數(shù)學教學的水平、方式與教師學習

1、顧泠沅上海市教育科學研究院 （香港，2007年11月29日）,Shanghai Academy of Educational Sciences,21 Cha Ling Road (N.), Shanghai, 200032, P.R. China,學科教學的水平演變與教師學習,一、現(xiàn)實：學與教的水平演變,來自“青浦實驗”的新世紀行動調(diào)查報告,1、教師觀課視角走向能力為本,（1）教師觀課視角十點變化,① 原先只是強調(diào)教學目的要求“不

2、脫離主題”、“恰如其分”；如今提倡技能、認知、情感全面“適合學生最近發(fā)展區(qū)”，突出了“學生發(fā)展為本”的目標。② 原先課堂安排以全班學生“可接受程度”為依據(jù)，取統(tǒng)一的最低線；如今強調(diào)尊重每位學生的個性差異，在此基礎(chǔ)上面向全體學生。③ 原先只是按大綱教材預設(shè)教學內(nèi)容和問題；如今要利用課堂“生成資源”，鼓勵學生責疑問難、獨立思考。④ 原先教師通過教學“指引和示范”，影響和促進學生發(fā)展；如今進一步注重學生學習方法和學習習慣的主動養(yǎng)成。⑤

3、 原先想方設(shè)法激發(fā)學生的認識興趣、讓他們都能積極思維；如今已深入到設(shè)置典型情境，提倡小組合作，讓學生嘗試、探索、創(chuàng)造性解決問題。,課堂視角十點變化,⑥ 原先主要采用“教師引導”、“學生配合”的師生合作方式，學生仍是配角；如今要求引導以學生為主體的活動，使學生真正成為學習的主人。⑦ 原先只是由教師及時了解教學效果，隨時反饋調(diào)節(jié)；如今已進步到可由學生作自我評價和調(diào)控。⑧ 原先尚未提及模型、演示或多媒體的運用；如今隨著現(xiàn)代教育技術(shù)的逐步普

4、及，不僅廣泛使用，還提出了“合適”與“必須”的更高要求。⑨ 原先教學效果評價僅關(guān)注當堂反應、檢查和“直覺印象”；如今還關(guān)注到學生“潛能發(fā)揮”和是否有利于提高“后續(xù)學習水準”。⑩ 另外，如今還注意到改革進程中出現(xiàn)的深層次問題，如如何把握學科本質(zhì)和最有學習價值的知識；關(guān)于技能訓練的定位，以及避免不必要的重復講述和大運動量訓練，減輕學生過重負擔；還有如何充分利用課堂時間，相對降低活動成本等。,（2）權(quán)重方案側(cè)重能力培養(yǎng),權(quán)重方案25年前后

5、比較,,1982年36名教師權(quán)重方案的模糊聚類結(jié)果,,,2007年47名教師權(quán)重方案的模糊聚類結(jié)果,2、學生能力目標測試喜中有憂,1950年代布盧姆主編的《教育目標分類學》奠定了現(xiàn)代教學目標分類的基礎(chǔ)，該書把認知目標分成知識、領(lǐng)會、運用、分析、綜合、評價6種水平。威爾遜(J. W. Wilson)曾把布盧姆的目標分類原則引入數(shù)學學科，設(shè)計了計算、領(lǐng)會、運用、分析4個層次的認知目標。后來有人明確指出了布盧姆分類理論在連續(xù)性與層次性方面存在

6、漏洞。 1990年與2007年，“青浦實驗”采用大樣本測試結(jié)果，從初中二年級學生在數(shù)學學習中大量外顯行為所表征的教學目標中析取其內(nèi)隱的主要因素，由此確定目標框架的層次并研究分類的連續(xù)性。研究運用因素分析的方法。,（1）兩度因素分析實驗建立四層次架構(gòu),表中1、2、3、4、5、6、7依次代表知識、計算、領(lǐng)會、運用、分析、綜合、評價7種分測試。內(nèi)隱主因素依次為：F1—記憶為主，F(xiàn)2—理解為主，F(xiàn)3—評判為主。這三個因素占總方差的

7、比例分別為56.1％、3.49%和1.42%，三者相加占總方差的61.08% 。,1990年3000樣本因析結(jié)果得到的公共因素負荷矩陣,由圖可見：綜合與分析，盡管測試難度差別較大，但還是屬于同一思維水平；同樣，應用與領(lǐng)會看來也可以合并；至于計算與知識，在當時強調(diào)記住課本內(nèi)容前提下，也可合并為同一目標。,6種測試變量在兩因素平面上的矢量表示,2007年4349樣本因析結(jié)果得到的公共因素負荷矩陣,表中1、2、3、4、5依次代表計算、概念、領(lǐng)

8、會、運用、分析5種分測試。內(nèi)隱主因素依次為：F1—記憶為主，F(xiàn)2—理解為主。這兩個因素占總方差的比例分別為75.78％和9.37%，兩者相加占總方差的85.14% 。,領(lǐng)會與運用，雖然表征的方式不同，但還是屬于同一思維層次，的確可合并。 在目標分類公共因素簡約為記憶——理解的兩維平面上，教學目標可區(qū)分為大致等距的四層次架構(gòu)， 如表所示。,5種測試變量在兩因素平面上的矢量表示,1990年與2007年，前后相隔17年，取得了具有

9、時代價值的大量數(shù)據(jù)資料，它是一段歷史的見證。前期7種認知水平，后期歸并為5種水平，測試題中約有1/3保持原貌，另有2/3提高了難度。,● 盡管總體難度有很大提高，但多數(shù)分測試成績與總分都有較大幅 度的提高，總平均得分率從45.27%提升到58.83%，課堂教學的實 效有了顯著提高，十余年來的進步有目共睹。,（2）學生認知水平顯著提高,（3）點面、城鄉(xiāng)差距明顯縮小,● 早年青浦地區(qū)少量先進典型與巨大落后面并存的局面已經(jīng)

10、 改變，從學生認知水平看過去所謂的點與面、城與鄉(xiāng)的差 距明顯縮小。,● 計算與概念層面的水平大幅度提高；領(lǐng)會水平的目標已經(jīng)基本 達成；但分析水平，即分析問題和解決問題的能力，尚無明顯 提高，應成為今后數(shù)學課堂和教學改革要著力突破的重點內(nèi)容。,（4）問題解決能力風景依舊,數(shù)學教學目標水平測試17年前后比較,【資料】 學生性別差異的比較,● 從能傾類型分析， 1990年男生的探

11、究能力、理解能力總體優(yōu) 于女生，女生則在記憶能力上占有優(yōu)勢。2007年出現(xiàn)明顯的 反過來的走勢。這些突出變化，值得進一步研究。,二、實現(xiàn)：教師學習事關(guān)重大,從提高教師的“學科教學知識”(PCK) 入手,（1）L.舒爾曼 教師專業(yè)知識分析框架①學科知識②一般教學知識③課程知識④學科教學知識（教學內(nèi)容知識，Pedagogical Content Knowledge，簡稱PCK）⑤學習者及其特點的知識⑥教育

12、情境知識⑦關(guān)于教育的目標、目的和價值以及 它們的哲學和歷史背景的知識,【文獻】教師專業(yè)知識研究的歷程,Veal 和Makinster 建構(gòu)了一個金字塔模型, PCK位于塔尖, 是多方面整合的結(jié)果,通過論證認為：學科教學知識（PCK）最能區(qū)分學科專家與教學專家、高成效教師與低成效教師間的不同。,（2）教師專業(yè)的早期、近年和現(xiàn)在,（3）P.L.格羅斯曼將學科教學知識（PCK）解析為四部分,早期： 強調(diào)學科內(nèi)容知識近年： 關(guān)注一般教

13、學知識（課程、教學、作業(yè)、評價等）現(xiàn)在： 學科教學知識和學科內(nèi)容知識同為關(guān)鍵，成為培養(yǎng)、培訓的重點,① 一門學科的統(tǒng)領(lǐng)性觀點（關(guān)于學科性質(zhì)的知識和最有學習價值的知識）② 學生對于特定學習內(nèi)容理解和誤解的知識③ 特定學習內(nèi)容在橫向和縱向上組織和結(jié)構(gòu)的知識④ 將特定學習內(nèi)容呈現(xiàn)給學生的策略知識,教師知識基礎(chǔ)框架，尤其是其中的核心成分PCK明晰化之后，利用PCK解決問題的教學技能也漸漸被開掘，這大大厘清了世界各國對教師資格的認證以及對

14、教師專業(yè)知識和技能培養(yǎng)的向度。,數(shù)學學科的總領(lǐng)性觀念,① 數(shù)學的對象不外“數(shù)”與“形”，雖然近代的觀念，已與原始的意義相差甚遠。② 數(shù)學的主要方法，是邏輯的推理。因之建立了一個堅固的思想結(jié)構(gòu)。③ 這些結(jié)果會對其他學科有用，是可以預料的。但應用遠超過了想象。數(shù)學固然成了基本教育的一部分。其他科學也需要數(shù)學作理想的模型，從而發(fā)現(xiàn)相應科學基本規(guī)律。,——摘自陳省身為《數(shù)學百科全書》所寫的序.（中譯五卷本，科學出版社出版.）,1、把握最有

15、學習價值的知識,堅持為理解而教,自美國NCTM在2000年發(fā)表 《學校數(shù)學的原理和標準》，明確提出“概念性理解是掌握數(shù)學必不可少的組成部分”以來，國際上為了理解的數(shù)學教學一直倍受重視。正如大數(shù)學家柯朗所說：“數(shù)學的教學，逐漸流于無意義的單純演算習題的訓練，固然這可以發(fā)展形式演算的能力，但卻無助于對數(shù)學的真正理解，無助于提高獨立思考的能力。”,——柯朗著（王浩，朱煜民譯)：數(shù)學是什么．

16、 長沙：湖南科學技術(shù)出版社,1984.,（1）例如：正方形的定義和性質(zhì),邊講邊問沒有擺脫全面灌輸：,一年后重新設(shè)計：,105次填空式問答（由低到高設(shè)計），記憶問題占74.3%，簡單推理占21.0%，小步、多練、快進，未留思考空間給學生。 教師：“ 講是給學生知識，問是看他們收到?jīng)]有”。,弄清圖形之間關(guān)系，學生思維水平提升，變繁瑣為簡單。 學生：“原來那么多性質(zhì)不需要死記硬背”。,2、提

17、高效率的奧秘： 了解學生容易理解或誤解之處,（2）例如：類比遷移,（1）舊知中引發(fā)沖突,師：如何對x6－1分解因式？學生板演的兩種解法： x6－1=(x3)2-1=(x3+1)(x3-1) =(x+1)(x2-x+1)(x-1)(x2+x+1) x6－1= (x2)3-1=(x2-1)(x4+x2+1) =(x+1)(x-1)(

18、x4+x2+1)問題：同一題目，兩種方法做怎么答案不一樣呢？,3、縱橫連貫才能納入“堅固的思想結(jié)構(gòu)”,例如：拆添項法分解因式,（2）在演算中蘊含新知,師：看看(x4+x2+1) 是否與(x2-x+1)(x2+x+1)相等呢？學生的驗算： (x2-x+1)(x2+x+1)=[(x2+1)-x][(x2+1)+x] =(x2+1)2-x2

19、 =x4+2x2+1-x2 = x4+x2+1師：由上面的驗算可知， (x4+x2+1) 確實能分解成(x2-x+1)(x2+x+1). 請同學們試試看，誰能最快發(fā)現(xiàn)新的分解方法？,生4： x4+x2+1 =x4+2x2+1-x2＝……師：你為什么把 x2 拆成 2x2 與 -x2 兩項呢？生4：因為這樣一拆，前面三項正好是

20、完全平方，可以用分組分解繼續(xù)分解下去。 讓學生通過逆向思維，親自發(fā)現(xiàn)因式分解的新方法，雖有一定難度，但又是大多數(shù)學生經(jīng)過“跳一跳”能夠做到的。而且，拆添項分解因式的這一方法與學生后面學習二元一次方程解法時的“配方法”過程直接相關(guān)，為后續(xù)學習打下基礎(chǔ)。,（3）發(fā)現(xiàn)拆添項分解因式法,4、兩種教學方式各自需要不同的內(nèi)容呈現(xiàn)策略,接受式： 有利于教師傳授知識，進行單純的技能技巧的訓練；但不利于學生的獨創(chuàng)學習。,活

21、動式： 有利于發(fā)揮學生的主動性和探索精神，獲得出自需要和目的的技能技巧；但不利于學生學習系統(tǒng)的知識。,● “除法就是分豆子”——簡單情境中的數(shù)學化● 設(shè)計一個圓形劇場——復雜情境中的問題解決● 勾股定理能夠被學生發(fā)現(xiàn)嗎——“腳手架”的設(shè)置與拆除● 等腰三角形的判定——運用變式跨越思維臺階 …………,例如：,學生的發(fā)現(xiàn)出乎意料：c2=2ab+1 a2+b2=c2a+b+a2=b2 2ab+c2=(

22、a+b)2等!,（1）填表，數(shù)據(jù)出猜想,例如：勾股定理,(2) 反駁與證明的師生對話,[生1 ] 根據(jù)數(shù)據(jù)表,我得出c2=2ab+1的結(jié)論。[ 師] [很驚訝]怎么會,不可能吧?[生2 ] 我做過a=2,b=4的例子,這時2ab=16,c2=20,c2≠2ab+1。[ 師] 生2用舉例來“反駁”,有說服力,c2=2ab+1這一結(jié)論不能成立。[生3 ] 老師,當a與b相差1的時候,這個結(jié)論還是成立的。[ 師] [心中想 c2=