通信原理電子教案隨機過程

1、通 信 原 理 電 子 教 案第3章 隨機過程,2024/3/16,2,第三章 隨機過程 －－本章是本書的數(shù)學基礎(chǔ)。 3.1隨機過程的基本概念 3.2平穩(wěn)隨機過程 3.3高斯隨機過程 3.4 平穩(wěn)隨機過程通過線性系統(tǒng) 3.5窄帶隨機過程 3.6正弦波加窄帶隨機過程 3.7 高斯白噪聲和帶限白噪聲 3.8 小結(jié),2024/3/16,3,通信過程

2、是信號和噪聲通過通信系統(tǒng)的過程，分析與研究通信系統(tǒng)，總是離不開對信號和噪聲的分析?！?隨機信號：通信系統(tǒng)中的信號通常總帶某種隨機性。不可預(yù)測，不能用確定函數(shù)表示的信號。● 隨機噪聲：通信系統(tǒng)必然遇到噪聲。不可預(yù)測（熱噪聲）。簡稱噪聲。● 隨機過程：從統(tǒng)計學的觀點看，隨機信號和 隨機噪聲統(tǒng)稱為隨機過程。 統(tǒng)計學中的有關(guān)隨機過程的理論可以運用到隨機信號和噪聲分析中來。,2024/3/16,4,3.1隨機過程的基本概念考察：

3、 假設(shè)有無數(shù)臺性能相同的接收機，在同樣條件下不加信號測試其輸出。 得到一系列噪聲波形ξ1(t)、ξ2(t)、ξ3(t)、...、ξn(t)、...。理想時，波形應(yīng)一致，但實際不然,找不到兩個完全相同的波形。,2024/3/16,5,討論：●每一條曲線ξi(t)都是一個隨機起伏的時間函數(shù)－－樣本函數(shù)（確知信號）。●無窮多個樣本函數(shù)的總體在統(tǒng)計學中稱作隨機函數(shù)的總集－－隨機過程ξ(t) 。●每一條曲線ξi(t)都是隨機過

4、程的一個實現(xiàn)/樣本。,●在某一特定時刻t1觀察各臺接收機的輸出噪聲值ξ(t1) ，發(fā)現(xiàn)他們的值是不同的－－ 是一個隨機量（隨機變量）。,2024/3/16,6,概括： 隨機過程ξ(t)的含義／屬性有兩點： （1）ξ(t)是t 的函數(shù)，是由所有的樣本函數(shù)構(gòu)成的； （2）ξ(t)在任一時刻 t1上的取值ξ(t1)不是確定的，是一個隨機變量。即每個時刻上的函數(shù)值是按照一定的概率分布的。故隨機過程可以看做是在時間進程

5、中處于不同時刻的隨機變量的集合。概率論：隨機變量分析－－分布函數(shù)和概率密度,2024/3/16,7,3.1.1 隨機過程的分布函數(shù)１. 分布函數(shù)和概率密度（1）一維描述 ●一維分布函數(shù) 隨機過程ξ(t)任一時刻 t1 的取值是隨機變量ξ(t1)，則隨機變量ξ(t1)小于等于某一數(shù) 值 x1的概率 F1（x1，t1）=P[ξ(t1) ≤x1] （3.1.1） 叫做隨機過程ξ(

6、t)的一維分布函數(shù)。,2024/3/16,8,●一維概率密度函數(shù) 若一維分布函數(shù)對x1的偏導數(shù)存在，則,叫做隨機過程ξ(t)的一維概率密度。 （2）二維描述－－隨機過程不同時刻取值之間的相互關(guān)系 ●二維分布函數(shù) 若隨機過程ξ(t)在時刻 t1 的取值是隨機變量ξ(t1)，而在時刻t2的取值是隨機變量ξ(t2)，則ξ(t1)與ξ(t2)構(gòu)成一個二元隨機變量[ξ(t1)，ξ(t2)]，稱 F2（x1，x

7、2；t1，t2）= P[ξ(t1)≤x1；ξ(t2)≤x2 ]為隨機過程ξ(t)的二維分布函數(shù),2024/3/16,9,●二維概率密度函數(shù) 若二維分布函數(shù)對x1和x2二階偏導數(shù)存在，則,叫做隨機過程ξ(t)的二維概率密度。●同理，可以定義隨機過程的多維分布函數(shù)及多維概率密度分別為,2024/3/16,10,統(tǒng)計獨立 對于任何n個隨機變量ξ(t1)，ξ(t2)，...，ξ(tn)，如果下式成立

8、 fn（x1，x2，...，xn；t1，t2，...，tn） =f1（x1，t1）f2（x2，t2）...fn（xn，tn）則稱這些變量是統(tǒng)計獨立的，否則就是不獨立的或相關(guān)的。意義： ●可以把隨機過程ξ(t)當作一個多元的隨機變量來看待，而用這個多元隨機變量ξ(t1)，ξ(t2)，...，ξ(tn)的分布函數(shù)或概率密度來描述隨機過程的統(tǒng)計特性。 ●顯然，n 越大，對隨機過程的描述越充分。,

9、2024/3/16,11,3.1.2.隨機過程的數(shù)字特征引言 ●問題：隨機過程的分布函數(shù)（或概率密度）族能夠完善 地刻畫隨機過程的統(tǒng)計特性。但實際中：難；不必。 ●措施：用隨機過程的數(shù)字特征來描繪隨機過程的統(tǒng)計特性，更簡單方便。 ●方法：求隨機過程數(shù)字特征的方法有“統(tǒng)計平均”和“時間平均”兩種。 統(tǒng)計平均: 對隨機過程ξ(t)某一特定時刻不同實現(xiàn)的可能取

10、值ξ(ti)－－隨機變量 ，用統(tǒng)計方法得出的種種平均值叫統(tǒng)計平均。 時間平均:對隨機過程ξ(t)的某一特定實現(xiàn)即樣本函數(shù)ξi(t) ，用數(shù)學分析方法對時間求平均得出的種種平均值叫時間平均。,2024/3/16,12,（一）統(tǒng)計平均1.均值 隨機過程在任意時刻 t 的取值所組成隨機變量ξ(t)的均值稱為隨機過程的均值，也稱為統(tǒng)計平均或數(shù)學期望。即,注：t1→t，x1 →x 物理意義：均值代表隨機過程的擺動中心

11、。2.均方值 隨機變量ξ(t)的二階原點矩,稱為隨機過程ξ(t)的均方值。－－相對于橫軸的振動程度 。,2024/3/16,13,3.方差 隨機變量ξ(t)的二階中心矩,稱為隨機過程ξ(t)的方差。 －－相對于均值的振動程度 。,2024/3/16,14,4.協(xié)方差與相關(guān)函數(shù)－－隨機過程不同時刻取值之間的相互關(guān)系 衡量隨機過程ξ(t)在任意兩個時刻t1和t2上獲得的隨機變量ξ(t1)和ξ(t2)的統(tǒng)計相關(guān)特性時，常用

12、協(xié)方差函數(shù)B(t1，t2)和相關(guān)函數(shù)R(t1，t2)來表示。（1）相關(guān)函數(shù) ξ(t1)和ξ(t2)的二階原點混合矩,稱為隨機過程ξ(t)的相關(guān)函數(shù)。（2）協(xié)方差函數(shù)（3）協(xié)方差與相關(guān)函數(shù)的關(guān)系,2024/3/16,15,稱為隨機過程ξ(t)的協(xié)方差。（3）協(xié)方差與相關(guān)函數(shù)的關(guān)系 顯然，有以上兩式可得 B(t1，t2)=R(t1，t2)-E[ξ(t1)]E[ξ(t2)] 若E[ξ(t1)]或

13、E[ξ(t2)]為零，則B(t1，t2)= R(t1，t2) 這里的R(t1，t2)及B(t1，t2)由于是衡量同一過程的相關(guān)程度，因此又常分別稱為自相關(guān)函數(shù)和自協(xié)方差函數(shù)。,（2）協(xié)方差函數(shù)ξ(t1)和ξ(t2)的二階中心混合矩,2024/3/16,16,5.互協(xié)方差與互相關(guān)函數(shù)－－不同隨機過程間的關(guān)系（1）互相關(guān)函數(shù) 設(shè)ξ(t)與η(t)分別表示兩個隨機過程，則互相關(guān)函數(shù)定義為Rξη(t1，t2)=E[ξ

14、(t1)η(t2)] 如果兩個隨機過程的互相關(guān)函數(shù)為零，即下列條件成立Rξη(t1，t2)= 0 則稱它們是不相關(guān)的---正交的隨機過程。統(tǒng)計獨立的兩個隨機過程是不相關(guān)的。（2）互協(xié)方差 互協(xié)方差定義為 Bξη(t1，t2)=E{ξ(t1)-a(t1)]E[η(t2)]--a(t2)]} 若 Bξη(t1，t2)= 0 則兩個過程是不相關(guān)的。,2024/3

15、/16,17,（二）時間平均 －－非周期函數(shù)平均值,1.平均值（或直流分量） 設(shè)ξi(t)是隨機過程ξ(t)的一個典型的樣本函數(shù)，則樣本函數(shù)的時間平均為,注：結(jié)果與時間無關(guān)，為常數(shù)。2. 均方值（或總平均功率）,2024/3/16,18,3.方差（或交流功率）,4.自相關(guān)函數(shù) 樣本函數(shù)ξi(t)的自相關(guān)函數(shù)定義為,2024/3/16,19,●自相關(guān)函數(shù)的性質(zhì)：,均方值（平均功率）這是當然偶函數(shù),2024/3/16,

16、20,3.2 平穩(wěn)隨機過程3.2.1定義1.狹義平穩(wěn)隨機過程 假設(shè)一個隨機過程ξ(t)，如果它的任何n維分布或概率密度函數(shù)與時間起點無關(guān)，即對于任意的t 和τ，隨機過程ξ(t)的n 維概率密度函數(shù)滿足,fn（x1，x2，...，xn；t1，t2，...，tn） =fn（x1，x2，...，xn；t1+τ，t2+τ，...，tn+τ）則稱ξ(t)是嚴平穩(wěn)隨機過程或狹義平穩(wěn)隨機過程。,2024/3/16,21

17、,顯見，平穩(wěn)隨機過程具有如下特點：■統(tǒng)計特性將不隨時間的推移而不同。它的一維分布與t無關(guān)，二維分布僅與時間間隔τ有關(guān)?！鰯?shù)字特征變得“平穩(wěn)”、簡單：數(shù)學期望與 t 無關(guān)：a(t)= a ；自相關(guān)函數(shù)只與τ有關(guān)：R(t1，t1+τ)=R(τ).,fn（x1，x2，...，xn；t1，t2，...，tn） =fn（x1，x2，...，xn；t1+τ，t2+τ，...，tn+τ）,2024/3/16,22,2.廣義平穩(wěn)隨機

18、過程 一隨機過程ξ(t)，如果它滿足： （1）數(shù)學期望與 t 無關(guān)，即：a(t)=a ； （2）自相關(guān)函數(shù)只與時間間隔τ有關(guān)，即： R(t1，t1+τ)=R(τ)。 則稱ξ(t)是廣義平穩(wěn)的隨機過程。意義：●平穩(wěn)隨機過程具有各態(tài)歷經(jīng)性－－十分有趣，非常有用?！裢ㄐ畔到y(tǒng)中所遇到的信號與噪聲，大多數(shù)可視為平穩(wěn)的隨機過程。,2024/3/16,23,則說ξ(t)為具有各態(tài)歷經(jīng)性（遍

19、歷性）的平穩(wěn)隨機過程.。 2.各態(tài)歷經(jīng)的含義 隨機過程的任一實現(xiàn)（樣本函數(shù)），都經(jīng)歷了隨機過程的所有的可能狀態(tài)。3.各態(tài)歷經(jīng)隨機過程的特點－－好處 任何一個實現(xiàn)都能代替整個隨機過程。給實際測量、分析計算帶來極大方便。,3.2.2 平穩(wěn)隨機過程的各態(tài)歷經(jīng)性1.各態(tài)歷經(jīng)隨機過程 假設(shè)ξ(t)是一個平穩(wěn)隨機過程，如果有下列式子成立,2024/3/16,24,[例3-1] 設(shè)一個隨機相位的正弦波為其中，A和?c均

20、為常數(shù)；?是在(0, 2π)內(nèi)均勻分布的隨機變量。試討論?(t)是否具有各態(tài)歷經(jīng)性。分析【解】(1)先求?(t)的統(tǒng)計平均值：數(shù)學期望,2024/3/16,25,自相關(guān)函數(shù)令t2 – t1 = ?，得到可見， ?(t)的數(shù)學期望為常數(shù)，而自相關(guān)函數(shù)與t 無關(guān)，只與時間間隔? 有關(guān)，所以?(t)是廣義平穩(wěn)過程。,,,2024/3/16,26,(2) 求?(t)的時間平均值比較統(tǒng)計平均與時間平

21、均，有因此，隨機相位余弦波是各態(tài)歷經(jīng)的。,,,,,,2024/3/16,27,3.2.3 平穩(wěn)隨機過程的自相關(guān)函數(shù) －－特別重要，因為： （1）平穩(wěn)隨機過程的統(tǒng)計特性，如數(shù)字特征等，可通過相關(guān)函數(shù)來描述； （2）相關(guān)函數(shù)揭示了隨機過程的頻譜特性。1.相關(guān)函數(shù)的性質(zhì) 設(shè)ξ(t)為實平穩(wěn)隨機過程，相關(guān)函數(shù)R(τ)=E[ξ(t)ξ(t+τ)]具有如下性質(zhì)：（1） R(0)=E[ξ2 (t)]= s

22、 ---ξ(t)的平均功率。（2） R(τ)=R(-τ) ---R(τ)是偶函數(shù)。 （3） | R(τ)|≤R(0) --- R(τ) 的上界。（4） R(∞)=E2[ξ(t)]=a2 ---ξ(t)的直流功率。（5）R(0)－R(∞)=σ2 ----方差，ξ(t)的交流功率。,2024/3/16,28,3.2.4 平穩(wěn)隨機過程的自相關(guān)函數(shù)R(τ)與功率譜密度Pξ(ω)的關(guān)系

23、 ---相關(guān)函數(shù)R(τ)的又一重要性質(zhì)。 設(shè)：ξ(t)平穩(wěn)，R(τ)絕對可積,則,簡記為：Pξ(ω)←→R(τ)意義：平穩(wěn)隨機過程的自相關(guān)函數(shù)與其功率譜密度之間互為傅里葉關(guān)系。,2024/3/16,29,假設(shè)f(t)為時間無限信號（功率信號），若用 fT(t)代表f(t)在-T/2＜t＜T/2區(qū)間上的短截函數(shù)， 即,只要T為有限值fT(t)就具有有限的能量。,2024/3/16,30,功率譜密度定義,對于平穩(wěn)隨機過程?

24、 (t) ，可以把f (t)當作是?(t)的一個樣本；某一樣本的功率譜密度不能作為過程的功率譜密度。過程的功率譜密度應(yīng)看作是對所有樣本的功率譜的統(tǒng)計平均，故? (t)的功率譜密度可以定義為,2024/3/16,31,功率譜密度的計算維納-辛欽關(guān)系 非周期的功率型確知信號的自相關(guān)函數(shù)與其功率譜密度是一對傅里葉變換。這種關(guān)系對平穩(wěn)隨機過程同樣成立，即有簡記為以上關(guān)系稱為維納-辛欽關(guān)系。它在平穩(wěn)隨機過程的理

25、論和應(yīng)用中是一個非常重要的工具，它是聯(lián)系頻域和時域兩種分析方法的基本關(guān)系式。,,2024/3/16,32,在維納-辛欽關(guān)系的基礎(chǔ)上，我們可以得到以下結(jié)論：對功率譜密度進行積分，可得平穩(wěn)過程的總功率：上式從頻域的角度給出了過程平均功率的計算法。各態(tài)歷經(jīng)過程的任一樣本函數(shù)的功率譜密度等于過程的功率譜密度。也就是說，每一樣本函數(shù)的譜特性都能很好地表現(xiàn)整個過程的的譜特性?！咀C】因為各態(tài)歷經(jīng)過程的自相關(guān)函數(shù)等于任一樣本的自相關(guān)函數(shù)，

26、即 兩邊取傅里葉變換：即式中,,,,,2024/3/16,33,功率譜密度P? ( f )具有非負性和實偶性，即有和這與R(?)的實偶性相對應(yīng)。,,,2024/3/16,34,歸納：,例3.2 某隨機相位信號ξ(t)=sin(ω0t+θ)，其中：ω0為常數(shù)，隨機相位θ在（0，2π）內(nèi)均勻分布。求ξ(t)的自相關(guān)函數(shù)、功率譜密度和平均功率。,（1） R(0)=E[ξ2 (t)]= s ---平均功率

27、（2） R(∞)=E2[ξ(t)]=a2 ---直流功率/均值（3） R(0)－R(∞)=σ2 ----方差，交流功率,2024/3/16,35,解：（1）驗證ξ(t)的平穩(wěn)性,---與t無關(guān)。,----僅與τ有關(guān)。 故ξ(t)是廣義平穩(wěn)的隨機過程。,例3.2 某隨機相位信號ξ(t)=sin(ω0t+θ)，其中：ω0為常數(shù)，隨機相位θ在（0，2π）內(nèi)均勻分布。求ξ(t)的自相關(guān)函數(shù)、功率譜密度和平均功率。,

28、2024/3/16,36,（2）根據(jù)平穩(wěn)隨機過程的性質(zhì)，得,2024/3/16,37,3.3 高斯過程3.3.1 定義 一隨機過程ξ(t)，若它的任意n維概率密度呈正態(tài)分布，則稱其為高斯過程。又稱正態(tài)隨機過程。 數(shù)學表達式 一維時：,2024/3/16,38,3.3.2 性質(zhì)－－由定義可分析出（1）高斯過程若廣義平穩(wěn)，則必狹義平穩(wěn) 。（2）高斯過程中的隨機變量ξ(t1)、ξ(t2)、ξ(t3)、…之間

29、若不相關(guān)，則它們也是統(tǒng)計獨立的。 fn（x1，x2，...，xn；t1，t2，...，tn） ＝f1（x1，t1）f1（x2，t2）...，f1（xn，tn） （3）若干個高斯過程之和仍是高斯過程。－－從信號角度。（4）高斯過程經(jīng)線性變換后，仍是高斯過程。－－從系統(tǒng)（線性系統(tǒng)）角度。,2024/3/16,39,則稱ξ為服從正態(tài)分布的隨機變量,3.3.3 高斯隨機變量－－隨機變量研究

30、1.一維概率密度函數(shù)若隨機變量ξ的概率密度函數(shù)可表示成,2024/3/16,40,（2）性質(zhì),,,,,,,,,,,,1）對稱于直線x=a; 2）在 內(nèi)單調(diào)上升，在 內(nèi)單調(diào)下降，且在a點處達到極大值;,3） 4）a 表示分布中心， 稱為標準偏差，表示集中的程度。5）當a＝0 ， 時，相應(yīng)的正態(tài)分布稱為標準化正態(tài)分布：,2024/3/16,41,2.正態(tài)

31、分布函數(shù)（1）一般表示式已知概率密度函數(shù)的前提下，正態(tài)概率分布函數(shù)可以表示為：,這個積分不易計算，常引入概率積分函數(shù)或誤差函數(shù)（可查表）來表述。,2024/3/16,42,（2）用概率積分函數(shù)表示 定義概率積分函數(shù)(簡稱概率積分)為,則正態(tài)分布函數(shù)可表示為,2024/3/16,43,（3) 用誤差函數(shù)表示 正態(tài)分布函數(shù)更常表示成與誤差函數(shù)相聯(lián)系的形式。 1）誤差函數(shù)定義,誤差函數(shù)：互補誤差函數(shù)：,2024/3/1

32、6,44,2）誤差函數(shù)的性質(zhì)●誤差函數(shù)是遞增函數(shù)，它具有如下性質(zhì)：,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,●互補誤差函數(shù)是遞減函數(shù)，它具有如下性質(zhì)：,2024/3/16,45,3）用誤差函數(shù)表示正態(tài)分布函數(shù) ● x≥a 時：,2024/3/16,46,● x≤a,綜上：,2024/3/16,47,,3.4 隨機過程通過線性系統(tǒng)3.4.1 線性系統(tǒng)---復(fù)習 設(shè)：線性系統(tǒng)的沖擊響應(yīng)和網(wǎng)絡(luò)函數(shù)分別為 ：h(t)、H(ω)

33、，則：H(ω)←→h(t)。,周知：線性系統(tǒng)響應(yīng)v0(t)等于輸入信號vi(t)與沖擊響應(yīng)h(t)的卷積，即：,2024/3/16,48,,系統(tǒng)滿足物理可實現(xiàn)條件: h(t)=0，t<0；輸入有界（滿足狄里赫利條件）。則有：,理解：上式對于確知信號是沒有問題的。當輸入是隨機過程ξ (t)的一個實現(xiàn)ξi1(t)－－隨機函數(shù)時，便有輸出隨機過程ξo1(t)。進一步：當輸入是隨機過程ξi(t)時，便有輸出隨機過程ξo(t)。且有

34、：,2024/3/16,49,任務(wù)：假設(shè)ξi(t)為平穩(wěn)隨機過程，且已知其統(tǒng)計特性，求ξ0(t)的統(tǒng)計特性。注：考察一個實現(xiàn)就夠了。,2024/3/16,50,3.4.2 ξ0(t)的統(tǒng)計特性 1.ξ0(t)的平穩(wěn)性（1）均值,--與t無關(guān)。,結(jié)論：輸出過程的數(shù)學期望等于輸入過程的數(shù)學期望與H(0)相乘。且E[ξ0(t)]與t無關(guān)。,2024/3/16,51,其中：根據(jù)平穩(wěn)性 E[ξi(t-α)ξi(t+τ-β)]=

35、Rξi(τ+α-β),（2）相關(guān)函數(shù),－－僅與τ有關(guān)。,－－僅與時間差有關(guān)。,2024/3/16,52,綜上: ξ0(t)平穩(wěn)。即：,2. ξ0(t)的功率譜密度及分布函數(shù),（1） 功率譜密度 因為 ξ0(t)廣義平穩(wěn) 所以 Pξ0 (ω)←→Rξ0(τ) 可證得 Pξ0(ω)=∣H(ω)∣2Pξi(ω),2024/3/16,53,輸出過程?o(t)的功率譜密度對下式進行傅里葉變換：得出

36、令 ?? = ? + ? - ?，代入上式，得到即結(jié)論：輸出過程的功率譜密度是輸入過程的功率譜密度乘以系統(tǒng)頻率響應(yīng)模值的平方。應(yīng)用：由Po( f )的反傅里葉變換求Ro(?),,,,,2024/3/16,54,（2）分布函數(shù)一個十分有用的結(jié)論：若線性系統(tǒng)的輸入過程是高斯型的，則系統(tǒng)的輸出過程也是高斯型的。,因為從積分原理看， 可以表示為： 由于已假設(shè)?i(t)是高斯型的，所以上式右端的每一項

37、在任一時刻上都是一個高斯隨機變量。因此，輸出過程在任一時刻上得到的隨機變量就是無限多個高斯隨機變量之和。由概率論理論得知，這個“和” 也是高斯隨機變量，因而輸出過程也為高斯過程。注意，與輸入高斯過程相比，輸出過程的數(shù)字特征已經(jīng)改變了。,2024/3/16,55,例3.3 功率譜密度n0/2白噪聲，經(jīng)LPF：,求輸出的： Pno(ω)、Ro(τ)、噪聲功率N。解：,2024/3/16,56,3.5 窄帶隨機過程→窄帶過程1.什么

38、叫窄帶隨機過程？ 頻譜: 所占頻帶較窄，滿足Δf << fc的隨機過程叫～。 時域：用示波器觀察，看到某個實現(xiàn)（樣本函數(shù)）的波形－－幅度和相位隨機緩慢變化的近似正弦。,2024/3/16,57,問：窄帶隨機過程的同相及正交分量是低頻的還是高頻的?,2. 表達式－－兩種！,2024/3/16,58,3.5.1 ξc(t)、ξs(t)的統(tǒng)計特性,數(shù)學期望：對下式求數(shù)學期望：得到 因為?(t

39、)平穩(wěn)且均值為零，故對于任意的時間t，都有E[?(t)] = 0 ，所以,,,,,,2024/3/16,59,?(t)的自相關(guān)函數(shù)：由自相關(guān)函數(shù)的定義式,式中,2024/3/16,60,因為?(t)是平穩(wěn)的，故有這就要求上式的右端與時間t無關(guān)，而僅與?有關(guān)。 因此，若令 t = 0，上式仍應(yīng)成立，它變?yōu)?,,,因與時間t無關(guān)，以下二式自然成立,2024/3/16,61,所以，上式變?yōu)樵倭?t = π/2?c，同理可以求得由以

40、上分析可知，若窄帶過程?(t)是平穩(wěn)的，則?c(t)和?s(t)也必然是平穩(wěn)的。,,,,,進一步分析，下兩式應(yīng)同時成立，故有上式表明，同相分量?c(t) 和正交分量?s(t)具有相同的自相關(guān)函數(shù)。,,,,,,,,,,2024/3/16,62,根據(jù)互相關(guān)函數(shù)的性質(zhì)，應(yīng)有代入上式，得到上式表明Rsc(?)是? 的奇函數(shù)，所以同理可證,,,,,,,,,,將代入下兩式得到即上式表明?(t) 、 ?c(t)和?s(t)

41、具有相同的平均功率或方差。,,,2024/3/16,63,根據(jù)平穩(wěn)性，過程的特性與變量t無關(guān)，故由式 得到因為?(t)是高斯過程，所以， ?c(t1)， ?s(t2)一定是高斯隨機變量，從而?c(t) 、 ?s(t)也是高斯過程。根據(jù)可知， ?c(t) 與?s(t)在? = 0處互不相關(guān)，又由于它們是高斯型的，因此?c(t) 與?s(t)也是統(tǒng)計獨立的。,,,,,2024/3/16,64,結(jié)論1若ξ(t)：均值為0

42、、方差為δ2、窄帶、平穩(wěn)、高斯隨機過程。則：（1）ξc(t)、ξs(t)同樣是平穩(wěn)高斯隨機過程；（2） E[ξ(t)]=E[ξc(t)]=E[ξs(t)]＝0－－均值相同(都為0)； （3）δξc2=δξs2=δξ2=δ2－－方差相同，同于ξ(t) ；（4）在同一時刻（即τ=0）上得到的ξc及ξs互相關(guān)函數(shù)為0，即ξc與ξs互不相關(guān)，或說統(tǒng)計獨立。,2024/3/16,65,3.5.2 aξ(t)、φξ(t)的統(tǒng)計特性,聯(lián)合

43、概率密度函數(shù) f (a? , ?? )根據(jù)概率論知識有由可以求得,,,,,2024/3/16,66,式中a? ? 0, ?? = (0 ~ 2π),,,2024/3/16,67,a?的一維概率密度函數(shù)利用邊際分布可見， a?服從瑞利(Rayleigh)分布。,,,2024/3/16,68,??的一維概率密度函數(shù)同樣利用邊際分布可見， ??服從均勻分布。,,2024/3/16,69,結(jié)論2若ξ(t)

44、：均值為0、方差為δ2、窄帶平穩(wěn)高斯隨機過程。則： （1）其包絡(luò)aξ(t)的一維pdf 呈瑞利分布；（2）其相位φξ(t)的一維pdf呈均勻分布；（3） aξ(t)與φξ(t)統(tǒng)計獨立。,2024/3/16,70,3.6 正弦信號加窄帶高斯噪聲3.6.1 合成信號表達式正弦信號加窄帶高斯噪聲后的合成信號可表示為：,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,其中：,---正弦載波:假定A、ωc為常數(shù);θ為隨機變量，其

45、一維pdf 均勻分布，即： f(θ)=1/(2π)， 0≤θ≤2π,---窄帶隨機過程: nc(t)---n(t)之同相分量； ns(t)---n(t)之正交分量。,2024/3/16,71,代入，整理：,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,其中：,2024/3/16,72,,3.6.2 統(tǒng)計特性（1）同相分量和正交分量的統(tǒng)計特性,結(jié)論1若：

46、n(t) 均值為0、方差為δ2、窄帶平穩(wěn)高斯隨機過程; θ給定。則：（1）zc(t)、zs(t)同樣是窄帶平穩(wěn)高斯隨機過程；（2）且δzc2=δzs2=δn2=δ2－－方差相同，同于n(t) ；（3）但：E[zc(t)]= E[zs(t)]=（4）在同一時刻（即τ=0）上得到的zc及zs互相關(guān)函數(shù)為0，即zc與zs互不相關(guān)，或說統(tǒng)計獨立。,2024/3/16,73,包絡(luò)的概率密度函數(shù) f (z)利用上一節(jié)的結(jié)果

47、，如果?值已給定，則zc、zs是相互獨立的高斯隨機變量，且有所以，在給定相位? 的條件下的zc和zs的聯(lián)合概率密度函數(shù)為,(2) 包絡(luò)和相位的統(tǒng)計特性,2024/3/16,74,利用與上一節(jié)分析a?和??相似的方法，根據(jù)zc，zs與z，?之間的隨機變量關(guān)系可以求得在給定相位? 的條件下的z與?的聯(lián)合概率密度函數(shù),,,,,,,2024/3/16,75,然后求給定條件下的邊際分布， 即,,,,,,,由于故有式中I0(x

48、) － 第一類零階修正貝塞爾函數(shù),,,,,2024/3/16,76,因此由上式可見，f (?, z)與?無關(guān)，故的包絡(luò)z的概率密度函數(shù)為－稱為廣義瑞利分布，又稱萊斯（Rice）分布。,,,,,2024/3/16,77,討論1）當信號很小時，即A ? 0時，即信號功率與噪聲功率的比值(A2/2?n2) ? 0，上式中(Az/?n2)很小，I0 (Az/?n2) ? 1，上式的萊斯分布退化為瑞利分布。2）當A2/2?

49、n2很大時，有這時上式近似為高斯分布，即,,,2024/3/16,78,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,圖3-5 正弦信號加窄帶高斯噪聲的包絡(luò)和相位分布,隨機相位分布與信道中的信噪比有關(guān)，不再是均勻分布了。當信噪比很小時，它接近于均勻分布。,相位的統(tǒng)計特性,2024/3/16,79,,3.7 高斯白噪聲和帶限噪聲3.7.1 白噪聲 1.定義：凡功率譜密度在整個頻域內(nèi)都是均勻分布的噪聲，稱為白噪聲。即： ●雙邊

50、譜密度： ●單邊譜密度：,其中：n0為常數(shù)，W/Hz。一般默認白噪聲為平穩(wěn)的。,2024/3/16,80,白噪聲的功率由于白噪聲的帶寬無限，其平均功率為無窮大，即或因此，真正“白”的噪聲是不存在的，它只是構(gòu)造的一種理想化的噪聲形式。 實際中，只要噪聲的功率譜均勻分布的頻率范圍遠遠大于通信系統(tǒng)的工作頻帶，我們就可以把它視為白噪聲。如果白噪聲取值的概率分布服從高斯分布，則稱之為高斯白噪聲。高斯白噪聲在任意兩個不

51、同時刻上的隨機變量之間，不僅是互不相關(guān)的，而且還是統(tǒng)計獨立的。,,,2024/3/16,81,2.自相關(guān)函數(shù)據(jù)：功率信號的功率譜密度與其自相關(guān)函數(shù)互為傅氏變換對。,,,圖3-6 白噪聲的功率譜密度與自相關(guān)函數(shù),結(jié)論：對白噪聲而言，只有當τ=0時（同一時刻）才相關(guān)，而在τ≠0的任何兩個時刻上的隨機變量，皆不相關(guān)。問：高斯白噪聲？,2024/3/16,82,3.7.2 帶限白噪聲1.低通白噪聲 白噪聲經(jīng)理想低通濾波器| f |? 后

52、而形成的噪聲，被稱為低通白噪聲，即其功率譜密度為：,由上式可見，白噪聲的功率譜密度被限制在| f | ? 內(nèi)，通常把這樣的噪聲也稱為帶限白噪聲。,2024/3/16,83,自相關(guān)函數(shù),N---噪聲平均功率，取決于n 0 fH --Pn(ω)的面積。,2024/3/16,84,結(jié)論：按抽樣定理對帶限白噪聲抽樣的話，各抽樣值是互不相關(guān)的隨機變量(各抽樣點處的隨機變量是互不相關(guān)的)。問：窄帶、高斯、白噪聲的含義。,2024/3/16,

53、85,2.帶通白噪聲 白噪聲經(jīng)理想帶通濾波器后而形成的噪聲，被稱為低通白噪聲，即其功率譜密度為：,式中 fc － 中心頻率，B － 通帶寬度則其輸出噪聲的功率譜密度為,2024/3/16,86,自相關(guān)函數(shù),2024/3/16,87,2024/3/16,88,3.窄帶高斯白噪聲通常，帶通濾波器的 B << fc ，因此稱窄帶濾波器，相應(yīng)地把帶通白高斯噪聲稱為窄帶高斯白噪聲。窄帶高斯白噪聲的表達式和統(tǒng)計特