數(shù)學(xué)史之微積分的發(fā)展-1

1、微積分的創(chuàng)立,微積分的創(chuàng)立與解析幾何的發(fā)明一起，標志著文藝復(fù)興后歐洲近代數(shù)學(xué)的興起。,,解析幾何是代數(shù)與幾何相結(jié)合的產(chǎn)物，它將變量引進了數(shù)學(xué)，使運動與變化的定量表述成為可能，從而為微積分的創(chuàng)立搭起了舞臺。 微積分的思想萌芽，特別是積分學(xué)，部分可以追潮到古代。我們已經(jīng)知道，面積和體積的計算自古以來一直是數(shù)學(xué)家們感興趣的課題，在古代希措、中國和印度數(shù)學(xué)家們的著述中，不乏用無窮小過程計算特殊形狀的面積、體積和曲線長的例子。前面已

2、經(jīng)介紹過阿基米德、劉微和祖沖之父子等人的方法，他們的工作，確實是人們建立一般積分學(xué)的漫長努力的先驅(qū)。,,與積分學(xué)相比而言，微分學(xué)的起源則要晚得多。刺激微分學(xué)發(fā)展的主要科學(xué)問題是求曲線的切線、求瞬時變化率以及求函數(shù)的極大極小值等問題。 古希臘學(xué)者曾進行過作曲線切線的嘗試，如阿基米德《論螺線》中給出過確定螺線在給定點處的切線的方法；阿波羅尼奧斯《圓錐曲線論》中討論過圓錐曲線的切線，等等。但所有這些都是基于靜態(tài)的觀點,,古代與中世

3、紀中國學(xué)者在天文歷法研究中曾涉及到天體運動的不均勻性及有關(guān)的極大、極小值問題，如郭守敬《按時歷》中求“月離遲疾”(月亮運行的最快點和最慢點)、求月亮白赤道交點與黃赤道交點距離的極值(郭守敬甚至稱之為“極數(shù)”)等問題，但東方學(xué)者以慣用的數(shù)值手段(“招差術(shù)”，即有限差分計算)來處理，從而回避了連續(xù)變化率。 總之，在17世紀以前，真正意義上的微分學(xué)研究的例子可以說是很罕見的。,一、微積分的醞釀,近代微積分的醞釀，主要是在17世

4、紀上半葉這半個世紀。 為了理解這一醞釀的背景，我們首先來賂微回顧一下這一時期自然科學(xué)的一般形勢和天文、力學(xué)等領(lǐng)域發(fā)生的重大事件。 首先是1608年，荷蘭眼鏡制造商里帕席發(fā)明了望遠鏡，不久伽利略將他制成的第一架天文望遠鏡對準星空而作出了令世人驚奇不已的天文發(fā)現(xiàn)。望遠鏡的發(fā)明不僅引起了天文學(xué)的新高漲，而且推動了光學(xué)的研究。,,1619年，開普勒公布了他的最后一條行星運動定律。開普勒行星運動三大定律要意是： 1.行星運動

5、的軌道是橢圓，太陽位于該橢圓的一個焦點； 2.由太陽到行星的矢徑在相等的時間內(nèi)掃過的面積相等； 3.行星繞太陽公轉(zhuǎn)周期的平方，與其橢圓軌道的半長軸的立方成正比。 開普勒主要是通過觀測歸納出這三條定律從數(shù)學(xué)上推證開普勒的經(jīng)驗定律，成為當時自然科學(xué)的中心課題之一。,,1638年，伽利略的《關(guān)于兩門新科學(xué)的對話》出版。伽利略建立了自由落體定律、動量定律等，為動力學(xué)奠定了基礎(chǔ)；他認識到彈道的拋物線性質(zhì)，并斷言炮彈的最大射

6、程應(yīng)在發(fā)射角為45度時達到，等等。伽利略本人竭力倡導(dǎo)自然科學(xué)的數(shù)學(xué)化，他的著作激起了人們對他所確立的動力學(xué)概念與定律作精確的數(shù)學(xué)表述的巨大熱情。 凡此一切，標志著自文藝復(fù)興以來在資本主義生產(chǎn)力刺激下蓬勃發(fā)展的自然科學(xué)開始邁入綜合與突破的階段，而這種綜合與突破所面臨的數(shù)學(xué)困難，使微分學(xué)的基本問題空前地成為人們關(guān)注的焦點。,,當時，人們主要集中的焦點有：非勻速運動物體的速度與加速度使瞬時變化率問題的研究成為當務(wù)之急；望遠鏡的

7、光程設(shè)計需要確定透鏡曲面上任一點的法線，這又使求任意曲線的切線問題變得不可回避；確定炮彈的最大射程及尋求行星軌道的近日點與遠日點等涉及的函數(shù)極大值、極小值問題也亟待解決。 與此同時，行星沿軌道運動的路程、行星矢徑掃過的面積以及物體重心與引力的計算等又使積分學(xué)的基本問題——面積、體積、曲線長、重心和引力計算的興趣被重新激發(fā)起來。,,在17世紀上半葉，幾乎所有的科學(xué)大師都致力于尋求解決這些難題的新的數(shù)學(xué)工具，特別是描述運

8、動與變化的無限小算法，并且在相當短的時期內(nèi)，取得了迅速的進展。 代表性的工作有： 1、開普勒與旋轉(zhuǎn)體體積； 開普勒方法的要旨，是用無數(shù)個同維無限小元素之和來確定曲邊形的面積及旋轉(zhuǎn)體的體積。例如他認為球的體積是天數(shù)個小圓錐的體積的和，這些圓錐的頂點在球心，底面則是球面的一部分；他又把圓錐看成是極薄的圓盤之和，并由此計算出它的體積，然后進一步證明球的體積是半徑乘以球面面積的三分之一

9、。,,2、卡瓦列里不可分量原理 他在《用新方法促進的連續(xù)不可分量的幾何學(xué)》中發(fā)展了系統(tǒng)的不可分量方法。認為線是由無限多個點組成；面是由無限多條平行線段組成；立體則是由無限多個平行平面組成。他分別把這些元素叫做線、面和體的“不可分量”。 卡瓦列里利用這條原理計算出許多立體圖形的體積，他對積分學(xué)創(chuàng)立最重要的貢獻還在于在1639利用平固下的不可分量原理建立了等價于下列積分式子：,,3、笛卡兒的“圓法”

10、 笛卡兒的這種代數(shù)方法在推動微積分的早期發(fā)展方面有很大的影響，牛頓就是以笛卡兒圓法為起跑點而踏上研究微積分的道路的。 笛卡兒圓法在確定重根時會導(dǎo)致極繁復(fù)的代數(shù)計算，1658年荷蘭數(shù)學(xué)家胡德提出了一套構(gòu)造曲線切線的形式法則，稱為“朗德法則”。朗德法則為確定笛卡兒圓法所需的重根提供了機械的算法，可以完成求任何代數(shù)曲線的切線斜率時所要進行的計算。,,4、費馬求極大值和極小值方法

11、按費馬的方法。設(shè)函數(shù)f(x)在點a處取極值，費弓用“a+e”代替原來的未知量a，并使f(a+e)與f(a)逼近,即： f(a+e)～f(a) 這里所提到的“e”就是后來微積分學(xué)當中的“ ”,,5、巴羅的“微分三角形” 巴羅是牛頓的老師。是英國劍橋大學(xué)第一任“盧卡斯數(shù)學(xué)教授”，也是英國皇家學(xué)會的首批 會員。當巴羅發(fā)現(xiàn)和認識到牛頓的杰出才能時，便

12、于1669年辭去了盧卡斯教授的職位，舉薦自己的學(xué)生——當時才27歲的牛頓來擔任。巴羅讓賢，已成為科學(xué)史上的佳話。,,6、沃利斯的“無窮算術(shù)” 沃利斯另“一項重要的研究是計算四分之 一單位圓的面積，并由此得到 的無窮乘積表達式。并有以下猜想：,二、牛頓的“流數(shù)術(shù)”,牛頓于1661年入劍橋大學(xué)三一學(xué)院，受教于巴羅，同時鉆研伽利賂、開普勒、笛卡兒和沃利斯等人的著作。三一學(xué)院至今還保存著牛頓的讀書筆記，從這些筆

13、記可以看出，就數(shù)學(xué)思想的形成而言，笛卡兒的《幾何學(xué)》和沃利斯的《無窮算術(shù)》對他影響最深，正是這兩部著作引導(dǎo)牛頓走上了創(chuàng)立微積分之路1665年8月，劍橋大學(xué)因瘟疫流行而關(guān)閉，牛頓離校返鄉(xiāng)，隨后在家鄉(xiāng)躲避瘟疫的兩年，競成為牛頓科學(xué)生涯中的黃金歲月。制定微積分，發(fā)現(xiàn)萬有引力和顏色理論，……，可以說牛頓一生大多數(shù)科學(xué)創(chuàng)造的藍圖，都是在這兩年描繪的。,1、流數(shù)術(shù)的初建,牛頓對微積分問題的研究始于1664年秋，當時他反復(fù)閱讀笛卡兒《幾何學(xué)》，對笛

14、卡兒求切線的“圓法”發(fā)生興趣并試圖尋找更好的方法。 就在此時，牛頓首創(chuàng)了小o記號表示x的無限小且最終趨于零的增量。 1665年夏至1667年春，牛頓在家鄉(xiāng)躲避瘟疫期間，繼續(xù)探討微積分并取得了突破性進展。據(jù)他自述，1665年11月發(fā)明“正流數(shù)術(shù)”(微分法)，次年5月又建立了”反流數(shù)術(shù)”(積分法)。1666年 10月，牛頓將前兩年的研究成果整理成一篇總結(jié)性論文，此文現(xiàn)以《流數(shù)簡論》著稱，《流數(shù)簡論》是歷史上第一篇系統(tǒng)的微積分文

15、獻。,2、流數(shù)術(shù)的發(fā)展,《流數(shù)簡論》標志著微積分的誕生，但它在許多方面是不成熟的。牛頓于1667年春天回到劍橋，對自己的微積分發(fā)現(xiàn)未作宣揚。他在這一年10月當選為三一學(xué)院成員，次年又獲碩士學(xué)位，并不是因為他在微積分方面的工作，而是因為在望遠鏡制作方面的員獻。但從那時起直到1693年大約四分之一世紀的時間里，牛頓始終不渝努力改進、完善自己的微積分學(xué)說，先后寫成了三篇微積分論文，它們分別是： (1)1669年的《運用無限多項方程的分析》 ；

16、 (2) 1671年的《流數(shù)法與無窮級數(shù)》； (3) 1691年的《曲線求積術(shù)》。,,牛頓微積分學(xué)說最早的公開表述出現(xiàn)在1687年出版的力學(xué)名著《自然哲學(xué)的數(shù)學(xué)原理》之中。因此《原理》也成為數(shù)學(xué)史上的劃時代著作。 《原理》在創(chuàng)導(dǎo)首末比方法的同時保留了無限小瞬，這種做法常常被認為自相矛盾而引起爭議。實際上，在牛頓的時代，建立微積分嚴格基礎(chǔ)的時機尚不成熟，在這樣的條件下，牛頓在大膽創(chuàng)造新算法的同時，堅持對微積分基礎(chǔ)給出不同解釋，說明了他對微

17、積分基礎(chǔ)所存在的困難的深邃洞察和謹慎態(tài)度。,《原理》被愛因斯坦盛贊為“無比輝煌的演繹成就”。全書從三條基本的力學(xué)定律出發(fā)，運用微積分工具，嚴格地推導(dǎo)證明了包括開普勒行星運動三大定律、萬有引力定律等在內(nèi)的一系列結(jié)論，并且還將微積分應(yīng)用于流體運動、聲、光、潮汐、彗星乃至宇宙體系，充分顯示了這一新數(shù)學(xué)工具的威力。 《原理》中的微積分命題雖然都采用了幾何形式來敘述、證明，但正如牛頓本人后來解釋的那樣：發(fā)現(xiàn)原理中的絕大多救命題是依靠使用了“新分析

18、法”，然后再“綜合地證明”。事 實上，1664年參加巴羅主考的三一學(xué)院津貼生考試時，因歐氏幾何成績不佳差一點未能通過。,三、萊布尼茨的微積分,在微積分的創(chuàng)立上，牛頓與萊布尼茨分享榮譽。 萊布尼茨(1646——1716)出生于德國萊比錫一個教授家庭，早年在萊比錫大學(xué)學(xué)習法律，同時開始接觸伽利略、開普勒、笛卡兒、帕斯卡以及巴羅等人的科學(xué)思。1667年獲阿爾持多夫大學(xué)法學(xué)博士學(xué)位，次年開始為緬因茨選帝侯服務(wù)，不久被派往巴黎任大使。萊布尼茨在巴

19、黎居留了四年[1672—1676)，這四年對他整個科學(xué)生涯的意義，可以與牛頓在家鄉(xiāng)躲避瘟疫的兩年類比，萊布尼茨許多重大的成就包括創(chuàng)立微積分都是在這一時期完成或奠定了基礎(chǔ)。,1、特征三角形,萊布尼茨在巴黎與荷蘭效學(xué)家、物理學(xué)家惠更斯的結(jié)識、交往，激發(fā)了他對數(shù)學(xué)的興趣．他通過卡瓦列里、帕斯卡、巴羅等人的著作，了解并開始研究求曲線的切線以及求面積、體積等微積分問題． 與牛頓流數(shù)論的運動學(xué)背景不同，萊布尼茨創(chuàng)立微積分首先是出于幾何問題的思考，尤

20、其是特征三角形的研究．特征三角形，也稱“微分三角形”，在巴羅的著作中已經(jīng)出現(xiàn)．帕斯卡在特殊情形下也使用過這種三角形．萊布尼茨在1673年提出了他自己的特征三角形．,,帕斯卡的“例子”是下述的命題： “圓的一個象限的任何孤的正弦之和，等于界于兩端的兩個正弦之間的底線段乘以半徑．”這里“正弦”是指縱坐標，而在所說的相中，每個縱坐標都要乘以相應(yīng)的圓的無限小弧而不是乘以底的無限小段。,,從而得到一下結(jié)果： 即有：,2、分析微積分的建立,早在1

21、666年，萊布尼茨在《組合藝術(shù)》一書中討論過數(shù)列問題并得到許多重要結(jié)論。,,1684年萊布尼茨發(fā)表了他的第一篇微分學(xué)論文《一種求極大與極小值和求切線的新方法》，刊登在《教師學(xué)報》上，這也是數(shù)學(xué)史上第一篇正式發(fā)表的微積分文獻．該文是萊布尼茨對自己1673年以來微分學(xué)研究的概括，其中定義了微分并廣泛采用了微分記號dx，dy。萊布尼茨假設(shè)橫坐標x的微分dx是任意的量，縱坐標y的微分dy就定義為它與dx之比等于縱坐標與次切距之比的那個量。 《新