數(shù)列分組求和法_第1頁
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1、分組求和法典題導(dǎo)入[例1](2011山東高考)等比數(shù)列an中,a1,a2,a3分別是下表第一、二、三行中的某一個(gè)數(shù),且a1,a2,a3中的任何兩個(gè)數(shù)不在下表的同一列.第一列第二列第三列第一行3210第二行6414第三行9818(1)求數(shù)列an的通項(xiàng)公式;(2)若數(shù)列bn滿足:bn=an+(-1)nlnan,求數(shù)列bn的前2n項(xiàng)和S2n.[自主解答](1)當(dāng)a1=3時(shí),不合題意;當(dāng)a1=2時(shí),當(dāng)且僅當(dāng)a2=6,a3=18時(shí),符合題意;當(dāng)a

2、1=10時(shí),不合題意因此a1=2,a2=6,a3=18.所以公比q=3,故an=23n-1.(2)因?yàn)閎n=an+(-1)nlnan=23n-1+(-1)nln(23n-1)=23n-1+(-1)n(ln2-ln3)+(-1)nnln3,所以S2n=b1+b2+…+b2n=2(1+3+…+32n-1)+[-1+1-1+…+(-1)2n](ln2-ln3)+[-1+2-3+…+(-1)2n2n]ln3=2+nln3=32n+nln3-1.

3、1-32n1-3由題悟法分組轉(zhuǎn)化法求和的常見類型(1)若an=bncn,且bn,cn為等差或等比數(shù)列,可采用分組求和法求an的前n項(xiàng)和(2)通項(xiàng)公式為an=Err!Err!的數(shù)列,其中數(shù)列bn,cn是等比數(shù)列或等差數(shù)列,可采用分組求和法求和以題試法1(2013威海模擬)已知數(shù)列xn的首項(xiàng)x1=3,通項(xiàng)xn=2np+nq(n∈N,p,q為常數(shù)),且x1,x4,x5成等差數(shù)列求:(1)p,q的值;(2)數(shù)列xn前n項(xiàng)和Sn的公式(1)求an

4、的通項(xiàng)公式;(2)設(shè)bn是首項(xiàng)為1,公差為2的等差數(shù)列,求數(shù)列an+bn的前n項(xiàng)和Sn.解析(1)設(shè)q為等比數(shù)列an的公比,則由a1=2,a3=a2+4得2q2=2q+4,即q2-q-2=0,解得q=2或q=-1(舍去),因此q=2.所以an的通項(xiàng)為an=22n-1=2n(n∈N)(2)Sn=+n1+2=2n+1+n2-2.2?1-2n?1-2n?n-1?25.求和Sn=1+++…+.(1+12)(1+12+14)(1+12+14+…+

5、12n-1)解和式中第k項(xiàng)為ak=1+++…+==2.121412k-11-(12)k1-12(1-12k)∴Sn=2[(1-12)+(1-122)+…+(1-12n)]=2[(1+1+…+1-(++…+)]?n個(gè)1212212n=2=+2n-2.(n-12(1-12n)1-12)12n-16.數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn,a1=1,a2=2,an+2-an=1+(-1)n(n∈N),則S100=________.答案2600解析由an+2

6、-an=1+(-1)n知a2k+2-a2k=2,a2k+1-a2k-1=0,∴a1=a3=a5=…=a2n-1=1,數(shù)列a2k是等差數(shù)列,a2k=2k.∴S100=(a1+a3+a5+…+a99)+(a2+a4+a6+…+a100)=50+(2+4+6+…+100)=50+=2600.?100+2?5027.求和:(1)Sn=++++…+;32942586516n2n+12n(2)Sn=2+2+…+2.(x+1x)(x2+1x2)(xn

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