齊齊哈爾大學(xué)數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)專業(yè)畢業(yè)設(shè)計（論文）

1、<p><b>　　目 錄</b></p><p><b>　　摘要I</b></p><p>　　AbstractIII</p><p><b>　　緒論- 4 -</b></p><p>　　第1章 相關(guān)概念知識- 6 -</p><

2、;p>　　1.1 預(yù)備知識- 6 -</p><p>　　1.2 無窮積分斂散性的概念- 6 -</p><p>　　1.2.1 無窮積分收斂與發(fā)散- 6 -</p><p>　　1.2.2 無窮積分與級數(shù)- 8 -</p><p>　　1.2.3 無窮積分的性質(zhì)- 9 -</p><p>　　1.

3、2.4 絕對收斂與條件收斂- 9 -</p><p>　　第2章 斂散性的判別方法- 10 -</p><p>　　2.1 被積函數(shù)是非負的判別- 10 -</p><p>　　2.1.1 定義判別法- 10 -</p><p>　　2.1.2 柯西準則- 10 -</p><p>　　2.1.3 比較判

4、別法- 11 -</p><p>　　2.1.4 根值判別法- 12 -</p><p>　　2.2 一般情況下的判別- 14 -</p><p>　　2.2.1 狄利克雷判別法- 14 -</p><p>　　2.2.2 阿貝爾判別法- 15 -</p><p>　　2.2.3 對數(shù)判別法- 15 -&

5、lt;/p><p>　　第3章 無窮積分的應(yīng)用- 18 -</p><p>　　3.1 在物理學(xué)中的應(yīng)用- 18 -</p><p>　　3.2 在經(jīng)濟學(xué)中的應(yīng)用- 19 -</p><p><b>　　結(jié)論- 21 -</b></p><p>　　參考文獻- 22 -</p&g

6、t;<p><b>　　致謝- 23 -</b></p><p><b>　　摘 要</b></p><p>　　微積分知識及其應(yīng)用對人類的進步和社會的發(fā)展做出了突出貢獻, 無窮積分在其中也發(fā)揮了重要作用. 無窮積分在生活中常見且應(yīng)用十分廣泛. </p><p>　　本文首先介紹了無窮積分收斂與發(fā)散的相關(guān)

7、概念，然后對判斷無窮積分的斂散性的方法做了詳細的歸納和總結(jié). 本文主要對無窮積分的斂散性判別方法進行了詳細的介紹. 從中得到不同的被積函數(shù)可以有不同的判別方法，其一，被積函數(shù)是非負函數(shù)的情況下無窮積分是否收斂，我們可以應(yīng)用定義判別法、柯西準則、比較判別法、根值判別法來判別無窮積分的斂散性. 其二，在通常的條件下無窮積分斂散性的判別，我們一般考慮使用狄利克雷判別法、阿貝爾判別法、對數(shù)判別法來解決. 最后通過一些實例研究了無窮積分在物理學(xué)、

8、經(jīng)濟學(xué)等實際問題的應(yīng)用. </p><p>　　關(guān)鍵詞：無窮積分；收斂；發(fā)散；絕對收斂</p><p><b>　　Abstract</b></p><p>　　Calculus knowledge and its a

9、pplication have made outstanding contributions to human progress and social development, and infinite integral has also played an important role in it. Infinite integral is common in life and widely used.</p><

10、p>　　This paper first introduces the related concepts of convergence and divergence of infinite integral, and then to determine the infinite integral convergence of the method in detail. This paper focuses on the conve

11、rgence of infinite integral method is introduced in detail. The different integrand can have different discriminant method on the one hand, the integrand is nonnegative function under the condition of infinite integral i

12、s convergent, we can define the application criterion, Cauchy crite</p><p>　　Key words: Infinite Integral; Convergence; Divergence; Absolute Convergence </p><p>　　不要刪除行尾的分節(jié)符，此行不會被打

13、印</p><p><b>　　緒 論</b></p><p>　　在數(shù)學(xué)分析和天體物理學(xué)中，無窮積分起到了舉足輕重的實際應(yīng)用的作用. 許多實際問題中都蘊含著無窮積分的知識和應(yīng)用，所以說無窮積分的應(yīng)用非常廣泛. 所以，我們選取無窮積分的斂散性判別與應(yīng)用作為研究對象. </p><p>　　無窮積分是微

14、積分知識體系中的一個重要的分支，無窮積分的斂散性對科學(xué)發(fā)展以及人類社會的進步具有重大意義和深遠影響. 在實際生活中，許多領(lǐng)域的研究都涉及無窮積分及其斂散性. 例如，在經(jīng)濟管理學(xué)中，當產(chǎn)量趨于無限增加時，我們需要去預(yù)測估計利潤值，以及在供應(yīng)定貨分析解決中都需要無窮積分斂散性的相關(guān)知識. 在物理學(xué)中，隨著距離的無限增加，我們可以根據(jù)無窮積分計算出物體離開地球所做的功，以及第二宇宙速度. 由此可見，無窮積分在實際的生活中應(yīng)用是相當廣泛. 為了

15、讓其更好地應(yīng)用于生活之中，為了讓其對人類進步和社會發(fā)展做出更大貢獻，我們要對無窮積分及其斂散性的判別進行更加深入廣泛的研究. </p><p>　　隨著人們對無窮積分重要性認識的逐步加深，越來越多的人展開對無窮積分的斂散性及其應(yīng)用的研究. 在國內(nèi)，無窮積分的斂散性及其應(yīng)用的研究成果數(shù)不勝數(shù)，例如劉紅玉在2012年8月發(fā)表的《含參變量無窮積分一致收斂性的判斷技巧與應(yīng)用》[1]

16、. 她在憑借《數(shù)學(xué)分析》教科書中的知識，關(guān)于含有參變量的廣義積分的定義及其概念和判別廣義積分斂散的一些方法的基礎(chǔ)上，通過對一些經(jīng)常見到的問題的研究、分析與解答,她給我們總結(jié)出了含有參變量的廣義積分的一致收斂性的判斷,這些都是非常具有實用性的技巧,并且她也討論了含有參變量的廣義積分在學(xué)習(xí)和實踐中的應(yīng)用價值. 鄭寶杰和孔波等一些學(xué)者在2009年12月河南教育學(xué)院學(xué)報上發(fā)表的《非負無窮積分與級數(shù)之間斂散性的關(guān)系與應(yīng)用》[2]. 這些人的工作是

17、對數(shù)學(xué)分析中的某一些相關(guān)廣義積分的問題進行了推廣和廣義積分實質(zhì)性的應(yīng)用，他們根據(jù)推廣之后的一些命題得到了, 被積函數(shù)為非負函數(shù)時的廣義積分與級數(shù)之間斂散性的相關(guān)的內(nèi)在聯(lián)系，并且這些學(xué)者也應(yīng)用舉例解釋說明了這種聯(lián)系的應(yīng)用. 在國外，許多人重視無窮積分的斂散性應(yīng)用的研究，例如Stump David M 在2005年英國皇家協(xié)會期刊上發(fā)</p><p>　　我們可以清楚的看出，無窮積分的研究已經(jīng)不局限于微積分的應(yīng)用，更

18、多的是為現(xiàn)實問題的需要提供服務(wù)，這正是無窮積分的魅力所在. 因此今后會有更多的人去學(xué)習(xí)和研究無窮積分的斂散性的判別及其應(yīng)用. 未來還會有更多的人一起努力讓無窮積分綻放出更加璀璨的光芒. </p><p>　　本文主要介紹了無窮積分斂散性的相關(guān)定義，概念. 重點介紹了比較判別法判別無窮積分的斂散性、柯西判別法判別無窮積

19、分的斂散性、柯西收斂準則判別無窮積分的斂散性,還有阿貝爾判別法判別無窮積分的條件收斂、狄利克雷判別法等方法來對無窮積分的斂散性進行判別，我們詳細地學(xué)習(xí)運用所學(xué)知識. 對于柯西判別法，在原來的基礎(chǔ)之上我們又進行了推廣，我們知道柯西極限判別法可以適用于被積函數(shù)為非負函數(shù)的無窮積分，對其斂散性的判別具有一定的意義，若不然，被積分項就很有可能會出現(xiàn)是負數(shù)的情況，對于被積函數(shù)是變號函數(shù)的無窮積分來說，很有可能出現(xiàn)條件收斂的無窮積分的情況，我們能夠

20、應(yīng)用阿貝爾的判別法還有狄利克雷的判別法，來判別其是不是條件收斂的. 本文最后重點介紹了無窮積分的斂散性在物理學(xué)中的應(yīng)用和在經(jīng)濟學(xué)中的應(yīng)用. </p><p>　　我將采取一些研究方法來完成本次課題. 首先是資料文獻研究法，收集有關(guān)無窮積分的斂散性判別方法及其應(yīng)用的相關(guān)文獻并仔細研究，以求更加全面的掌握無窮積分. 其次是跨學(xué)科研究法，無窮積分作為微積分的重要組成部分，不僅對微積分知

21、識的補充和發(fā)展起到重大作用，對其他學(xué)科也有著深遠影響，能讓我們更加深層次體會無窮積分應(yīng)用的廣泛性. 最后是總結(jié)經(jīng)驗法，通過總結(jié)以前人們對無窮積分的研究及其經(jīng)驗，取其精華，使研究過程更加嚴密，更加順利. 以上是本課題的主要研究方法，在研究過程中還會運用到定量分析法，調(diào)查法，定性分析法等等. 力求多種研究方法相輔相成以準確深入地研究無窮積分的斂散性的判別及其應(yīng)用. </p><p>　　第1章 相關(guān)概念知識<

22、/p><p><b>　　1.1 預(yù)備知識</b></p><p>　　我們在研究無窮積分的斂散性的知識概念和應(yīng)用的相關(guān)問題時，首先，我們應(yīng)該了解無窮積分的收斂與發(fā)散的有關(guān)概念，另外，我們要巧妙運用定義定理的知識，無窮積分的絕對收斂、無窮積分的收斂、無窮積分的條件收斂、無窮積分的發(fā)散等概念之間的關(guān)系，可以讓我們更加熟悉應(yīng)用去判別無窮積分的斂散性.</p>

23、<p>　　下面我們對無窮積分斂散性的有關(guān)概念進行簡要介紹. </p><p>　　1.2 無窮積分斂散性的概念 </p><p>　　1.2.1 無窮積分收斂與發(fā)散</p><p>　　下面我們給出定義下無窮積分的收斂與發(fā)散.</p><p>　　定義1.1[4] 如果函數(shù)在區(qū)間（或，）上有定義，那么符號（或 ，）我

24、們把它叫做函數(shù)的無窮積分. 我們令，，函數(shù)在上是可積的. 如果極限存在（或者不存在），那么我們叫做無窮積分是收斂的（是發(fā)散的），其極限我們把它叫做無窮積分（的值），我們也可以把它叫做廣義可積, 即 </p><p>　　我們令,,函數(shù)在上是可積的，如果極限存在（或者不存在），那么我們叫做無窮積分是收斂的（是發(fā)散的），其極限我們把它叫做無窮積分（的值），即</p><p><b>

25、　　=</b></p><p>　　如果, 現(xiàn)在有兩個這樣的無窮積分與他們都是收斂的（至少有一個是發(fā)散的），那么我們叫做無窮積分是收斂的（是發(fā)散的），且</p><p><b>　　=+</b></p><p>　　我們知道根據(jù)積分區(qū)間的可加性的這一個性質(zhì)，我們?nèi)菀鬃C明上式的右端的實際值與實數(shù)c無關(guān)[5]. 我們可以為了計算方便，通

26、常取.</p><p>　　例1.1 求下列無窮積分的值：</p><p><b>　??； ；</b></p><p><b>　　解 ===</b></p><p><b>　　===</b></p><p><b>　　=+=<

27、/b></p><p>　　例1.2 判別無窮積分（a>0）何時收斂，何時發(fā)散.</p><p><b>　　解 在的時候，有</b></p><p><b>　　==</b></p><p>　　在的時候，有

28、 </p><p><b>　　==+</b></p><p>　　于是，我們知道，當?shù)臅r候，無窮積分是收斂的，所以我們根據(jù)解題過程得出，無窮積分（的值）是 ；當時，無窮積分是發(fā)散的.</p><p>　　我們可以清晰的看出在上面幾道無窮積分的習(xí)題中，無論我們需要求出無窮積分的值還是需要判別無窮積分的斂散性，我們都應(yīng)該首先求出相關(guān)的

29、被積函數(shù)的原函數(shù)，然后我們再對其取極限. 顯然我們知道，用這種方法只有在相關(guān)的被積函數(shù)存在著已知的初等函數(shù)的原函數(shù), 這個前提條件下才是能夠進行的. 假如這個相關(guān)的被積函數(shù)的原函數(shù)是很難求出的，或者它根本不是我們目前已知的初等函數(shù)，我們上面介紹的方法就不能使用下去了. 因此，我們需要更深層次的去研究我們應(yīng)該怎樣去判別無窮積分斂散性和怎么樣求解無窮積分的值的方法.</p><p>　　1.2.2 無窮積分與級數(shù)

30、 </p><p>　　上述三種形式的無窮積分:</p><p><b>　　，，</b></p><p>　　它們之間是有聯(lián)系的, 無窮積分的斂散性可歸結(jié)為兩個無窮積分與的斂散性. 對無窮積分進行換元設(shè)，，有</p><p><b>

31、　　====</b></p><p>　　于是，無窮積分與都可以總結(jié)歸納為形如的無窮積分，因此只需我們大家討論關(guān)于無窮積分的斂散性就可以了. 形如的無窮積分的斂散性與形如的廣義調(diào)和級數(shù)的斂散性比較如下： </p><p>　　表1-1 無窮積分與廣義調(diào)和級數(shù)的斂散性比較示意表</p><p>　　我們看到，上述無窮積分與級數(shù)，對

32、都收斂，對都發(fā)散. 我們都知道這不是一種漫無邊際的巧合，這是因為無窮積分本身的性質(zhì)與級數(shù)自身的性質(zhì)之間有著緊密的聯(lián)系.</p><p>　　定理1.1[6] 無窮積分收斂對任意數(shù)列，，有 </p><p>　　而 </p><p><b>　　=，</b></p><p

33、>　　級數(shù)收斂于同一個數(shù)，然而</p><p><b>　　=</b></p><p>　　1.2.3 無窮積分的性質(zhì) </p><p>　　性質(zhì)1.1 假如與都是收斂的，為任意兩個常數(shù)，那么 </p><p><b>　　也是收

34、斂的，然后 </b></p><p>　　性質(zhì)1.2 假如在任意一個有限區(qū)間上是可積的，，那么與同斂態(tài)，然后有 </p><p>　　其中右邊第一項是定積分．</p><p>　　性質(zhì)1.3 假如在任意一個有限區(qū)間上是可積的，然后是收斂的，那么一定也是收斂的，并有</p><p>　　當收斂的時候，我們叫做是絕對收斂的．性質(zhì)1.3

35、告訴我們：我們把叫做絕對收斂的無窮積分，它自身的無窮積分根據(jù)已知的判別方法我們可以知道它也一定是收斂的．但是這句話的逆命題在通常的條件下是不能夠成立的，所以我們把是收斂的廣義積分但它不是絕對收斂的廣義積分叫做條件收斂．</p><p>　　1.2.4 絕對收斂與條件收斂 </p><p>　　定義1.2 假如無窮積分是收

36、斂的，那么我們就叫無窮積分是絕對收斂的.</p><p>　　定義1.3 假如無窮積分是收斂的，而是發(fā)散的，那么我們就叫無窮積分是條件收斂的. </p><p>　　第2章 斂散性的判別方法</p><p>　　2.1 被積函數(shù)是非負的判別 </p><p>　　2.1.1 定

37、義判別法</p><p>　　我們能夠利用無窮積分定義的相關(guān)知識，得到如何去判別無窮積分收斂的一種手段，這是我們證明無窮積分收斂的一個思路非常清晰、簡單并且非常常用的一種方法． </p><p>　　例2.1[7] 我們來判別廣義積分何時收斂，何時發(fā)散．</p><p><b>　　解 因為在的時候，</b></p><

38、;p><b>　　在的時候，</b></p><p>　　所以我們有在的時候，上面無窮積分所求得的極限是，</p><p>　　然而在的時候，上面無窮積分的極限．</p><p>　　所以我們有在的時候，上述無窮積分是收斂的，它的值是；并且在的時候，它是發(fā)散的，無窮積分發(fā)散于．</p><p>　　2.1.2 柯西

39、準則 </p><p>　　我們根據(jù)定義，無窮積分收斂或者發(fā)散，最根本是決定于函數(shù)在當?shù)臅r候是否存在極限．然后我們就能夠運用函數(shù)極限所學(xué)的的柯西收斂準則的知識，相對照得到了關(guān)于無窮積分收斂的柯西收斂準則． </p><p>　　定理2.1[8] 現(xiàn)在我們給出無窮積分收斂的充分必要的條件是：任

40、意的，假如存在，然后我們只要、我們就有</p><p>　　所以我們知道，一定能夠運用柯西收斂準則的這一充分性滿足的條件，來求證得出無窮積分是收斂的還是發(fā)散的． </p><p>　　我們在下面繼續(xù)運用狄利克雷判別法判別無窮積分的時候，也用到了柯西收斂準則求解和判斷廣義積分是收斂的還是發(fā)散的．</p><p>

41、;　　2.1.3 比較判別法</p><p>　　比較判別法是我們判斷廣義積分是否為絕對收斂的一種常用的方法．</p><p>　　因為無窮積分是隨其上限是單調(diào)逐漸增加的，所以我們有是收斂的充分并且必要的條件是有一個上界它是屬于實數(shù)范圍內(nèi)的．我們能夠在這樣的條件下，得到下面的比較判別法：</p><p>　　定理2.2[9] （比較法則）假如我們現(xiàn)在讓定義在上的兩個

42、函數(shù)和都在實數(shù)上的任意有限區(qū)間上可積，并且這兩個函數(shù)都符合：</p><p><b>　　，</b></p><p>　　那么在 是收斂的時候，是收斂的（或者，在發(fā)散的時候，一定也是發(fā)散的）．</p><p>　　例2.2 判別在什么時候收斂，在什么時候發(fā)散. </p><p>　　解 由于，，并且無窮積分等于

43、是收斂的，我們能夠根據(jù)比較法則得出，廣義積分是絕對收斂的．</p><p>　　我們現(xiàn)在也能夠推理得到比較法則的極限形式：</p><p>　　定理2.3 假如函數(shù)和在每一個有限區(qū)間上都是可積的，，還有，然后有：</p><p>　　在的時候，和收斂發(fā)散是相同的； </p><p>　　在的時候，因為收斂能夠知道也收斂；</p>

44、<p>　　在的時候,因為發(fā)散能夠知道也發(fā)散</p><p>　　在我們做題選用作為對比元素的時候，比較判別法（比較原則）及其下面的極限形式就是柯西判別法：</p><p>　　我們令定義在，在實數(shù)上任何有限的區(qū)間上是可積的，那么</p><p><b>　　那么有：</b></p><p>　　在的時候，無

45、窮積分是收斂的；</p><p>　　在的時候，無窮積分是發(fā)散的．</p><p>　　例2.3 判別無窮積分在什么時候收斂，在什么時候發(fā)散</p><p>　　解 在的時候，我們選，，然后</p><p>　　因為柯西判別法所以我們知道是收斂的．</p><p><b>　　在的時候，然后</b>

46、;</p><p>　　因為柯西判別法我們知道是發(fā)散的．</p><p>　　2.1.4 根值判別法 </p><p>　　定理2.4[10] 我們令是上的正函數(shù)，假如那么在的時候，無窮積分是收斂的；在的時候，無窮積分是發(fā)散的．</p><p><

47、;b>　　證明 我們讓</b></p><p><b>　　存在，任意的，</b></p><p><b>　　那么</b></p><p>　　是收斂的．所以無窮積分是收斂的．</p><p>　　因為，我們令，存在，任意，那么</p><p><b

48、>　　然后</b></p><p>　　是發(fā)散的，所以無窮積分是發(fā)散的．</p><p>　　例2.4 判別無窮積分的斂散性.</p><p><b>　　解 我們令</b></p><p><b>　　那么</b></p><p><b>　　所

49、以</b></p><p>　　所以在的時候，無窮積分是收斂的；在的時候，無窮積分是發(fā)散的．</p><p>　　注記 我們可以把形式像的無窮積分總結(jié)它們常用的判別法是用進行判別，然而這道題目求它的極限</p><p>　　是很不容易求得的！ </p&g

50、t;<p>　　2.2 一般情況下的判別</p><p>　　2.2.1 狄利克雷判別法</p><p>　　定理2.5[11] （狄利克雷判別法）假使函數(shù)在上是有界的，函數(shù)在上, 且當?shù)臅r候單調(diào)并且其極限趨于零，那么是收斂的．</p><p>　　證明 因為已知, 現(xiàn)在我們令任意的，因為，所以存在，在的時候，那么</p><p&

51、gt;　　然后由于函數(shù)是單調(diào)的函數(shù)，我們能夠運用積分第二積分中值定理，使每一個，存在，可以讓</p><p><b>　　所以得到</b></p><p>　　由于柯西準則，我們證明出了無窮積分是收斂的．</p><p>　　2.2.2 阿貝爾判別法 </p>

52、<p>　　定理2.6 （阿貝爾判別法）假如收斂，在上單調(diào)并且是有界的，那么是收斂的．</p><p>　　例2.5[12] 判別無窮積分在什么時候是收斂的，在什么時候是發(fā)散的．</p><p><b>　　解 在的時候，由于</b></p><p><b>　　，</b></p><p&

53、gt;　　但是無窮積分在的時候是收斂的，所以由比較判別法知道是收斂的而且是絕對收斂的．</p><p>　　在的時候，對于任意的，那么</p><p>　　但是在的時候單調(diào)并且其極限趨于零（），然后由狄利克雷判別法我們知道在的時候它總是收斂的．</p><p>　　然而從其他的角度，因為</p><p><b>　　，</b&

54、gt;</p><p>　　但是無窮積分符合狄利克雷判別法的判別條件，所以它是收斂的，但是無窮積分是發(fā)散的，那么在的時候所求無窮積分不是絕對收斂的．那么我們就叫做這個無窮積分是條件收斂的．</p><p>　　在的時候，根據(jù)定義我們知道該無窮積分發(fā)散．</p><p>　　所以由于上面的論述我們知道，在的時候是絕對收斂的，的時候是條件收斂，在的時候是發(fā)散的．<

55、/p><p>　　2.2.3 對數(shù)判別法 </p><p>　　定理2.7[13] 假設(shè)函數(shù)在上是連續(xù)的，對任意的都可以使，然后，所以</p><p>　　假如在的時候，那么無窮積分是收斂的；</p><p>　　假如在的時候，那么無窮積分是發(fā)散的；</p&

56、gt;<p>　　假如在的時候，那么無窮積分是收斂的也可能是發(fā)散的，所以他的斂散性是無法判定的．</p><p><b>　　證明 由于</b></p><p>　　所以任意的，存在，在的時候，</p><p><b>　　那么</b></p><p><b>　　所以<

57、;/b></p><p>　　我們能夠運用比較判別法判別.</p><p>　　在的時候，我們令，那么，因為，所以是收斂的；</p><p>　　在的時候，我們令，那么，因為，所以是發(fā)散的；</p><p>　　在的時候，我們觀測無窮積分</p><p>　　我們?nèi)菀椎玫皆诘臅r候是收斂的，在的時候是發(fā)散的，然而對

58、任意的我們可以使</p><p><b>　　我們能夠看到</b></p><p>　　所以 </p><p>　　那么在的時候，無窮積分可能是收斂的，也可能是發(fā)散的．</p><p>　　同理我們能夠證出：在的時

59、候，那么</p><p>　　無窮積分一定是收斂的．</p><p>　　這個定理給我們指導(dǎo)了一個新的判別方法，我們能夠判別無窮積分是收斂的還是發(fā)散的．我們本就能夠運用洛必達法則來推出并得到以下的推論．</p><p>　　推論2.1[14] 假如函數(shù)在上是連續(xù)的，使任意的都能夠讓，還有，所以在為定理內(nèi)容中符合條件下的時候，我們能夠很容易的判別有同樣的論斷是正確的．

60、</p><p>　　證明 根據(jù)洛必達法則和題意給出能夠知道</p><p>　　所以推論的論斷是十分正確的．</p><p>　　例2.6 判別無窮積分的斂散性．</p><p>　　解 已知函數(shù)在上是連續(xù)的，使任意的滿足，所以</p><p>　　然后，根據(jù)定理能夠得到，無窮積分是收斂的.</p>&

61、lt;p>　　第3章 無窮積分的應(yīng)用</p><p>　　3.1 在物理學(xué)中的應(yīng)用</p><p>　　例3.1 發(fā)射火箭需要計算克服地球引力所做的功，設(shè)火箭的質(zhì)量是，問將火箭垂直地向上發(fā)射到天空在距離地表面高度的時候，需要做多少功？并由此計算當火箭初速度不小于多少的時候，才能夠讓火箭脫離地球所控制的引力范圍？</p><p>　　解 取軸豎直向上，地球的

62、半徑設(shè)為，質(zhì)量為，由萬有引力定律，火箭所受地球的引力為 </p><p>　　隨著火箭發(fā)射的高度而變化，當火箭在地面上，即時，火箭所受的引力就是火箭的重力 </p><p>　　代入上式，, 為了發(fā)射火箭必須克服地球引力，克服地球引力的與大小相等，下面用微元法來求變力做功,</p><p><b>　　取為積分變量, <

63、;/b></p><p>　　為了使火箭脫離地球引力范圍，也就是說要把火箭發(fā)射到無窮遠處，即所需做的功</p><p>　　這些功是根據(jù)火箭燃料燃燒而釋放的動能轉(zhuǎn)化而來，假如火箭從地面離開時的初速度為，則動能為，所以為了讓火箭脫離地球的引力范圍，就要有</p><p><b>　　代入上式得 </b></p><p&

64、gt;　　我們可以根據(jù)這道實際的物理題，計算垂直發(fā)射質(zhì)量為的宇宙飛船脫離地球的引力所做的功，需要計算一個定積分的上限無限增大的極限，也就是說計算無窮積分的值，這就是無窮積分在物理學(xué)中一個最真實最普遍的一個應(yīng)用.</p><p>　　例3.2 現(xiàn)在我們把一個帶有電量的點電荷放在軸上坐標原點處的位置上，我們知道它會產(chǎn)生一個自己的電場，這個新的電場對在它周圍的電荷會產(chǎn)生作用力，我們還可以由物理學(xué)知道，假如將一個單位正電

65、荷放在新產(chǎn)生的電場中距離原點為的位置的時候，那么我們知道這個新的電場對它產(chǎn)生的作用力大小為（這里是常數(shù)），現(xiàn)在我們把這個單位正的點電荷在電場中從的位置上沿軸移動到的位置上的時候，請試計算電場力對它所作的功為多少，到無窮遠的位置呢？</p><p>　　解 取為積分變量，，取任一小區(qū)間，功微元，所求功為 </p><p>　　如果我們要考慮把單位電荷從原點的位置

66、上移動到無窮遠處那么此時電場力對它所做的功是 </p><p>　　3.2 在經(jīng)濟學(xué)中的應(yīng)用</p><p>　　例3.3[15] 已知一家企業(yè)由現(xiàn)在到未來的某時刻,每年以美元連續(xù)資金流量的累積現(xiàn)值為</p><p>　　其中是現(xiàn)行的利率假設(shè)資金流量的情況是連續(xù)不斷的在這個假設(shè)成立的前提下, 求在未來的無限時間周期上的累積現(xiàn)值是多少

67、？</p><p><b>　　解</b></p><p>　　例3.4 現(xiàn)在呼和浩特一家牛奶公司有一個的投資工程, 他們的投資成本的資金是(萬元) , 投資的每年的年利率是, 每年年底的均勻收入率是(萬元), 現(xiàn)在求該投資項目為無限期時的純收入的貼現(xiàn)值(或我們把它叫做投資的資本價值) </p><p>　　解 由題設(shè)的已知條件我們能夠看出，收

68、入率是 (萬元) , 年利率是, 所以無限期的投資的總收入的貼現(xiàn)為：</p><p>　　所以當我們的投資是沒有期限的時候的純收入貼現(xiàn)值是</p><p>　　那么該項目為無限期時的純收入的貼現(xiàn)值是（萬元）.</p><p><b>　　結(jié) 論</b></p><p>　　本文主要研究了無窮積分的斂散性的一些判別方法及

69、其實際運用.</p><p>　　第一部分的內(nèi)容是重點介紹了無窮積分斂散性相關(guān)的定義、概念、等知識，然后給出了收斂的無窮積分、發(fā)散的無窮積分、絕對收斂的無窮積分、條件收斂的無窮積分等概念知識. 敘述了在通常的情況下, 判別無窮積分斂散性的運用中比較簡單的應(yīng)用，為后文的主要內(nèi)容起到了引領(lǐng)下文的作用.</p><p>　　第二部分的內(nèi)容是重點介紹了無窮積分斂散性的判別方法. 同時，還研究了無窮

70、積分的一些常用性質(zhì)并給予了證明. 本文總結(jié)了比較判別法判別無窮積分的斂散性，柯西判別法判別無窮積分的斂散性、柯西收斂準則判別無窮積分的斂散性,還有阿貝爾判別法判別無窮積分的條件收斂、狄利克雷判別法等方法來對無窮積分的斂散性進行判別，我們詳細地學(xué)習(xí)運用所學(xué)知識. 對于柯西判別法，在原來的基礎(chǔ)之上我們又進行了推廣，我們知道柯西極限判別法可以適用于被積函數(shù)為非負函數(shù)的無窮積分，對其斂散性的判別具有一定的意義，若不然，被積分項就很有可能會出現(xiàn)是

71、負數(shù)的情況，對于被積函數(shù)是變號函數(shù)的無窮積分來說，很有可能出現(xiàn)條件收斂的無窮積分的情況，我們能夠應(yīng)用阿貝爾的判別法還有狄利克雷的判別法，來判別其是不是條件收斂的. 然而，假如對變號的被積函數(shù)或者不定號的被積函數(shù)所形式的無窮積分來說，我們單單能判別出它不是絕對收斂，當我們實際運用的時候，我們需要對被積函數(shù)加上絕對值，這是我們需要重點注意的地方. </p><p>　　第三部分重點歸納了無窮積分斂散性的應(yīng)用，主要是

72、無窮積分斂散性在物理學(xué)中的應(yīng)用，無窮積分的斂散性在經(jīng)濟學(xué)中的應(yīng)用，無窮積分對社會的進步和數(shù)學(xué)的發(fā)展做出了突出的貢獻. 無窮積分也發(fā)揮了重要作用.許多實際問題中都蘊含著無窮積分的知識和應(yīng)用，所以說無窮積分的應(yīng)用非常廣泛. </p><p>　　縱觀近代數(shù)學(xué)的發(fā)展，我們可以看出越來越多的人研究無窮積分. 無窮積分對解決實際問題起到了非常大的作用，所以無窮積分的斂散性的未來是無限光明的，會更好的被應(yīng)用于生活之中.<

73、;/p><p><b>　　參考文獻</b></p><p>　　[1] 帕爾哈提·阿里甫,阿布力米提·阿布都熱依木.利用Γ函數(shù)計算含參變量無窮積 分的一種方法[J].佳木斯大學(xué)學(xué)報:自然科學(xué)版,2017,(01):131-132. </p><p>　　[2] 玉璋.正函數(shù)無窮積分斂散性的一種判別法[J].重慶科技學(xué)

74、院學(xué)報,2008,(02):142-144. </p><p>　　[3] Robust.H-infinity integral sliding mode control for a class of uncertain switched nonlinearsystems[J].Journal of Control Theory and Applications,2010,(04):521-526.<

75、;/p><p>　　[4] 華東師范大學(xué)數(shù)學(xué)系.數(shù)學(xué)分析[M]北京：高等教育出版社，2003：196.</p><p>　　[5] 華東師范大學(xué)數(shù)學(xué)系.數(shù)學(xué)分析習(xí)題解析[M].上海：華東師范大學(xué)出版社，2003：185.</p><p>　　[6] 李娟.反常積分與無窮級數(shù)收斂性關(guān)系探析[J].安康學(xué)院學(xué)報,2013,(06):26-27.</p><

76、;p>　　[7] 張姮妤.關(guān)于一類無窮積分的收斂判別問題的研究[J].齊齊哈爾大學(xué)學(xué)報:自然科學(xué)版,2016,(03):73-75.</p><p>　　[8] 蔡瑾.無窮積分的幾個定理[J].商丘職業(yè)技術(shù)學(xué)院學(xué)報,2015,(05):1-3.</p><p>　　[9] 余建熙.兩種反常積分斂散性的判別方法研究[J].科技展望,2017,(03):236-237.</p>

77、;<p>　　[10] E.M.Safro. Integral-inequality approach to delay-dependent robust H-infinity control for uncertain neutral systems[J].Journal of Control Theory and Applications,2008,(02):208-214.</p><p>　

78、　[11] 邢家省,楊小遠,白璐.兩無窮區(qū)間上積分交換次序充分條件的改進及其應(yīng)用[J].四川理工學(xué)院學(xué)報:自然科學(xué)版,2016,(01):87-92.</p><p>　　[12] 馮依虎.一類無窮積分的收斂性和求值的討論[J].宜春學(xué)院學(xué)報,2013,(06):39-40.</p><p>　　[13] 陳亞麗.廣義積分斂散性的對數(shù)判別法[J].安徽電子信息職業(yè)技術(shù)學(xué)報,2004,(21

79、):231-232.</p><p>　　[14] 張姮妤,欒孟杰,劉一.一類無窮積分的計算公式[J].牡丹江師范學(xué)院學(xué)報:自然科學(xué)版,2016,(01):22-24.</p><p>　　[15] Bai-Shun,Liu,Xiang-Qian,Luo.General Convex Integral Control[J]. International Journal of Automat