應用隨機過程

1、應 用 隨 機 過 程李育強 姚強2020年 9 月1前 言“隨機過程” 以介紹若干研究復雜隨機現(xiàn)象的理論、方法與應用為主要內(nèi)容, 長期以來 作為專業(yè)課程和研究類課程在高校若干專業(yè)的高年級或研究生階段開設. 然而, 隨著社會與 科技的發(fā)展, 越來越多的學科意識到該課程的重要性, 開設該課程的專業(yè)越來越多, 開設的時 間也被安排到大學二、三年級. 在這種背景下, 精選教學內(nèi)容使其在保留課程特色與精華的 同時降低學習門檻成為該課程教學中需要

2、面對的最大挑戰(zhàn). 這本《應用隨機過程》就是編者 在多年的教學反思與實踐基礎上, 參考國內(nèi)外有關著作編著而成的.本書設定讀者只具有數(shù)學分析(高等數(shù)學), 高等代數(shù)(線性代數(shù))和初等概率論(概率論與 數(shù)理統(tǒng)計)等大學一、二年級的數(shù)學基礎. 內(nèi)容著重于隨機過程的基本理論和基本方法的介 紹, 注重實際應用. 為了保證本書的獨立性與理論體系的相對完整性，也為了便于讀者自學 使用, 本書在內(nèi)容上做了如下的編排.首先, 注重夯實與強化讀者已有的數(shù)學基

3、礎. 本書第一章簡要地回顧了初等概率論的基 本內(nèi)容, 并補充介紹了其中的條件數(shù)學期望, 分布函數(shù)的特征刻畫以及隨機變量的收斂等重、 難點內(nèi)容. 我們還通過第一章的練習幫助讀者回顧一些學習隨機過程所需的數(shù)學分析(高等 數(shù)學)和高等代數(shù)知識.其次, 注重與初等概率論課程的銜接. 我們在導入隨機過程時從初等概率論涉及的隨機 變量序列出發(fā), 以貝努利過程(獨立同分布的貝努利隨機變量序列), 隨機游動(獨立同分布隨 機變量的部分和序列), 泊松過

4、程(獨立同指數(shù)分布隨機變量的部分和序列的逆)等具體模型作 為本書的第二章內(nèi)容, 幫助讀者初步認識和了解隨機過程所討論的問題、所涉及的思想和方 法以及相關的應用.再次, 注重降低閱讀本書的數(shù)學門檻. 讀者只需在熟練掌握高等數(shù)學、線性代數(shù)以及初 等概率論知識基礎上都能順利閱讀與理解本書介紹的全部內(nèi)容. 為了理論體系的相對完整, 我們對那些通常以測度論或?qū)嵶兒瘮?shù)等大學高年級數(shù)學知識為基礎展開、但對理解隨機過 程理論和方法所必須的概念和結論都做

5、了相應地改寫和注釋.最后, 注重示例說明與學習效果檢驗. 本書配有各類示例超過120個, 幫助讀者理解相關 的概念、理論與方法. 書中許多例子具有一定的應用背景, 有助于讀者理解如何應用隨機過 程解決實際問題. 同時, 為了便于讀者檢驗自己的學習效果, 本書包含練習超過200 道并將練 習分節(jié)設置. 根據(jù)練習的難易程度, 我們通過加*號對練習加以區(qū)分, 讀者可以通過完成每章 節(jié)后的練習加深對課程內(nèi)容的理解(帶*的內(nèi)容與練習, 初學者可略

6、過).全書共七章, 除前面提到的第一、第二章外, 在第三章我們系統(tǒng)地介紹了馬氏鏈的狀態(tài) 分類、平穩(wěn)分布、轉(zhuǎn)移概率的極限理論和遍歷性定理. 在第四章我們結合可逆馬氏鏈、隱馬 氏鏈、分枝過程等隨機模型進一步展示了馬氏鏈在各個領域方面的應用. 第五章介紹了更新 過程的有關概念、方法、極限理論及其應用. 第六章圍繞布朗運動, 我們主要介紹了它的定 義與分布、極值與首達時的分布以及布朗運動的簡單應用. 第七章簡要地介紹了離散時間鞅 的相關理論,

7、包括停時定理、鞅的不等式以及鞅的極限定理等內(nèi)容. 考慮到平穩(wěn)過程是時間 序列的理論基礎, 本書不包含這個專題. 本書第四、五、六、七章之間, 除個別例子與練習 外, 內(nèi)容相對獨立.依據(jù)編者的經(jīng)驗, 全部講完本書內(nèi)容需要54-72學時. 具體章節(jié)學時(含習題課)安排如下: 第一章6-10學時; 第二章8-10學時; 第三章10-14學時; 第四章6-8學時; 第五章8-10學時; 第六 章8-10學時; 第七章8-10學時. 對于更短學時

8、的教學, 編者建議在完整介紹前三章基礎上, 根 據(jù)培養(yǎng)目標, 有選擇地介紹后面四章中的部分章節(jié)內(nèi)容.全書內(nèi)容由李育強執(zhí)筆, 姚強負責其中部分練習的補充、驗算以及全書最后的統(tǒng)一與 校、審等工作. 本書初稿在華東師范大學統(tǒng)計學院的統(tǒng)計學與金融工程專業(yè)反復試用過多次, 收到許多同學的反饋意見. 在此對這些專業(yè)的同學表示衷心的感謝.本書是華東師范大學2019校精品教材建設專項的成果. 在教材編寫過程中得到華東師范 大學教務處、經(jīng)濟與管理學部以及