向量數(shù)乘運(yùn)算及其幾何意義

1、,,向量數(shù)乘運(yùn)算及幾何意義,,,,,,,,=,A,B,C,D,,,,,,,,,(- ),(- ),(- ),-,A,B,C,D,,思考1：如圖，設(shè)點(diǎn)M為△ABC的重心，D為BC的中點(diǎn)，那么向量 與 ， 與 分別有什么關(guān)系？,對(duì)于任意一個(gè)三角形，三角形的三條高的交點(diǎn)叫做垂心，三角形的三條中線的交點(diǎn)所為重心，三角形的三條角平分線的交點(diǎn)叫內(nèi)心，三角形的三條中垂線的交點(diǎn)叫外心,思考1：如圖，設(shè)

2、點(diǎn)M為△ABC的重心，D為BC的中點(diǎn)，那么向量 與 ， 與 分別有什么關(guān)系？,一、向量的數(shù)乘運(yùn)算的定義：,注意：比較兩個(gè)向量時(shí),主要看它們的長(zhǎng)度和方向,,,,,(1) 根據(jù)定義，求作向量3(2a)和(6a) (a為非零向量)，并進(jìn)行比較。,(2) 已知向量 a,b，求作向量2(a+b)和2a+2b，并進(jìn)行比較。,,,,,,,,=,,,,,,,,,,,,,,,二、數(shù)乘向量的幾何意義,數(shù)乘向量的幾何意義就是把向

3、量 沿 的方向或反方向放大或縮短.若 ,當(dāng) 沿 的方向放大了 倍.當(dāng) 沿 的方向縮短了 倍.當(dāng) ,沿 的反方向放大了 倍.當(dāng) 沿 的反方向縮短了 倍.由其幾何意義可以看出用數(shù)乘向量能解決幾何中的相似問(wèn)題.,,三、向量的數(shù)乘運(yùn)算滿足如下運(yùn)算律：,向量的加、減、數(shù)乘運(yùn)算統(tǒng)稱為向量的線性運(yùn)算,例1：計(jì)算下列各式,,,思考2：若存在實(shí)數(shù)λ，使

4、 ，則A、B、C三點(diǎn)的位置關(guān)系如何？,例2.如圖：已知 ， ，試判斷 與 是否共線．,∴ 與 共線．,解：,向量 與非零向量 共線 有且僅有一個(gè)實(shí)數(shù) ，使得 ．,三、定理,例3： 如圖，在平行四邊形ABCD中，點(diǎn)M是AB中點(diǎn)，點(diǎn)N在線段BD上，且有BN= BD，求證：M、N、C

5、三點(diǎn)共線。,基礎(chǔ)知識(shí)反饋,C.,A.,B.,,(2).,設(shè) 是非零向量, 是非零實(shí)數(shù),下列結(jié)論正確的是( ).,D.,(1).,下列四個(gè)說(shuō)法正確的個(gè)數(shù)有( ).,B.2個(gè),A.1個(gè),C.3個(gè),D.4個(gè),?,?,?,?,B,C,,例4:若其中 , 是已知向量,求 ，,分析:此題可把已知條件看作向量的方程,通過(guò)解方程組獲得,解：記 　①， ②,3②

6、得 ③,①-③得,例5,如圖所示，已知　　 　說(shuō)明向量 與 的關(guān)系．,解： 因?yàn)?所以， 與 共線同方向，長(zhǎng)度是 的3倍,問(wèn)題: 如果把3都換成k( 不為0),結(jié)論會(huì)有什么變化?,反饋演練：,1. 在 中,設(shè)D為邊ＢＣ的中點(diǎn),求證:,,解：因?yàn)?（２）,所以，所證等式成立,則四邊形ABEC是平行四

7、邊形,D是BC中點(diǎn)，則D也是AE中點(diǎn).,由向量加法平行四邊形法則有,解2:,,例6:,如圖，在 中,延長(zhǎng)BA到C,使AC=BA,在OB上取點(diǎn)D,使BD= OB.DC與OA交于E,設(shè) 請(qǐng)用 .,,分析: 解題的關(guān)鍵是建立 的聯(lián)系，為此需要利用向量的加、減法數(shù)乘運(yùn)算。,解：因?yàn)锳是BC的中點(diǎn)，所以,,練習(xí),,（ C ）,分析:由