數(shù)學(xué)史第1章數(shù)學(xué)起源與早期發(fā)展

1、數(shù) 學(xué) 史,范永順,緒論,數(shù)學(xué)史主要研究數(shù)學(xué)科學(xué)發(fā)生發(fā)展及其規(guī)律。,學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)史的意義：,1、數(shù)學(xué)是一門積累性很強(qiáng)的學(xué)科，不了解數(shù)學(xué)史就不能了解數(shù)學(xué)學(xué)科。 古代文明中形成的十進(jìn)位值制記數(shù)法和四則運(yùn)算法則，我們今天仍在使用，諸如哥德巴赫猜想等歷史上的難題，長期以來一直是現(xiàn)代數(shù)論領(lǐng)域中的研究熱點(diǎn)。 著名的數(shù)學(xué)大師都具有深厚的數(shù)學(xué)史修養(yǎng)或者兼及數(shù)學(xué)史研究，并善于從歷史素材中汲取養(yǎng)分，做到古為今用，推陳出新 。,,2、通過學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)史

2、可以了解數(shù)學(xué)知識的來龍去脈，有利于教學(xué)。 活躍課堂氣氛，增加學(xué)習(xí)興趣，提高教學(xué)效果．如在講無窮遞縮等比數(shù)列的和時(shí)，可以從“芝諾悖論”講起。 2011山東理13 :執(zhí)行右圖所示的程序框圖，輸入l=2，m=3，n=5，則輸出的y的值是,,,3、通過學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)史可以獲得人文科學(xué)的修養(yǎng)。 通過數(shù)學(xué)史學(xué)習(xí)，可以使數(shù)學(xué)專業(yè)的學(xué)生在接受數(shù)學(xué)專業(yè)訓(xùn)練的同時(shí)，獲得人文科學(xué)方面的修養(yǎng)，文科或其它專業(yè)的學(xué)生通過數(shù)學(xué)史的學(xué)習(xí)可以了解數(shù)學(xué)概貌，獲得

3、數(shù)理方面的修養(yǎng)。而歷史上數(shù)學(xué)家的業(yè)績與品德也會在人格培養(yǎng)上發(fā)揮十分重要的作用。,,4、學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)史料有利于掌握數(shù)學(xué)思想。 數(shù)學(xué)中有許多數(shù)學(xué)思想．如，當(dāng)美索不達(dá)米亞的牧人第一次使用小石子來表示羊只時(shí)，就意味著對應(yīng)思想的產(chǎn)生；而當(dāng)他們第一次試圖使用什么記號將羊只的總數(shù)記錄下來時(shí)，就意味著符號思想的出現(xiàn),,學(xué)習(xí)要求 本課程開卷考試和課程論文結(jié)合的考核方式。 要求在課堂上簡要記筆記。參考書目：李文林.數(shù)學(xué)史概論梁宗巨.世界

4、數(shù)學(xué)史通論李迪.中國數(shù)學(xué)史簡編(美)H.伊夫斯.數(shù)學(xué)史上的歷程碑,,網(wǎng)站: http://mkd.lyge.cn/zhanzheng/a04/000.htmhttp://mkd.lyge.cn/ 糜克定的科學(xué)園——趣味數(shù)學(xué)、數(shù)學(xué)樂園糜克定的科學(xué)園——世界著名數(shù)學(xué)家傳記,1、數(shù)學(xué)的萌芽,數(shù)學(xué)起源與早期發(fā)展,數(shù)的概念的形成大約是在30萬年以前,記數(shù)是伴隨著計(jì)數(shù)的發(fā)展而發(fā)展的,● 手指記數(shù),亞里士多德：采用十進(jìn)制是因?yàn)槎鄶?shù)人生來具有

5、十個(gè)手指,● 石子記數(shù),● 結(jié)繩記數(shù),● 刻痕記數(shù),《周易·系辭下》：上古結(jié)繩而治，后世圣人，易之以書契。,,基普（印加）,幼狼脛骨（捷克）,大約五千年前，出現(xiàn)書寫記數(shù)及相應(yīng)的記數(shù)系統(tǒng)。,幾種古老文明的早期記數(shù)系統(tǒng)：,,,,◆巴比倫數(shù)字：六十進(jìn)制◆瑪雅數(shù)字：二十進(jìn)制,◆其余數(shù)字：十進(jìn)制,記數(shù)系統(tǒng)的出現(xiàn)使數(shù)與數(shù)之間的運(yùn)算成為可能,,最初的幾何知識從人們對形的直覺中萌發(fā)出來。這組照片顯示了早期人類不止是對圓、三角形、正方形等一系

6、列幾何形式的認(rèn)識，而且還有對全等、相似、對稱等幾何性質(zhì)的應(yīng)用。,在不同地區(qū)，幾何學(xué)的來源不盡相同：,● 古埃及： 土地的丈量,● 古印度：宗教實(shí)踐,● 古代中國：天文觀測,興起于埃及、美索不達(dá)米亞、中國和印度等地域的古代文明稱為“河谷文明”。早期數(shù)學(xué)，就是在尼羅河、底格里斯河與幼發(fā)拉底河、黃河與長江、印度河與恒河等河谷地帶首先發(fā)展起來的。,1.1 埃及數(shù)學(xué),埃及文明以古老的象形文字和巨大的金字塔為象征。,埃及象形文字產(chǎn)生于公元前350

7、0年左右，約公元前2500年被簡化為一種更易書寫的“僧侶文”，后又發(fā)展成所謂“通俗文”。長期以來，這些神秘的文字始終是不解之謎。,吉薩金字塔(公元前2600年),1799年，拿破倫遠(yuǎn)征軍的士兵在埃及古港口羅賽塔發(fā)現(xiàn)一塊石碑，碑上刻有用三種文字----希臘文、埃及僧侶文和象形文記述的同一銘文，才使精通希臘文的學(xué)者找到了解讀埃及古文字的鑰匙。,古埃及人在一種用紙莎草壓制成的草片上書寫，這些紙草書有的幸存至今。我們關(guān)于古埃及數(shù)學(xué)的知識，主要就

8、是依據(jù)了兩部紙草書----萊茵德紙草書和莫斯科紙草書。,萊茵德紙草書最初發(fā)現(xiàn)于埃及底比斯古都廢墟，1858年為蘇格蘭收藏家萊茵德(H.Rhind)購得，因名。該紙草書現(xiàn)存?zhèn)惗卮笥⒉┪镳^,見圖.,有時(shí)人們也稱這部紙草書為阿姆士紙草書，他在公元前1650年左右用僧侶文抄錄了這部紙草書，而根據(jù)阿姆士所加的前言可知，他抄錄的是一部已經(jīng)流傳了兩個(gè)多世紀(jì)的更古老的著作，其中涉及的數(shù)學(xué)知識一部分可能得傳于英霍特普(Imhotep)，此人是法老卓塞爾的

9、御醫(yī)，同時(shí)也是一位傳奇式的建筑師，曾督造過這位法老的金字塔。,●莫斯科紙草書又叫戈列尼雪夫紙草書，1893年由俄國貴族戈列尼雪夫在埃及購得，現(xiàn)藏莫斯科普希金精細(xì)藝術(shù)博物館。據(jù)研究，這部紙草書是出自第十二王朝一位佚名作者的手筆（約公元前1890年），也是用僧侶文寫成。,這兩部紙草書實(shí)際上都是各種類型的數(shù)學(xué)問題集。,這種記數(shù)制以不同的特殊記號分別表示10的前六次冪：簡單的一道豎線表示1，倒置的窗或骨（∩）表示10，一根套索表示100，一朵蓮

10、花表示1000，彎曲的手指表示10 000，一條江鱈魚表示100 000，而跪著的人像（可能指永恒之神）則表示1 000 000.其他數(shù)目是通過這些數(shù)目的簡單累積來表示的，如數(shù)12 345則被記作 100 1 000 10 000 100 000 1000 000 12345,,在兩部紙草書中，象形文字被簡化為僧侶文數(shù)字:,28在象形文字中被表示為 ,而在僧侶文中被寫成

11、 ，值得注意的是這里把代表較小數(shù)字的8（記二個(gè)4）的符號（=）置于左邊而不是右邊。,隨著青銅文化的崛起，分?jǐn)?shù)概念與分?jǐn)?shù)記號應(yīng)運(yùn)而生。 埃及象形文字用一種特殊的記號來表示單位分?jǐn)?shù)（即分子為一的分?jǐn)?shù)）：在整數(shù)上方畫一個(gè)長橢圓； 紙草書中采用的僧侶文，則用一點(diǎn)來代替長橢圓號。在多位數(shù)的情形，則點(diǎn)號置于最右邊的數(shù)碼之上。,例如 象形文字 僧侶文字,單位分?jǐn)?shù)的廣泛使用成為埃及數(shù)學(xué)一個(gè)重要而有趣的特色

12、。埃及人將所有的真分?jǐn)?shù)都表示成一些單位分?jǐn)?shù)的和。為了使這種分解過程做起來更為容易，萊茵德紙草書在阿姆士的前言之后給出了一張形如 2/k（k 為從5到101的奇數(shù)）的分?jǐn)?shù)分解為單位分?jǐn)?shù)之和的表。利用這張表，可以把例如7/29這樣的分?jǐn)?shù)表成單位分?jǐn)?shù)之和：,埃及人最基本的算術(shù)運(yùn)算是加法。乘法運(yùn)算是通過逐次加倍的程序來實(shí)現(xiàn)的。如69×19是這樣來進(jìn)行的：將69加倍到138，又將這個(gè)結(jié)果加倍到276，再加倍到552，再加倍到1104(此

13、即69的16倍)。因?yàn)?9=16+2+1，所以69×19的答數(shù)應(yīng)為1104+138+69=1311。,紙草書中有些問題可以被歸之為我們今天所說的代數(shù)學(xué)范疇，它們相當(dāng)于求解形如 或 的一次方程。,埃及人稱未知數(shù)為“堆”(aha,讀作“何”)。如萊茵德紙草書第24題：已知“堆”與七分之一“堆”相加為19，求“堆”的值。,紙草書作者所用的解

14、法實(shí)質(zhì)是一種算術(shù)方法，即現(xiàn)在所謂的“假位法”： 先假設(shè)一個(gè)特殊的數(shù)作為“堆”值（多半是假值），將其代入等號左邊去運(yùn)算，然后比較得數(shù)與應(yīng)得結(jié)果，再通過比例方法算出正確答數(shù)。,在上例中，數(shù)7作為未知數(shù) 的試驗(yàn)值，于是 ，而應(yīng)得結(jié)果是 ，這兩個(gè)結(jié)果之比為 等于 ，將7乘以（ ）即得正確的

15、 “堆”值為 。,19,埃及幾何學(xué)是尼羅河的贈(zèng)禮。古希臘歷史學(xué)家希羅多德在公元5世紀(jì)曾訪問考察過埃及，并在其著作《歷史》一書中寫道： 西索斯特里斯……在埃及居民中進(jìn)行了一次土地劃分?！偃绾铀疀_毀了一個(gè)人所得的任何一部分土地，國王就會派人去調(diào)查，并通過測量來確定損失地段的確切面積?！艺J(rèn)為，正是由于這類活動(dòng)，埃及人首先懂得了幾何學(xué)，后來又把它傳給了希臘人。,現(xiàn)存的紙草書中可以找到正方形

16、、矩形、等腰梯形等圖形面積的正確公式，例如萊茵德紙草書中的第52題，通過將等腰梯形轉(zhuǎn)化為矩形的圖形變換，得出了等腰梯形面積的正確公式。,埃及人對圓面積給出了很好的近似。萊茵德紙草書第50題假設(shè)一直徑為9的圓形土地，其面積等于邊長為8的正方形面積。如果與現(xiàn)代公式相比較，就相當(dāng)于取值為 。,埃及人在體積計(jì)算中達(dá)到了很高的水平，代表性例子是莫斯科紙草書中的14題。這道題給出了計(jì)算平截頭方錐體積的公式

17、，用現(xiàn)代符號表示相當(dāng)于：,,這個(gè)公式是精確的，并且具有對稱的形式。,埃及數(shù)學(xué)是實(shí)用數(shù)學(xué),但也有個(gè)別例外，例如萊茵德紙草書第79題： 7座房，49只貓，343只老鼠，2401顆麥穗，16807赫卡特。 有人認(rèn)為這是一個(gè)數(shù)謎：7座房子，每座房里養(yǎng)7只貓，每只貓抓7只老鼠，每只老鼠吃7顆麥穗，每顆麥穗可產(chǎn)7赫卡特糧食，問房子、貓、老鼠、麥穗和糧食各數(shù)值總和。,埃及文明在歷代王朝的更迭中表現(xiàn)出一種靜止的特性。萊茵德紙草書

18、和莫斯科紙草書中的數(shù)學(xué)，在數(shù)千年漫長的歲月中很少變化。加法運(yùn)算和單位分?jǐn)?shù)的計(jì)算顯得笨重繁復(fù)。古埃及人的面積、體積算法對精確公式與近似公式往往不作明確區(qū)分，這又使它們的實(shí)用幾何帶上了粗糙的色彩。這一切都阻礙埃及數(shù)學(xué)向更高的水平發(fā)展。公元前4世紀(jì)希臘人征服埃及之后，這一古老的數(shù)學(xué)文化完全被蒸蒸日上的希臘數(shù)學(xué)所取代。,1.2古巴比倫數(shù)學(xué),底格里斯河與幼發(fā)拉底河所灌溉的美索不達(dá)米亞平原，也是人類文明的發(fā)祥地之一。早在公元前四千年，蘇美爾人就在這

19、里建立起城邦國家并創(chuàng)造了文字。,兩河流域的居民用尖蘆管在濕泥板上刻寫楔形文字，然后將泥板曬干或烘干。迄今已有約50萬塊泥板文書出土。對楔形文字的釋讀比埃及文字要晚，關(guān)鍵的一步是在19世紀(jì)70年代邁出的，當(dāng)時(shí)發(fā)現(xiàn)的貝希斯敦石崖，上面用三種文字（波斯文、埃及文和巴比倫文）記載著波斯王大流士一世的戰(zhàn)功。對波斯文的知識使人們得以揭開古巴比倫文字的奧秘。,1.2古巴比倫數(shù)學(xué),1.2古巴比倫數(shù)學(xué),,,,泥版楔形文

20、 　 普林頓322,現(xiàn)存泥板文書中大約有300塊是數(shù)學(xué)文獻(xiàn)。對這些泥板文書的研究揭示了一個(gè)遠(yuǎn)比古埃及人先進(jìn)的美索不達(dá)米亞早期數(shù)學(xué)文化。,美索不達(dá)米亞人創(chuàng)造了一套以60進(jìn)制為主的楔形文記數(shù)系統(tǒng)。這種記數(shù)制對60以內(nèi)的整數(shù)采用簡單十進(jìn)累記法，例如59記 。 對于大于59的數(shù)，則采用六十進(jìn)制的位制記法。同一個(gè)記號，根據(jù)它在數(shù)字表示中的相對位置而賦予不同的值，這種位值原理是美索不達(dá)米亞數(shù)學(xué)的一項(xiàng)

21、突出成就。,例如 這一寫法中，右邊的 表示兩個(gè)單位；中間的 表示基數(shù)（60）的2倍；而左邊的 則表示基數(shù)（60）的平方的2倍，因此這個(gè)數(shù)字是指 ，用十進(jìn)制寫出來就是7322。,這種位值制是不徹底的，因?yàn)槠渲袥]有零號。這樣，美索不達(dá)米亞人表示122和7202的形式是相同的，人們只能根據(jù)上、下文來消除二義性。不過在公元前3世紀(jì)

22、的泥板文書中開始出現(xiàn)一個(gè)專門的記號，用來表示沒有數(shù)字的空位。這記號是由兩個(gè)斜置的小楔形組成。有了這個(gè)空位記號，人們就很容易將數(shù)與 區(qū)分開來了。,美索不達(dá)米亞人的記數(shù)制遠(yuǎn)遠(yuǎn)勝于埃及象形數(shù)字之處，還在于他們巧妙地將位值原理推廣應(yīng)用到整數(shù)以外的分?jǐn)?shù)。美索不達(dá)米亞人對分?jǐn)?shù)能夠跟對整數(shù)一樣運(yùn)算自如。,美索不達(dá)米亞人長于計(jì)算，這不只是與他們優(yōu)良的記數(shù)系統(tǒng)有關(guān)。美索不達(dá)米亞的學(xué)者還表現(xiàn)出發(fā)展程序化算法的熟練技巧。他們創(chuàng)

23、造了許多成熟的算法，開方根計(jì)算就是有代表性的例子之一。這種開方程序既簡單又有效：設(shè) 是所求平方根，并設(shè) 是這根的首次近似；由方程 求出第二次近似 ，若 偏小，則 偏大，反之亦然。取算術(shù)平均值 為下一步近似，因?yàn)?總是偏大，再下一步近似 必偏小，取算術(shù)平均值 將得到更好的結(jié)果

24、。這一程序?qū)嶋H上可以無限繼續(xù)下去。耶魯大學(xué)收藏的一塊古巴比倫泥板（編號7289），其上載有 的近似值，結(jié)果準(zhǔn)確到六十進(jìn)制三位小數(shù)，用現(xiàn)代符號寫出來是1.414 213，是相當(dāng)精確的逼近。,美索不達(dá)米亞人還經(jīng)常利用各種數(shù)表來進(jìn)行計(jì)算，在現(xiàn)有的300多塊數(shù)學(xué)泥板文書中，就有200多塊是數(shù)學(xué)用表，包括乘法表、倒數(shù)表、平方表、立方表、平方根表、立方根表，甚至還有指數(shù)（對數(shù)）表。,美索不達(dá)米亞數(shù)學(xué)在代數(shù)領(lǐng)域內(nèi)達(dá)到了相當(dāng)?shù)母叨取碜怨?/p>

25、巴比倫時(shí)代的一些泥板文書則表明，已能卓有成效地處理相當(dāng)一般的三項(xiàng)二次方程。,例如，耶魯大學(xué)收藏的一塊泥板文書中有這樣的問題： 已知依幾布姆(igibum)比依古姆(igum)大7。問依幾布姆和依古姆各為多少？這里igibum和igum是古巴比倫數(shù)學(xué)文獻(xiàn)中表示互為倒數(shù)的兩個(gè)數(shù)的專有術(shù)語，在十進(jìn)制中則相當(dāng)于乘積為六十之冪的兩個(gè)數(shù)。若以x表示igibum，y表示igum，則該題相當(dāng)于求解方程組,這又相當(dāng)于先求解一個(gè)一元二次方

26、程：題中給出的算法相當(dāng)于:,也就是今天熟知的二次方程 的求根公式：,由于正系數(shù)二次方程沒有正根，因此在古代與中世紀(jì)，甚至在近代早期，二次方程一直是被分成以下三類（其中 ）：,,,來研究。,古埃及人沒有留下解三次方程的紀(jì)錄，美索不達(dá)米亞泥板文書中卻不乏三次方程的例子。像 這樣的純?nèi)畏匠蹋饕峭ㄟ^查立方表或立方根表來求解。形如

27、 的混合三次方程也是籍現(xiàn)成的表來求解。巴比倫人編有專門的 的數(shù)值表（其中 為整數(shù)）。,美索不達(dá)米亞幾何也是與測量等實(shí)際問題相聯(lián)系的數(shù)值計(jì)算。美索不達(dá)米亞學(xué)者已掌握三角形、梯形等平面圖形和棱柱、平截頭方錐等一些立體圖形體積的公式。,在美索不達(dá)米亞河谷地區(qū)，圓面積通常被取作半徑平方的三倍，也就是說取圓周率 為3，其精確度自然在埃及人之下。但也有學(xué)者采用 作為 的近似

28、值，與埃及人至少是旗鼓相當(dāng)。,有一些泥板文書上的數(shù)學(xué)問題說明美索不達(dá)米亞數(shù)學(xué)除了實(shí)用的動(dòng)機(jī)外，有時(shí)也表現(xiàn)出理論興趣。這方面最典型的例子是一塊叫“普林頓322”的泥板文書。該泥板文書最初來源不明因曾被一位叫普林頓(G.A.Plimpton)的人收藏而得名（322是普林頓的收藏編號），現(xiàn)存美國哥倫比亞大學(xué)圖書館,如圖,,其年代當(dāng)在公元前1600年以前,,,,普林頓322實(shí)際上是一張表格，由4列15行六十進(jìn)制數(shù)字組成：,1945年，美籍德國學(xué)

29、者諾依格包爾首先揭示了普林頓322的數(shù)論意義。,根據(jù)諾依格包爾等人的研究，普林頓322數(shù)表與所謂“整勾股數(shù)”有關(guān)。滿足關(guān)系式 的一組整數(shù) 叫整勾股數(shù)，西方文獻(xiàn)中也成“畢達(dá)哥拉斯數(shù)”。,,,總的來說，古代美索不達(dá)米亞數(shù)學(xué)與埃及數(shù)學(xué)一樣主要是解決各類具體問題的實(shí)用知識，處于原始算法積累時(shí)期。幾何學(xué)作為一門獨(dú)立的學(xué)科還不存在。埃及紙草書和巴比倫泥板文書中匯集的各種幾何圖形