><p>　　（i） ； （ii）； (iii). </p><p>　　問題二解決的思路：找一測(cè)控站點(diǎn)能測(cè)控衛(wèi)星軌道的最大弧長(zhǎng)，然后用衛(wèi)星軌道的周長(zhǎng)除以，對(duì)取整加1，即得全程跟蹤測(cè)控的最少站點(diǎn)數(shù) 。</p><p><b>　?。╥） 時(shí)的情況

29、</b></p><p>　　在此種情況下，衛(wèi)星運(yùn)行方向與地球自轉(zhuǎn)方向同向。此時(shí)稱為順行軌道，在這種軌道上運(yùn)行的衛(wèi)星，絕大多數(shù)離地面較近，高度僅為數(shù)百公里，故又將其稱為近地軌道。</p><p>　　如圖5所示，設(shè)初始時(shí)，測(cè)控站在點(diǎn)處監(jiān)測(cè)到衛(wèi)星在軌道上點(diǎn)處升起，經(jīng)過(guò)時(shí)間之后，由于地球自轉(zhuǎn)，測(cè)控站到達(dá)點(diǎn)，此時(shí)監(jiān)測(cè)到衛(wèi)星在軌道上點(diǎn)處降下。設(shè)地球自轉(zhuǎn)的角速度是，則。于是、的坐標(biāo)可表示

30、為：</p><p><b>　　（，視為定值）</b></p><p>　　設(shè)衛(wèi)星的速度是設(shè)，其平均角速度為：，為衛(wèi)星運(yùn)行的周期。</p><p>　　于是、的坐標(biāo)可表示為：</p><p><b>　　視為定值）</b></p><p>　　由于每個(gè)測(cè)控站的測(cè)控范圍只考慮

31、與地平面夾角3度以上的空域，如圖6，測(cè)控站測(cè)控范圍只能是以內(nèi)的區(qū)域。</p><p>　　測(cè)控站在處的測(cè)控區(qū)域的邊界向量的單位向量：</p><p><b>　　=</b></p><p>　　為一參數(shù)，測(cè)控站由點(diǎn)旋轉(zhuǎn)角度至點(diǎn)，單位向量 亦旋轉(zhuǎn)角度，其坐標(biāo)變?yōu)椋?lt;/p><p>　　即得在點(diǎn)處測(cè)控區(qū)域的邊界向量：<

32、/p><p><b>　　向量可表示為：</b></p><p>　　衛(wèi)星脫離測(cè)控區(qū)域的臨界線必須滿足：向量與向量重合，即對(duì)應(yīng)分量成比例：</p><p>　　由上等式確定出時(shí)間和參數(shù)。</p><p>　　從而可以確定的坐標(biāo)。</p><p>　　令，得在這段?。▓D7）上，其坐標(biāo)可表示如下： <

33、;/p><p>　　弧長(zhǎng)可用曲線積分求得：</p><p>　　即得一個(gè)測(cè)控站點(diǎn)能測(cè)控的最大弧長(zhǎng)。</p><p><b>　　衛(wèi)星軌道的周長(zhǎng)為：</b></p><p><b>　　，表示取整。</b></p><p>　　所以至少應(yīng)該建立 個(gè)測(cè)控站才能對(duì)該衛(wèi)星或飛船可能飛行的

34、區(qū)域全部覆蓋以達(dá)到全程跟蹤測(cè)控的目的。</p><p>　?。╥i）. 時(shí)的情況</p><p>　　在此種情況下，衛(wèi)星運(yùn)行方向與地球自轉(zhuǎn)方向反向。此時(shí)稱為逆行軌道。</p><p>　　如圖8所示，設(shè)初始時(shí)，測(cè)控站在點(diǎn)處監(jiān)測(cè)到衛(wèi)星在軌道上點(diǎn)處升起，經(jīng)過(guò)時(shí)間之后，由于地球自轉(zhuǎn)，測(cè)控站到達(dá)點(diǎn)，此時(shí)監(jiān)測(cè)到衛(wèi)星在軌道上點(diǎn)處降下。設(shè)地球自轉(zhuǎn)的角速度是，則。于是、的坐標(biāo)可表示

35、為：</p><p><b>　?。?，視為定值）</b></p><p>　　設(shè)衛(wèi)星的速度是設(shè)，其平均角速度為：，為衛(wèi)星運(yùn)行的周期。</p><p>　　于是、的坐標(biāo)可表示為：</p><p><b>　　視為定值）</b></p><p>　　由于每個(gè)測(cè)控站的測(cè)控范圍只考慮

36、與地平面夾角3度以上的空域，如圖10，測(cè)控站測(cè)控范圍只能是以內(nèi)的區(qū)域</p><p><b>　　。</b></p><p>　　測(cè)控站在處的測(cè)控區(qū)域的邊界向量的單位向量：</p><p><b>　　=</b></p><p>　　為一參數(shù)，測(cè)控站由點(diǎn)旋轉(zhuǎn)角度至點(diǎn)，單位向量 亦旋轉(zhuǎn)角度，其坐標(biāo)變?yōu)?/p>

37、：</p><p>　　即得在點(diǎn)處測(cè)控區(qū)域的邊界向量向量：</p><p><b>　　向量可表示為：</b></p><p>　　衛(wèi)星脫離測(cè)控區(qū)域的臨界線必須滿足：向量與向量重合，即對(duì)應(yīng)分量成比例：</p><p>　　由上等式確定出時(shí)間和參數(shù)。</p><p>　　從而可以確定的坐標(biāo)。<

38、/p><p>　　令，得在這段?。▓D10）上，其坐標(biāo)可表示如下：</p><p>　　弧長(zhǎng)可用曲線積分求得：</p><p>　　即得一個(gè)測(cè)控站點(diǎn)能測(cè)控的最大弧長(zhǎng)。</p><p><b>　　衛(wèi)星軌道的周長(zhǎng)為：</b></p><p><b>　　，表示取整。</b></

39、p><p>　　所以至少應(yīng)該建立 個(gè)測(cè)控站才能對(duì)該衛(wèi)星或飛船可能飛行的區(qū)域全部覆蓋以達(dá)到全程跟蹤測(cè)控的目的。</p><p>　?。╥ii） 時(shí)的情況</p><p>　　在此種情況下，衛(wèi)星運(yùn)行方向與地球自轉(zhuǎn)方向垂直。此時(shí)稱極地軌道。在極軌道上運(yùn)行的衛(wèi)星，每一圈內(nèi)都可以經(jīng)過(guò)任何緯度和南北兩極的上空。</p><p>　　如圖11所示，設(shè)初始時(shí)，測(cè)

40、控站在點(diǎn)處監(jiān)測(cè)到衛(wèi)星在軌道上點(diǎn)處升起，經(jīng)過(guò)時(shí)間之后，由于地球自轉(zhuǎn)，測(cè)控站到達(dá)點(diǎn)，此時(shí)監(jiān)測(cè)到衛(wèi)星在軌道上點(diǎn)處降下。 </p><p>　　由于每個(gè)測(cè)控站的測(cè)控范圍只考慮與地平面夾角3度以上的空域，測(cè)控站測(cè)控范圍只能是以內(nèi)的區(qū)域</p><p>　　如圖12， 當(dāng)?shù)厍蜢o止不動(dòng)時(shí)，一個(gè)測(cè)控站能測(cè)控的最大弧長(zhǎng)為：</p><p>　　當(dāng)?shù)厍蜃赞D(zhuǎn)時(shí)，設(shè)其角速度是，設(shè)衛(wèi)星的速度

41、是設(shè)，角速度為，并設(shè)，此時(shí)，一個(gè)測(cè)控站能測(cè)控的最大弧長(zhǎng)為：</p><p><b>　　衛(wèi)星軌道的周長(zhǎng)為：</b></p><p><b>　　，表示取整。</b></p><p>　　所以至少應(yīng)該建立 個(gè)測(cè)控站才能對(duì)該衛(wèi)星或飛船可能飛行的區(qū)域全部覆蓋以達(dá)到全程跟蹤測(cè)控的目的。</p><p>&l

42、t;b>　　3．問題三的模型</b></p><p>　　我們收集神州七號(hào)載人航天飛船的運(yùn)行資料: </p><p>　　神七載人航天飛船便布全球的16個(gè)測(cè)控站。它從我國(guó)的酒泉衛(wèi)星發(fā)射中心用長(zhǎng)征2號(hào)F型運(yùn)載火箭發(fā)射升空，經(jīng)過(guò)了東風(fēng)測(cè)控站（位于陜西的渭南測(cè)控站），可以從青海測(cè)控站遠(yuǎn)望5號(hào)測(cè)量船和遠(yuǎn)望2號(hào)測(cè)量船。其他設(shè)置于國(guó)內(nèi)外的11個(gè)測(cè)控站，從納米比亞到青島跨越大西洋，印度

43、洋和太平洋長(zhǎng)達(dá)一萬(wàn)多公里的飛行區(qū)域內(nèi)共布置了九個(gè)測(cè)控站，入軌時(shí)的橢圓軌道進(jìn)入距地球表面343公里的近圓軌道。神州七號(hào)運(yùn)行平均線速度約為7.7千米每秒。</p><p>　　飛船送入近地點(diǎn)200公里到遠(yuǎn)地點(diǎn)347公里的橢圓軌道，入軌飛行速度7820.185米/秒，軌道傾度(軌道平面與地球赤道平面的夾角)42.2度。飛船在橢圓軌道飛行第1至5圈，由于大氣阻力的影響，每圈軌道降低近1公里，飛船遠(yuǎn)地點(diǎn)高度從347公里降為

44、343公里，第5圈，飛船遠(yuǎn)地點(diǎn)點(diǎn)火變軌，抬升近地點(diǎn)，軌道由橢圓軌道變成高度343公里圓軌道。</p><p>　　神州七號(hào)飛船發(fā)射時(shí)測(cè)控站點(diǎn)的分布信息：</p><p>　　神舟七號(hào)飛船測(cè)控通信系統(tǒng)是由5艘“遠(yuǎn)望號(hào)”測(cè)控船和11個(gè)地面測(cè)控站共16個(gè)測(cè)控站組成的對(duì)神七測(cè)控通信天網(wǎng)。其中“遠(yuǎn)望一號(hào)”、“遠(yuǎn)望二號(hào)”、“遠(yuǎn)望三號(hào)”“遠(yuǎn)望五號(hào)”“遠(yuǎn)望六號(hào)”是遍布在太平洋和大西洋的巨輪。而11個(gè)地面測(cè)

45、控站中有7個(gè)在國(guó)內(nèi)，它們是：主場(chǎng)站、喀什站、和田站、東風(fēng)站、青島站、渭南站和廈門站。有4個(gè)在國(guó)外：卡拉奇站、馬林迪站、納米比亞站和圣地亞哥站。同時(shí)列出各測(cè)控站點(diǎn)的位置（即各測(cè)控站點(diǎn)經(jīng)度緯度圖表），</p><p>　　神舟七號(hào)的各個(gè)測(cè)控站點(diǎn)分布</p><p>　　從以上信息，可以得知神舟七號(hào)發(fā)射時(shí)有5測(cè)控點(diǎn)對(duì)衛(wèi)星進(jìn)行監(jiān)控，測(cè)控點(diǎn)的地面?zhèn)€數(shù)為16個(gè)，測(cè)控點(diǎn)緯度相差不大，緯度最大的東風(fēng)站與納

46、米比亞站相差（），而經(jīng)度卻從（）相差較大。</p><p>　　以神舟七號(hào)的數(shù)據(jù)驗(yàn)證模型：</p><p>　?。╥）我們從資料上得到的數(shù)據(jù)：</p><p>　?。╥i）已知：地球半徑和自轉(zhuǎn)角速度：</p><p>　?。╥ii）以渭南站來(lái)分析，用問題二的模型來(lái)求解；其中，為該站的維度，為神舟七號(hào)運(yùn)行軌跡與赤道面的夾角</p>

47、<p><b>　　； </b></p><p>　　把（i）（ii）的數(shù)據(jù)代入問題二中的模型求解：</p><p><b>　　據(jù)</b></p><p><b>　　可求得：</b></p><p><b>　　= </b></p

48、><p><b>　　=3355200</b></p><p><b>　　42185000</b></p><p>　　所以，至少應(yīng)該建立13個(gè)測(cè)控站才能對(duì)該衛(wèi)星或飛船可能飛行的區(qū)域全部覆蓋， 這和實(shí)際情況16個(gè)測(cè)控站點(diǎn)比較接近，這說(shuō)明我們這個(gè)模型是可信的。。</p><p>　　五、模型的評(píng)價(jià)與推廣

49、</p><p><b>　　1、優(yōu)點(diǎn)</b></p><p>　?。?）、對(duì)于問題一的模型，巧妙利用正弦定理的計(jì)算方法，同時(shí)借助MATLAB軟件對(duì)模型中的計(jì)算進(jìn)行求解。從而可以求出觀測(cè)點(diǎn)可觀測(cè)到的衛(wèi)星或飛船的區(qū)域大小，進(jìn)而求出測(cè)控站的數(shù)目，簡(jiǎn)單明了，通俗易懂。</p><p>　?。?）、問題二運(yùn)用的模型綜合了多種方法對(duì)問題進(jìn)行求解，其中運(yùn)用

50、衛(wèi)星或飛船運(yùn)行軌道球面和平面方程，向量旋轉(zhuǎn)公式，地球面的參數(shù)方程，還有函數(shù)的極限的求解、曲線積分等方法，對(duì)于計(jì)算觀測(cè)點(diǎn)的數(shù)量極為重要的作用。</p><p><b>　　2、缺點(diǎn)</b></p><p>　　（1） 模型只考慮了衛(wèi)星運(yùn)行軌跡為圓的情況下，而實(shí)際衛(wèi)星運(yùn)行是橢圓，需要建立測(cè)控點(diǎn)數(shù)。</p><p>　　（2） 模型沒有涉及衛(wèi)星發(fā)射與

51、回收測(cè)控覆蓋的情況，</p><p>　?。?） 模型沒有計(jì)算測(cè)控覆蓋率的問題。</p><p><b>　　3、模型推廣</b></p><p>　　本模型有較大的應(yīng)用價(jià)值，在航天、航空領(lǐng)域，氣象預(yù)測(cè)等方面的應(yīng)用。</p><p><b>　　六、參考文獻(xiàn)</b></p><p

52、>　　[1] 王樹禾 數(shù)學(xué)模型選講 科學(xué)出版社 開普勒三定律與航空模型</p><p>　　[2] 壽紀(jì)麟 數(shù)學(xué)建模方法與范例 西安交通大學(xué)出版社 氣象觀察站的優(yōu)化</p><p>　　[3] 錢驥 空間技術(shù)基礎(chǔ) 科學(xué)出版社 1986</p><p>　　[4]Horing J A.The design and implementation of a

53、utonomous ground station for PANSAT.In:5 th International Symposium,June 2000.9</p><p>　　[5]AI-Dhahir N,Hershhey J E.IEEE Transactions on Aerospace and Elelctronic Systems.1999,35(4):1183</p><p>

54、;　　[6]測(cè)控站布局對(duì)區(qū)域衛(wèi)星的導(dǎo)航系統(tǒng)的影響 國(guó)防科技大學(xué)學(xué)報(bào) 第29卷第1期 維普資訊網(wǎng)http://www.cqvip.com</p><p>　　[7] 太陽(yáng)同步軌道的太陽(yáng)相對(duì)于軌道面入射角度計(jì)算方法 航天器工程 第4卷第4期 1995.12維普資訊網(wǎng)http://www.cqvip.com</p><p>　　[8] 合理利用測(cè)控資源的動(dòng)態(tài)調(diào)度模型 高技術(shù)通訊2002.0