《數(shù)學(xué)史》微積分的創(chuàng)立

1、第6章 微積分的創(chuàng)立,,,如果將整個(gè)數(shù)學(xué)比作一棵大樹，那么初等數(shù)學(xué)是樹的根，名目繁多的數(shù)學(xué)分支是樹枝，而樹干的主要部分就是微積分． 微積分堪稱是人類智慧最偉大的成就之一．,微積分的產(chǎn)生是數(shù)學(xué)上的偉大創(chuàng)造。它從生產(chǎn)技術(shù)和理論科學(xué)的需要中產(chǎn)生，又反過來廣泛影響著生產(chǎn)技術(shù)和科學(xué)的發(fā)展。如今，微積分已是廣大科學(xué)工作 者以及技術(shù)人員不可缺少的工具。,微積分產(chǎn)生的社會(huì)背景和數(shù)學(xué)淵源,微積分誕生在17世紀(jì)，主要來自政治，經(jīng)濟(jì)和社會(huì)發(fā)展對(duì)數(shù)學(xué)的巨大

2、推動(dòng)。,15世紀(jì)，商業(yè)、航海、天文、測(cè)量等日益繁榮:,流體力學(xué)、天文學(xué)、幾何光學(xué)、天文儀器的發(fā)展。,數(shù)學(xué)家面臨問題：,求面積，求體積，求速度，求加速度，求行程等,古時(shí)中國劉徽、祖沖之的割圓術(shù)求 和希臘阿基米德等窮竭法求圓面積等，出現(xiàn)了極限和無窮小思想。,阿基米德的平衡法,先把面積或體積分成很多窄的平行條或薄的平行層。進(jìn)而假設(shè)把這些薄片掛在杠桿的一端，使它們平衡于容積和重心都為已知的一個(gè)圖形，而且已知圖形的面（體）積一般都是容易

3、求得的。,微積分的創(chuàng)立,微積分的思想萌芽，特別是積分學(xué)，部分可以追溯到古代．面積和體積的計(jì)算自古以來一直是數(shù)學(xué)家們感興趣的課題，在古代希臘、中國和印度數(shù)學(xué)家們的著述中，不乏用無窮小過程計(jì)算特殊形狀的面積、體積和曲線長的例子．他們的工作，確實(shí)是人們建立一般積分學(xué)的漫長努力的先驅(qū)．,與積分學(xué)相比而言，微分學(xué)的起源則要晚得多．刺激微分學(xué)發(fā)展的主要科學(xué)問題是求曲線的切線、求瞬時(shí)變化率以及求函數(shù)的極大極小值等問題．,微積分的萌芽,微積分的產(chǎn)生是數(shù)

4、學(xué)上的偉大創(chuàng)造。它從生產(chǎn)技術(shù)和理論科學(xué)的需要中產(chǎn)生，又反過來廣泛影響著生產(chǎn)技術(shù)和科學(xué)的發(fā)展。如今，微積分已是廣大科學(xué)工作 者以及技術(shù)人員不可缺少的工具。 微積分是微分學(xué)和積分學(xué)的統(tǒng)稱，它的萌芽、發(fā)生與發(fā)展經(jīng)歷了漫長的時(shí)期。早在古希臘時(shí)期，歐多克斯提出了窮竭法。這是微積分的先驅(qū)，而我國莊子的《天下篇》中也有 “ 一尺之錘，日取其半，萬世不竭 ” 的極限思想，公元 263 年，劉徽為《九章算術(shù)》作注時(shí)提出了 “ 割圓術(shù) ” ，用正多邊形

5、來逼近圓周。這是極限論思想的成功運(yùn)用。 積分概念是由求某些面積、體積和弧長引起的，古希臘數(shù)學(xué)家要基米德在《拋物線求積法》中用究竭法求出拋物線弓形的面積，人沒有用極限，是 “ 有限 ” 開工的窮竭法。但阿基米德的貢獻(xiàn)真正成為積分學(xué)的萌芽。,6.1 半個(gè)世紀(jì)的醞釀,近代微積分的醞釀，主要是在17世紀(jì)上半葉這半個(gè)世紀(jì)．,△1608年，伽利略制成的第一架天文望遠(yuǎn)鏡。,△1619年，開普勒公布了他的最后一條行星運(yùn)動(dòng)定律．,,,伽利略(Gali

6、leo Galilei, 1564–1642) 伽利略1564年生于意大利的比薩，1581年入比薩大學(xué)攻讀醫(yī)學(xué)．他是世界著名的數(shù)學(xué)家、天文學(xué)家、物理學(xué)家，對(duì)現(xiàn)代科學(xué)思想的發(fā)展作出重大貢獻(xiàn)．他是最早用望遠(yuǎn)鏡觀察天體的天文學(xué)家，曾用大量事實(shí)證明地球環(huán)繞太陽旋轉(zhuǎn)，否定地心說．,伽利略,1632年，發(fā)表《關(guān)于托勒密和哥白尼兩大世界體系的對(duì)話》，大力支持和闡釋哥白尼的地動(dòng)說，因此受到教會(huì)的痛恨．1633年羅馬教廷宗教裁判所對(duì)他進(jìn)行

7、了審判，并處以八年軟禁． 伽利略在科學(xué)史上具有不朽的地位，他的貢獻(xiàn)是劃時(shí)代的，他認(rèn)識(shí)到數(shù)學(xué)的核心意義，用數(shù)學(xué)公式去表達(dá)物理定律． 1642年1月8日，伽利略在阿切特里去世，享年78歲．1983年，羅馬教廷正式承認(rèn)，350年前宗教裁判所對(duì)伽利略的審判是錯(cuò)誤的．,,,開普勒(Kepler Johannes, 1571–1630) 開普勒1571年12月27日生于德國的魏爾，1630年11月15日卒

8、于雷根斯堡．他是德國天文學(xué)家、物理學(xué)家和數(shù)學(xué)家．行星三大定律的發(fā)現(xiàn)者，近代光學(xué)的奠基人． 他自幼體弱多病，但智力超群．1587年進(jìn)圖賓根大學(xué)，次年得學(xué)士學(xué)位．1600年到布拉格的貝納泰克的天文臺(tái)任第谷的助手．第二年第谷去世，開普勒受聘為皇家數(shù)學(xué)家．,,,第谷是望遠(yuǎn)鏡發(fā)明以前的最后一位偉大的天文學(xué)家，也是世界上前所未有的最仔細(xì)、最準(zhǔn)確的觀察家，因此他的記錄具有十分重大的價(jià)值。 作為第谷的接班人，開普勒認(rèn)真地

9、研究了第谷多年對(duì)行星進(jìn)行仔細(xì)觀察所做的大量記錄。,,,就在找到基本的解決辦法后，開普勒仍不得不花費(fèi)數(shù)月的時(shí)間來進(jìn)行復(fù)雜而冗長的計(jì)算，以證實(shí)他的學(xué)說與第谷的觀察相符合。他在1609年發(fā)表的偉大著作《新天文學(xué)》中提出了他的前兩個(gè)行星運(yùn)動(dòng)定律。十年后開普勒發(fā)表了他的行星運(yùn)動(dòng)第三定律 。,經(jīng)過多年煞費(fèi)苦心的數(shù)學(xué)計(jì)算，開普勒發(fā)現(xiàn)第谷的觀察與當(dāng)時(shí)的各種學(xué)說都不符合 ，最終開普勒認(rèn)識(shí)到了所存在的問題：他與第谷、拉格茨·哥白尼以及所有的經(jīng)典天

10、文學(xué)家一樣，都假定行星軌道是由圓或復(fù)合圓組成的。但是實(shí)際上行星軌道不是圓形而是橢圓形。,開普勒,1609年，他在《新天文學(xué)》和《宇宙和諧》兩部著作中提出了行星運(yùn)動(dòng)三大定律，為日后牛頓發(fā)現(xiàn)萬有引力定律奠定了基礎(chǔ)． 開普勒在極度貧苦中去世，在他的墓碑上刻著他自己寫的墓志銘：我曾觀測(cè)蒼穹，今又度量大地． 靈魂遨游太空，身軀化為塵泥．,開普勒行星運(yùn)動(dòng)三大定律要意是：,I

11、．行星運(yùn)動(dòng)的軌道是橢圓，太陽位于該橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)；,,,Ⅱ．由太陽到行星的矢徑在相等的時(shí)間內(nèi)掃過的面積相等；,,,Ⅲ．行星繞太陽公轉(zhuǎn)周期的平方，與其橢圓軌道的半長軸 的立方成正比．,從數(shù)學(xué)上推證開普勒的經(jīng)驗(yàn)定律，成為當(dāng)時(shí)自然科學(xué)的中心課題之一．,1638年，伽利略(Galileo Galilei，1564—1642)《關(guān)于兩門新科學(xué)的對(duì)話》出版．伽利略建立了自由落體定律、動(dòng)量定律等，為動(dòng)力學(xué)奠定了基礎(chǔ)；他認(rèn)識(shí)到彈道的拋物線性質(zhì)，并斷言炮

12、彈的最大射程應(yīng)在發(fā)射角為45’時(shí)達(dá)到，等等．,凡此一切，標(biāo)志著自文藝復(fù)興以來在資本主義生產(chǎn)力刺激下蓬勃發(fā)展的自然科學(xué)開始邁入綜合與突破的階段，而這種綜合與突破所面臨的數(shù)學(xué)困難，使微分學(xué)的基本問題空前地成為人們關(guān)注的焦點(diǎn)：,◆確定非勻速運(yùn)動(dòng)物體的速度與加速度使瞬時(shí)變化率問題的研究成為當(dāng)務(wù)之急；,◆望遠(yuǎn)鏡的光程設(shè)計(jì)需要確定透鏡曲面上任一點(diǎn)的法線，這又使求任意曲線的切線問題變得不可回避；,◆確定炮彈的最大射程及尋求行星軌道的近日點(diǎn)與遠(yuǎn)日點(diǎn)等涉

13、及的函數(shù)極大值、極小值問題也亟待解決．,◆行星沿軌道運(yùn)動(dòng)的路程、行星矢徑掃過的面積以及物體重心與引力的計(jì)算等又使積分學(xué)的基本問題——面積、體積、曲線長、重心和引力計(jì)算的興趣被重新激發(fā)起來．,微分學(xué)的基本問題,(一)開普勒與旋轉(zhuǎn)體體積,德國天文學(xué)家、數(shù)學(xué)家開普勒(Johannes Kepler，1571—1630)在1615年發(fā)表《測(cè)量酒桶的新立體幾何》，論述了求圓錐曲線圍繞其所在平面上某直線旋轉(zhuǎn)而成的立體體積的積分法．,開普勒方法的要旨

14、，是用無數(shù)個(gè)同維無限小元素之和來確定曲邊形的面積及旋轉(zhuǎn)體的體積．例如他認(rèn)為球的體積是無數(shù)個(gè)小圓錐的體積的和，這些圓錐的頂點(diǎn)在球心，底面則是球面的一部分；他又把圓錐看成是極薄的圓盤之和，并由此計(jì)算出它的體積，然后進(jìn)一步證明球的體積是半徑乘以球面面積的三分之— ( )·,(二)卡瓦列里不可分量原理,意大利數(shù)學(xué)家卡瓦列里(Bonaventura Cavali

15、eri，1598—1647)在其著作《用新方法促進(jìn)的連續(xù)不可分量的幾何學(xué)》(1635)中發(fā)展了系統(tǒng)的不可分量方法．,卡瓦列里認(rèn)為線是由無限多個(gè)點(diǎn)組成；面是由無限多條平行線段組成；立體則是由無限多個(gè)平行平面組成．他分別把這些元素叫做線、面和體的“不可分量”(indivisible)．,卡瓦列里原理：,兩個(gè)等高的立體，如果它們的平行于底面且離開底面有相等距離的截面面積之間總有給定的比，那么這兩個(gè)立體的體積之間也有同樣的比．,第一原理:有兩個(gè)

16、平面片處于兩條平行線之間，在這兩個(gè)平面片內(nèi)作任意平行于這兩條平行線的直線，如果它們被平面片所截得的線段長度相等，則這兩個(gè)平面片的面積相等,第二原理：有兩個(gè)立體處于兩個(gè)平行平面之間，在這兩個(gè)平行平面之間作任意平行于這兩個(gè)平面的平面，如果它們被立體所截得的面積相等，則這兩個(gè)立體的體積相等。,卡瓦列里利用這條原理計(jì)算出許多立體圖形的體積．然而他對(duì)積分學(xué)創(chuàng)立最重要的貢獻(xiàn)還在于，他后來(1639)利用平面上的不可分量原理建立了等價(jià)于下列積分,的基

17、本結(jié)果，使早期積分學(xué)突破了體積計(jì)算的現(xiàn)實(shí)原型而向一般算法過渡．,,,,,,卡瓦列里的不可分量方法比他的前人包括開普勒所使用的方法更接近于普遍的積分學(xué)算法，因而也具有更大的威力．開普勒曾向他的同行們提出一個(gè)挑戰(zhàn)問題：求拋物線弓形繞弦旋轉(zhuǎn)而成的旋轉(zhuǎn)體體積．卡瓦列里用自己的方法解決了開普勒的問題．,(三)笛卡兒“圓法”,以上介紹的微積分準(zhǔn)備階段的工作，主要采用幾何方法并集中于積分問題．解析幾何的誕生改變了這一狀況．解析幾何的兩位創(chuàng)始人笛卡兒和

18、費(fèi)馬，都是將坐標(biāo)方法引進(jìn)微分學(xué)問題研究的前鋒．,笛卡兒在《幾何學(xué)》(1637)中提出了求切線的所謂“圓法”，本質(zhì)上是一種代數(shù)方法．,求曲線過點(diǎn) 的切線，笛卡兒的方法是首先確定曲線 在點(diǎn)P處的法線與x軸的交點(diǎn)C的位置，然后作該法線的過點(diǎn)P的垂線，便可得到所求的切線．,笛卡兒的代數(shù)方法在推動(dòng)微積分的早期發(fā)展方面有很大的影響，牛頓就是以笛卡兒圓法為起跑點(diǎn)而踏上研究微積分

19、的道路的．,,,費(fèi)馬(Fermat, P.1601—1665) 費(fèi)馬1601年生于法國南部圖魯斯附近的波蒙，父親是個(gè)商人，費(fèi)馬從小就受到良好的家庭教育．他在大學(xué)攻讀法律，畢業(yè)后當(dāng)了律師．費(fèi)馬結(jié)交了不少數(shù)學(xué)高手和哲學(xué)家，參加聚會(huì)，討論科學(xué)、研究數(shù)學(xué)，還經(jīng)常和友人通信交流數(shù)學(xué)研究工作的信息，但對(duì)發(fā)表著作非常淡漠． 費(fèi)馬在世時(shí)，沒有完整的著作問世．當(dāng)他去世后，他的兒子將費(fèi)馬的筆記、批注及書信加以整理匯成《數(shù)學(xué)論集》

20、在圖魯斯出版． 費(fèi)馬為解析幾何與微積分的創(chuàng)立作出了實(shí)質(zhì)性的貢獻(xiàn)．從費(fèi)馬與羅伯瓦、帕斯卡的通信中可以看出，他在笛卡爾《幾何學(xué)》發(fā)表前至少８年就已相當(dāng)清晰地掌握了解析幾何一些基本原理。,,,費(fèi)馬也是微積分的先驅(qū)者，牛頓曾坦率地說：“我從費(fèi)馬的切線作法中得到了這種方法的啟示、我推廣了它，把它直接并且反過來應(yīng)用于抽象方程上． 費(fèi)馬還開創(chuàng)了近代數(shù)論的研究．他指出對(duì)數(shù)的性質(zhì)的研究應(yīng)當(dāng)有獨(dú)自的園地──（整）數(shù)論．同時(shí)，費(fèi)

21、馬認(rèn)為在數(shù)論中素?cái)?shù)的研究非常重要，因?yàn)閿?shù)論中的大量問題都與素?cái)?shù)有關(guān)． 在這方面的研究成果是費(fèi)馬在數(shù)學(xué)許多部門中最為突出的，其中最為著名是“費(fèi)馬小定理”、“費(fèi)馬大定理”，值得一提的是，300多年來“費(fèi)馬大定理”一直困擾著數(shù)學(xué)界，直到1993年才被普林斯頓大學(xué)的數(shù)學(xué)教授安德魯·懷爾斯完全證明． 費(fèi)馬盡管是業(yè)余數(shù)學(xué)家，但他在微積分、解析幾何、概率論、數(shù)論等數(shù)學(xué)領(lǐng)域中，都做出了開創(chuàng)性的貢獻(xiàn)．,(四)費(fèi)馬

22、求極大值與極小值的方法,笛卡兒圓法記載于他1637年發(fā)表的《幾何學(xué)》中．就在同一年，費(fèi)馬在一份手稿中提出了求極大值與極小值的代數(shù)的方法．,按費(fèi)馬的方法，設(shè)函數(shù) 在點(diǎn) 處取極值，費(fèi)馬用 代替原來的未知量 ，并使 與 “逼近”(adequatio)， 即,消去公共項(xiàng)后，用 除兩邊，再令 消失，即,由此方程求得的 就是

23、 的極值點(diǎn)．,,,,,,,,,費(fèi)馬的方法幾乎相當(dāng)于現(xiàn)今微分學(xué)中所用的方法，只是以符號(hào) (他寫作 )代替了增量△ ．,,,,,,,,記載費(fèi)馬求極大值與極小值方法的這份手稿，實(shí)際上是他寫給梅森(M．Mersenne)的一封信。梅森將費(fèi)馬這封信轉(zhuǎn)給了笛卡兒，從而引起了關(guān)于切線問題的熱烈爭論 。,費(fèi)馬在信中指出他求函數(shù)極大值、極小值的方法還“可以推廣應(yīng)用于一些優(yōu)美的問題”，并說他已經(jīng)獲得了求平面與立體圖形的重

24、心等一些其他結(jié)果，“關(guān)于這些結(jié)果，如果時(shí)間允許，我將在另外的場合來論述.”,(五)巴羅“微分三角形”,巴羅(1saac Barrow，1630--1677)也給出了求曲線切線的方法，他的方法記載在1669年出版的《幾何講義》中，但他應(yīng)該是在更早的時(shí)候就得到了這種方法．,與笛卡兒、費(fèi)馬不同，巴羅使用了幾何法．巴羅幾何法的關(guān)鍵概念后來變得很有名，就是“微分三角形”，也叫“特征三角形”．,設(shè)有曲線 ，欲求其上一

25、點(diǎn)P處的切線．巴羅考慮一段“任意小的弧” ，它是由增量 引起的．曲邊三角形 就是所謂的微分三角形．巴羅認(rèn)為當(dāng)這個(gè)三角形越來越小時(shí)，它與△ 應(yīng)趨近于相似，故應(yīng)有,即,因Q、P在曲線上，故應(yīng)有 ,,在上式中消去一切包含有 的冪或二者乘積的項(xiàng)，從

26、所得方程中解出 ，即切線斜率 ，于是可得到 值而作出線．巴羅的方法實(shí)質(zhì)上是把切線看作是當(dāng) 和 趨于零時(shí)割線PQ的極限位置，并利用忽略高階無限小來取極限．在這里， 和 分別相當(dāng)于現(xiàn)在的 和 ，而 則相當(dāng)于 ．,,,,,,,(六)沃利斯“無窮算術(shù)”,沃利斯(J．Wallis，1616—1703)是在牛頓和萊布尼茨以前，將分析方法引入微積分貢獻(xiàn)最突出的數(shù)

27、學(xué)家．沃利斯最重要的著作是《無窮算術(shù)》(1655)，其書名就表明了他用本質(zhì)上是算術(shù)的也就是牛頓所說“分析”的途徑發(fā)展積分法．,沃利斯利用他的算術(shù)不可分量方法獲得了許多重要結(jié)果，其中之一就是將卡瓦列里的冪函數(shù)積分公式,推廣到分?jǐn)?shù)冪情形．,沃利斯另一項(xiàng)重要的研究是計(jì)算四分之一單位圓的面積，并由此得到 的無窮乘積表達(dá)式．,后來，牛頓發(fā)展了他的方法，從而導(dǎo)出二項(xiàng)式定理。,17世紀(jì)上半葉一系列前驅(qū)性的工作，沿著不同的方向向微積分的大門逼

28、近．但所有這些努力還不足以標(biāo)志微積分作為一門獨(dú)立科學(xué)的誕生．這些前驅(qū)者對(duì)于求解各類微積分問題確實(shí)作出了寶貴貢獻(xiàn)，但他們的方法仍然缺乏足夠的一般性。求切線，求變化率、求極大極小值以及求面積、體積等基本問題，在當(dāng)時(shí)是被作為不同的類型處理的．,雖然也有人注意到了某些聯(lián)系，如費(fèi)馬就是用同樣的方法求函數(shù)的極值和曲線的切線；巴羅的求切線方法實(shí)際上是求變化率的幾何版本，等等．然而并沒有人能將這些聯(lián)系作為一般規(guī)律明確提出，而作為微積分的主要特征的微分與

29、積分的互逆關(guān)系，雖然在特殊場合已被某些學(xué)者邂逅，如巴羅在《幾何學(xué)講義》中有一條定理以幾何形式表達(dá)了切線問題是面積問題的逆問題，但他本人完全沒有認(rèn)識(shí)到這一事實(shí)的重要意義。因此，就需要有人站在更高的高度將以往個(gè)別的貢獻(xiàn)和分散的努力綜合為統(tǒng)一的理論，這是17世紀(jì)中葉數(shù)學(xué)家們面臨的艱巨任務(wù)．牛頓和萊布尼茨正是在這樣的時(shí)刻出場的．,,,伊薩克·牛頓(Isac Newton 1643—1727),“我不知道世人如何看我，可我自己認(rèn)為，我好

30、像只是一個(gè)在海邊玩耍的孩子，不時(shí)為撿到比通常更光滑的石子或更美麗的貝殼而高興，而展現(xiàn)在我面前的是完全未被探明的趔之海．”,這是牛頓晚年對(duì)自己的評(píng)價(jià)．,牛頓是英國數(shù)學(xué)家和物理學(xué)家，17世紀(jì)科學(xué)革命的頂峰人物，他提出近代物理學(xué)基礎(chǔ)的力學(xué)三大定律和萬有引力定律．他關(guān)于白光由色光組成的發(fā)現(xiàn)為物理光學(xué)奠定了基礎(chǔ)．他是微積分的創(chuàng)始人之一．,6.2 牛頓的“流數(shù)術(shù)”,牛頓(1saac Newton，1642—1727)于伽利略去世那年（1642年）

31、的圣誕出生于英格蘭林肯郡伍爾索普村一個(gè)農(nóng)民家庭 ．少年牛頓不是神童，成績并不突出，但酷愛讀書與制作玩具．17歲時(shí)，牛頓被母親從格蘭瑟姆中學(xué)召回田莊務(wù)農(nóng)。史托克斯校長竭力勸說牛頓的母親：“在繁雜的農(nóng)務(wù)中埋沒這樣一位天才，對(duì)世界來說將是多么巨大的損失!” 這恐怕是科學(xué)史上最幸運(yùn)的預(yù)言。,牛頓于1661年入劍橋大學(xué)三一學(xué)院，受教于巴羅．三一學(xué)院至今還保存著牛頓的讀書筆記，從這些筆記可以看出，就數(shù)學(xué)思想的形成而言，笛卡兒的《幾何學(xué)》和沃利斯的

32、《無窮算術(shù)》對(duì)他影響最深，正是這兩部著作引導(dǎo)牛頓走上了創(chuàng)立微積分之路．,1665年8月，劍橋大學(xué)因嚴(yán)重的鼠疫流行而關(guān)閉，牛頓離校返鄉(xiāng)，隨后在家鄉(xiāng)躲避瘟疫的兩年，竟成為牛頓科學(xué)生涯中的黃金歲月．制定微積分，發(fā)現(xiàn)萬有引力和顏色理論，……?？梢哉f牛頓一生大多數(shù)科學(xué)創(chuàng)造的藍(lán)圖，都是在這兩年描繪的．,牛頓有這樣一句贊美前輩科學(xué)家的名言：“如果說我比別人看得遠(yuǎn)些，那是因?yàn)槲艺驹诰奕藗兊募缟希?6.2.1 流數(shù)術(shù)的初建,牛頓對(duì)微積分問題的研究始

33、于1664年秋，當(dāng)時(shí)他反復(fù)閱讀笛卡兒《幾何學(xué)》，對(duì)笛卡兒求切線的“圓法”發(fā)生興趣并試圖尋找更好的方法．,◇牛頓首創(chuàng)了小o記號(hào)表示x的無限小且最終趨于零的增量；,◇1665年11月發(fā)明“正流數(shù)術(shù)”(微分法)；,◇次年5月又建立了“反流數(shù)術(shù)”(積分法)；,◇1666年10月，牛頓將前兩年的研究成果整理成一篇總結(jié)性論文《流數(shù)簡論》(Tract on Fluxions)，當(dāng)時(shí)雖未正式發(fā)表，但在同事中傳閱．《簡論》)是歷史上第一篇系統(tǒng)的微積分文獻(xiàn)

34、．,《流數(shù)簡論》反映了牛頓微積分的運(yùn)動(dòng)學(xué)背景．該文事實(shí)上以速度形式引進(jìn)了“流數(shù)”(即微商)概念，雖然沒有使用“流數(shù)”這一術(shù)語．,牛頓在《簡論》中提出微積分的基本問題如下：,(a)設(shè)有兩個(gè)或更多個(gè)物體 同一時(shí)刻內(nèi)描畫線段 ．已知表示這些線段關(guān)系的方程，求它們的速度 的關(guān)系．,(b)已知表示線段 和運(yùn)動(dòng)速度 之比 的關(guān)系方程式，求另一線段 ．,牛頓對(duì)多項(xiàng)式情形給出(a)的解法．,,

35、,,對(duì)于問題(b)，牛頓的解法實(shí)際上是問題(a)的解的逆運(yùn)算，并且也是逐步列出了標(biāo)準(zhǔn)算法。特別重要的是，《簡論》中討論了如何借助于這種逆運(yùn)算來求面積，從而建立了所謂“微積分基本定理”．,牛頓在《簡論》中是這樣推導(dǎo)微積分基本定理的：,設(shè) ，△ 為已知曲線 下的面積，作 ∥ ⊥ ∥ ．當(dāng)垂 線

36、 以單位速度向右移動(dòng)時(shí)， 掃出面積 ， 變化率 ; 掃出面積□ ,變化率 由此得,這就是說，面積y在點(diǎn)x處的變化率是曲線在該處的q值．,□,當(dāng)然，《簡論》中對(duì)微積分基本定理的論述并不能算是現(xiàn)代意義下的嚴(yán)格證明．牛頓在后來的著作中對(duì)微積分基本定理又給出了不依賴于運(yùn)動(dòng)學(xué)

37、的較為清楚的證明．,正如牛頓本人在《流數(shù)簡論》中所說：一旦反微分問題可解，許多問題都將迎刃而解。這樣，牛頓就將自古希臘以來求解無限小問題的各種特殊技巧統(tǒng)一為兩類普遍的算法——正、反流數(shù)術(shù)亦即微分與積分，并證明了二者的互逆關(guān)系而將這兩類運(yùn)算進(jìn)一步統(tǒng)一成整體．這是他超越前人的功績，正是在這樣的意義下，我們說牛頓發(fā)明了微積分．,在《流數(shù)簡論》的其余部分，牛頓將他建立的統(tǒng)一的算法應(yīng)用于求曲線切線、曲率、拐點(diǎn)、曲線求長、求積、求引力與引力中心等1

38、6類問題，展示了他的算法的極大的普遍性與系統(tǒng)性．,6.2.2 流數(shù)術(shù)的發(fā)展,《流數(shù)簡論》標(biāo)志著微積分的誕生，但它在許多方面是不成熟的，牛頓于1667年春天回到劍橋，對(duì)自己的微積分發(fā)現(xiàn)未作宣揚(yáng)．從那時(shí)起直到1693年大約四分之一世紀(jì)的時(shí)間里，牛頓始終不渝努力改進(jìn)、完善自己的微積分學(xué)說，先后寫成了三篇微積分論文，它們分別是:,(1)《運(yùn)用無限多項(xiàng)方程的分析》，簡稱《分析學(xué)》，完成于1669年；,(2)《流數(shù)法與無窮級(jí)數(shù)》，簡稱《流數(shù)法》，

39、完成于1671年；,(3)《曲線求積術(shù)》，簡稱《求積術(shù)》，完成于1691年。,這三篇論文，反映了牛頓微積分學(xué)說的發(fā)展過程 。,第一篇論文《分析學(xué)》是牛頓為了維護(hù)自己在無窮級(jí)數(shù)方面的優(yōu)先權(quán)而作． 《分析學(xué)》利用這些無窮級(jí)數(shù)來計(jì)算流數(shù)、積分以及解方程等，因此《分析學(xué)》體現(xiàn)了牛頓的微積分與無窮級(jí)數(shù)緊密結(jié)合的特點(diǎn)．,牛頓還給出了另一條法則：若y值是若干項(xiàng)之和，那么所求面積就是由其中每一項(xiàng)得到的面積之和，這相當(dāng)于逐項(xiàng)積分定理．,由上述可知，牛頓《

40、分析學(xué)》以無限小增量“瞬”為基本概念，但卻回避了《流數(shù)簡論》中的運(yùn)動(dòng)學(xué)背景而將“瞬”看成是靜止的無限小量，有時(shí)直截了當(dāng)令其為零，從而帶上了濃厚的不可分量色彩．,第二篇論文《流數(shù)法》可以看作是1666年《流數(shù)簡論》的直接發(fā)展．牛頓在其中又恢復(fù)了運(yùn)動(dòng)學(xué)觀點(diǎn)，但對(duì)以物體速度為原型的流數(shù)概念作了進(jìn)一步提煉，并首次正式命名為“流數(shù)”(fluxion)．,牛頓后來對(duì)《流數(shù)法》中的流數(shù)概念作了如下解釋：,“我把時(shí)間看作是連續(xù)的流動(dòng)或增長，而其他量則隨

41、著時(shí)間而連續(xù)增長，我從時(shí)間的流動(dòng)性出發(fā)，把所有其他量的增長速度稱之為流數(shù)，又從時(shí)間的瞬息性出發(fā)，把任何其他量在瞬息時(shí)間內(nèi)產(chǎn)生的部分稱之為瞬”．,《流數(shù)法》以清楚明白的流數(shù)語言表述微積分的基本問題為：,“已知流量間的關(guān)系，求流數(shù)關(guān)系”；,以及反過來,“已知表示量的流數(shù)間的關(guān)系的方程，求流量間的關(guān)系”．,無論是《分析學(xué)》還是《流數(shù)法》都是以無限小量作為微積分算法的論證基礎(chǔ)，所不同的是：在《流數(shù)法》中變量 的瞬 ×

42、;o, ×o 隨時(shí)間瞬o而連續(xù)變化；而在《分析學(xué)》中變量 的瞬則是某種不依賴于時(shí)間的固定的無限小微元．,,,,第三篇微積分論文《曲線求積術(shù)》中，牛頓關(guān)于微積分的基礎(chǔ)在觀念上發(fā)生了新的變革，提出了所謂的“首末比方法”。,《曲線求積術(shù)》是牛頓最成熟的微積分著述．牛頓在其中改變了對(duì)無限小量的依賴并批評(píng)自己過去那種隨意忽略無限小瞬o的做法：,“在數(shù)學(xué)中，最微小的誤差也不能忽略．……在這里，我認(rèn)為數(shù)學(xué)的量不是由非

43、常小的部分組成的，而是用連續(xù)的運(yùn)動(dòng)來描述的”．,在此基礎(chǔ)上定義了流數(shù)概念之后，牛頓寫道：,“流數(shù)之比非常接近于在相等但卻很小的時(shí)間間隔內(nèi)生成的流量的增量比．確切地說，它們構(gòu)成增量的最初比”．,牛頓接著借助于幾何解釋把流數(shù)理解為增量消逝時(shí)獲得的最終比．,他舉例說明自己的新方法如下：為了求的流數(shù)，設(shè)x變?yōu)閤+o， 則變?yōu)?構(gòu)成兩變化的“最初比”：,然后“設(shè)增量o消逝，它們的最終比就是 ”，這也是x的流數(shù)與的

44、流數(shù)之比 。,這就是所謂“首末比方法”，它相當(dāng)于求函數(shù)自變量與應(yīng)變量變化之比的極限，因而成為極限方法的先導(dǎo)．,牛頓對(duì)于發(fā)表自己的科學(xué)著作態(tài)度謹(jǐn)慎．除了兩篇光學(xué)著作，他的大多數(shù)著作都是經(jīng)朋友再三催促才拿出來發(fā)表．上述三篇論文發(fā)表都很晚，其中最先發(fā)表的是最后一篇《曲線求積術(shù)》，1704年載于《光學(xué)》附錄；《分析學(xué)》發(fā)表于1711年；而《流數(shù)法》則遲至1736年才正式發(fā)表，當(dāng)時(shí)牛頓已去世．牛頓微積分學(xué)說最早的公開表述出現(xiàn)在1687年出版的力學(xué)

45、名著《自然哲學(xué)的數(shù)學(xué)原理》(Philosophiae naturalis principia mathematica，以下簡稱《原理》)之中，因此《原理》也成為數(shù)學(xué)史上的劃時(shí)代著作．,盡管《原理》表現(xiàn)出以極限方法作為微積分基礎(chǔ)的強(qiáng)烈傾向，但并不意味著牛頓完全摒棄無限小觀點(diǎn)．在第二卷第2章中，人們可以看到無限小瞬方法的陳述：,“任何生成量(genitum)的瞬，等于生成它的各邊的瞬乘以這些邊的冪指數(shù)及系數(shù)并逐項(xiàng)相加．”,此處所謂“生成量”

46、，即函數(shù)概念的雛形；生成量的瞬則是指函數(shù)的微分．,6.2.3《原理》與微積分,《原理》中并沒有明顯的分析形式的微積分．整部著作是以綜合幾何的語言寫成的，但牛頓在第一卷第l章開頭部分通過一組引理(共11條)建立了“首末比法”。,牛頓說明這類量的例子有“積、商、根、……”等，并把它們看成是“變化的和不定的”；因此上述陳述實(shí)際上相當(dāng)于一些微分運(yùn)算法則．,《原理》在創(chuàng)導(dǎo)首末比方法的同時(shí)保留了無限小瞬，這種做法常常被認(rèn)為自相矛盾而引起爭議．實(shí)際上

47、，在牛頓的時(shí)代，建立微積分嚴(yán)格基礎(chǔ)的時(shí)機(jī)尚不成熟，在這樣的條件下，牛頓在大膽創(chuàng)造新算法的同時(shí)，堅(jiān)持對(duì)微積分基礎(chǔ)給出不同解釋，說明了他對(duì)微積分基礎(chǔ)所存在的困難的深邃洞察和謹(jǐn)慎態(tài)度．,《原理》被愛因斯坦盛贊為“無比輝煌的演繹成就”．全書從三條基本的力學(xué)定律出發(fā)，運(yùn)用微積分工具，嚴(yán)格地推導(dǎo)證明了包括開普勒行星運(yùn)動(dòng)三大定律、萬有引力定律等在內(nèi)的一系列結(jié)論，并且還將微積分應(yīng)用于流體運(yùn)動(dòng)、聲、光、潮汐、彗星乃至宇宙體系，充分顯示了這一新數(shù)學(xué)工具的威

48、力．,牛頓的科學(xué)貢獻(xiàn)是多方面的：,◆在數(shù)值分析領(lǐng)域，今天任何一本教程都不能不提到牛頓的名字：牛頓—格里高利公式、牛頓—拉弗森公式、牛頓—斯特林公式、……；牛頓還是幾何概率的最早研究者．,◆代數(shù)名著《普遍算術(shù)》，包含了方程論的許多重要成果，如虛數(shù)根必成對(duì)出現(xiàn)、笛卡兒符號(hào)法則的推廣、根與系數(shù)的冪和公式等等；,◆幾何杰作《三次曲線枚舉》，首創(chuàng)對(duì)三次曲線的整體分類研究，是解析幾何發(fā)展新的一頁；,光學(xué)方面的貢獻(xiàn)　　牛頓曾致力于顏色的現(xiàn)象和光的本

49、性的研究。1666年，他用三棱鏡研究日光，得出結(jié)論：白光是由不同顏色(即不同波長)的光混合而成的，不同波長的光有不同的折射率。在可見光中，紅光波長最長，折射率最??；紫光波長最短，折射率最大。,熱學(xué)方面的貢獻(xiàn)　　牛頓確定了冷卻定律，即當(dāng)物體表面與周圍有溫差時(shí)，單位時(shí)間內(nèi)從單位面積上散失的熱量與這一溫差成正比。,,哲學(xué)方面的貢獻(xiàn)　　牛頓的哲學(xué)思想基本屬于自發(fā)的唯物主義，他承認(rèn)時(shí)間、空間的客觀存在。《自然哲學(xué)的數(shù)學(xué)原理》牛頓最重要的著作，

50、1687年出版。該書總結(jié)了他一生中許多重要發(fā)現(xiàn)和研究成果，其中包括上述關(guān)于物體運(yùn)動(dòng)的定律。他說，該書“所研究的主要是關(guān)于重、輕流體抵抗力及其他吸引運(yùn)動(dòng)的力的狀況，所以我們研究的是自然哲學(xué)的數(shù)學(xué)原理?！?天文學(xué)方面的貢獻(xiàn)　　牛頓1672年創(chuàng)制了反射望遠(yuǎn)鏡。他用質(zhì)點(diǎn)間的萬有引力證明，密度呈球?qū)ΨQ的球體對(duì)外的引力都可以用同質(zhì)量的質(zhì)點(diǎn)放在中心的位置來代替。他還用萬有引力原理說明潮汐的各種現(xiàn)象，指出潮汐的大小不但同月球的位相有關(guān)，而且同太陽的方

51、位有關(guān)。牛頓預(yù)言地球不是正球體。歲差就是由于太陽對(duì)赤道突出部分的攝動(dòng)造成的。,牛頓是一位科學(xué)巨人，對(duì)此，萊布尼茨有過高度的評(píng)價(jià)：“綜觀有史以來的全部數(shù)學(xué)，牛頓做了一多半的工作”。拉格朗日對(duì)牛頓的作用和影響也有過評(píng)語，說他是,歷史上最有才能的人，也是最幸運(yùn)的人——因?yàn)橛钪骟w系只能被發(fā)現(xiàn)一次。,英鎊上的牛頓,與這些頌揚(yáng)相反，牛頓對(duì)他的工作有自己謙虛的評(píng)價(jià)：,“我不知道世間把我看成什么樣的人；但是，對(duì)我來說，就像一個(gè)在海邊玩耍的孩子，有時(shí)找到

52、一塊比較平滑的卵石或格外漂亮的貝殼，感到高興，在我面前是完全沒有被發(fā)現(xiàn)的真理的大海洋?！?還有一次，當(dāng)別人問他是怎樣作出自己的科學(xué)發(fā)現(xiàn)時(shí)，他的回答是：,“心里總是裝著研究的問題，等待那最初的一線希望漸漸變成普照一切的光明!”,“如果我看得更遠(yuǎn)些，那是因?yàn)槲艺驹诰奕说募绨蛏稀保?在尊重他的前輩的成果方面，他曾作過這樣的解釋：,關(guān)于牛頓的很多軼事多半是不真實(shí)的，人們常把牛頓偶像化加以神話式的宣揚(yáng)也是不切實(shí)際的。最突出的例子：英國詩人浦普(A

53、lexander Pope,1688-1747)的詩句：,“宇宙和自然的規(guī)律隱藏在黑夜里，上帝說：讓牛頓降生吧！一切都變得光明?！?牛頓在事業(yè)正處于顛峰的同時(shí)卻陷入了唯心主義的泥潭。2003年2月在以色列發(fā)現(xiàn)的牛頓手稿表明，他曾經(jīng)花費(fèi)40多年的時(shí)間用來證明上帝的存在，并預(yù)言地球?qū)⒃?060年毀滅（2003年2月25日鳳凰衛(wèi)視）。,牛頓終身未婚，晚年由外甥女凱瑟琳協(xié)助管家．牛頓的許多言論、軼聞，就是靠凱瑟琳和她的丈夫康杜德的記錄留傳下來的

54、．家喻戶曉的蘋果落地與萬有引力的故事，就是凱瑟琳告訴法國哲學(xué)家伏爾泰并被后者寫進(jìn)《牛頓哲學(xué)原理》一書中．,終身未婚之謎,可以說，牛頓是一個(gè)追求用科學(xué)中的光線譜來解釋他的理想的特殊類型的詩人。他讓他的思想展翅飛翔，以整個(gè)宇宙作為藩籬。在他的整個(gè)心田里，填滿了自然、宇宙。也許這是他終身未娶的最根本原因。不過，牛頓并沒有完全與愛情絕緣。他一生中甚至有過兩次戀愛。 牛頓在劍橋大學(xué)求學(xué)時(shí)，由于劍橋發(fā)生了瘟疫，學(xué)校放假

55、。牛頓回到鄉(xiāng)下，住在舅父家里。在那里，他一次愛上了美麗、聰明、好學(xué)、富有思想的表妹。但是牛頓生性靦腆，并未及時(shí)向表妹表白心中的愛情。等他回到劍橋大學(xué)后，他早已忘記了遠(yuǎn)方的鄉(xiāng)村還有一位美麗的少女在等著他。 他對(duì)個(gè)人生活一直不予重視，而她的表妹卻誤以為牛頓對(duì)她冷淡，便擇夫，令醉心于科學(xué)研究的牛頓耽誤了一次愛情的大好時(shí)機(jī)。牛頓實(shí)在太忙了，他連做夢(mèng)想的都是宇宙、世界。,牛頓1727年因患肺炎與痛風(fēng)而逝世，

56、葬于威斯特敏斯特大教堂．當(dāng)時(shí)參加了葬禮的伏爾泰親眼目睹英國的大人物爭抬牛頓的靈柩而無限感嘆．牛頓去世后，外甥女凱瑟琳夫婦在親屬們圍繞遺產(chǎn)的糾紛中不惜代價(jià)保存了牛頓的手稿．現(xiàn)存牛頓手稿中，僅數(shù)學(xué)部分就達(dá)5000多頁．,幾個(gè)小故事,牛頓常常把24小時(shí)中的18或19個(gè)小時(shí)用于寫作，并且他 有超人的集中注意力。 一次他請(qǐng)一些朋友吃飯，他離席去拿一瓶酒，可是他跑回房間竟然把取酒這事忘了，而穿上白衣，進(jìn)了祈禱室。 牛頓的朋友斯圖克利博

57、士請(qǐng)他吃雞肉飯。牛頓出去了一 會(huì)，但是，桌子上已經(jīng)放好蓋著的盤子，里面是烹調(diào)好的雞肉。牛頓忘記吃飯這事，而超過了時(shí)間，斯圖克利把雞吃了，然后再把骨頭放在蓋著的盤子里。牛頓回來后，發(fā)現(xiàn)只剩下骨頭了。他說：“親愛的：我竟然忘了我們已經(jīng)吃了飯?！?牛頓從格蘭瑟姆騎馬回家時(shí)，下了馬步行牽著它上城外的斯皮特門山。牛頓不知道馬在上山時(shí)滑脫了，到了山頂，才發(fā)現(xiàn)手里只剩下個(gè)空韁繩。 煮表代蛋。忘記與女友的約會(huì)。,萊布尼茨,戈特弗里德·威

58、廉·凡·萊布尼茨，德國最重要的自然科學(xué)家、數(shù)學(xué)家、物理學(xué)家、歷史學(xué)家和哲學(xué)家，一位舉世罕見的科學(xué)天才，和牛頓（1643年1月4日—1727年3月31日）同為微積分的創(chuàng)建人。 他的研究成果還遍及力學(xué)、邏輯學(xué)、化學(xué)、地理學(xué)、解剖學(xué)、動(dòng)物學(xué)、植物學(xué)、氣體學(xué)、航海學(xué)、地質(zhì)學(xué)、語言學(xué)、法學(xué)、哲學(xué)、歷史、外交等等，“世界上沒有兩片完全相同的樹葉”就是出自他之口，他還是最早研究中國文化和中國哲學(xué)的德

59、國人，對(duì)豐富人類的科學(xué)知識(shí)寶庫做出了不可磨滅的貢獻(xiàn)。然而，由于他創(chuàng)建了微積分，并精心設(shè)計(jì)了非常巧妙簡潔的微積分符號(hào)，從而使他以偉大數(shù)學(xué)家的稱號(hào)聞名于世。,公元1646年7月1日，萊布尼茨出生于德國東部萊比錫的一個(gè)書香之家，父親弗里德希·萊布尼茨是萊比錫大學(xué)的道德哲學(xué)教授，母親凱瑟琳娜·施馬克出身于教授家庭，虔信路德新教。,萊布尼茨的父親在他年僅六歲時(shí)便去世了，給他留下了比金錢更寶貴的豐富的藏書，知書達(dá)理的母親擔(dān)負(fù)起了

60、兒子的幼年教育。 1664年1月，萊布尼茨完成了論文《論法學(xué)之艱難》，獲哲學(xué)碩士學(xué)位。是年2月12日，他母親不幸去世。18歲的萊布尼茨從此只身一人生活，他—生在思想、性格等方面受母親影響頗深。 　　 萊布尼茨一生沒有結(jié)婚，沒有在大學(xué)當(dāng)教授。他平時(shí)從不進(jìn)教堂，因此他有一個(gè)綽號(hào) Lovenix，即什么也不信的人。他去世時(shí)教士以此為借口，不予理睬，曾雇用過他的宮廷也不過問，無人前來吊唁。彌留之際，

61、陪伴他的只有他所信任的大夫和他的秘書艾克哈特。,6.3 萊布尼茨的微積分,萊布尼茨(Gottfried Wilhelm Leibniz，1646—1716) 早年在萊比錫大學(xué)學(xué)習(xí)法律，同時(shí)開始接觸伽利略、開普勒、笛卡兒、帕斯卡以及巴羅等人的科學(xué)思想．1667年獲阿爾特多夫大學(xué)法學(xué)博士學(xué)位，次年開始為緬因茨選帝侯服務(wù)，不久被派往巴黎任大使．萊布尼茨在巴黎居留了四年(1672—1676)，這四年對(duì)他整個(gè)科學(xué)生涯的意義，可以與牛頓在家鄉(xiāng)躲避

62、瘟疫的兩年類比，萊布尼茨許多重大的成就包括創(chuàng)立微積分都是在這一時(shí)期完成或奠定了基礎(chǔ)．,6.3.1 特征三角形,萊布尼茨在巴黎與荷蘭數(shù)學(xué)家、物理學(xué)家惠更斯(C.Huygens)的結(jié)識(shí)、交往，激發(fā)了他對(duì)數(shù)學(xué)的興趣．他通過卡瓦列里、帕斯卡、巴羅等人的著作了解并開始研究求曲線的切線以及求面積、體積等微積分問題．,與牛頓流數(shù)論的運(yùn)動(dòng)學(xué)背景不同，萊布尼茨創(chuàng)立微積分首先是出于幾何問題的思考，尤其是特征三角形的研究（1673）．據(jù)萊布尼茨后來在《微積

63、分的歷史和起源》中自述，他這項(xiàng)發(fā)現(xiàn)正是受到了帕斯卡論文《關(guān)于四分之一圓的正弦》的啟發(fā)，他從這篇短文的一個(gè)例子中“突然看到一束光明”．,萊布尼茨應(yīng)用特征三角形很快發(fā)現(xiàn)了他后來才“在巴羅和格里高里的著作中見到的幾乎所有定理”．但是如果萊布尼茨就此而止，那么他也不會(huì)成為微積分的創(chuàng)立者.實(shí)際上，他在關(guān)于特征三角形的研究中認(rèn)識(shí)到：,求曲線的切線依賴于縱坐標(biāo)的差值與橫坐標(biāo)的差值當(dāng)這些差值變成無限小時(shí)之比；而求曲線下的面積則依賴于無限小區(qū)間上的縱坐標(biāo)

64、之和(縱坐標(biāo)之和在這里是指縱坐標(biāo)乘以無限小區(qū)間的長度再相加，因而也相當(dāng)于寬度為無限小的矩形面積之和)．,萊布尼茨還看出了這兩類問題的互逆關(guān)系．,6.3.2 分析微積分的建立,早在1666年，萊布尼茨在《組合藝術(shù)》一書中討論過數(shù)列問題并得到許多重要結(jié)論,平方數(shù)序列 ：0,1,4,9,16,25,36，…,及其一階差（相繼兩項(xiàng)之差）： 1,3,5,7,9,11,…,與二階差 2,2,2,2,2,…,當(dāng)時(shí)他

65、注意到如果原來的序列是從0開始，那么一階差的和就是原序列的最后一項(xiàng)，并且這里序列的求和運(yùn)算與求差運(yùn)算存在著互逆的關(guān)系．,大約從1672年開始，萊布尼茨將他對(duì)數(shù)列研究的結(jié)果與微積分運(yùn)算聯(lián)系起來．,萊布尼茨后來在致洛必達(dá)(L’Hospital)的一封信中總結(jié)說：,這使他發(fā)現(xiàn)，“求切線不過是求差，求積不過是求和!”,萊布尼茨后來做了大量工作，艱難地前進(jìn)，從一串離散值過渡到任意函數(shù) 的增量．在1675年10月29日的一份手稿中，他引入了符

66、號(hào) 表示積分，顯然 是“sum”的首字母 的拉長．稍后，在11月11日的手稿中，萊布尼茨又引進(jìn)了記號(hào) 表示兩相鄰 的值的差，并探索運(yùn)算 與d 運(yùn)算的關(guān)系。無論如何，到1676年11月，萊布尼茨已經(jīng)能夠給出冪函數(shù)的微分與積分公式：,和,其中 不一定是正整數(shù)．,,,,如圖，由相似三角形，得則求和：,1684年萊布尼茨發(fā)表了他的第一篇微分學(xué)論文《一種求極大與極小值和求切線的新方法》(簡

67、稱《新方法》)，刊登在《教師學(xué)報(bào)》(Acta Eruditorum)上，這也是數(shù)學(xué)史上第一篇正式發(fā)表的微積分文獻(xiàn)．該文是萊布尼茨對(duì)自己1673年以來微分學(xué)研究的概括，其中,◆定義了微分并廣泛采用了微分記號(hào)dx,dy;,◆明確陳述了萊布尼茨1677年已得到的函數(shù)和、差、積、商、乘冪與方根的微分公式;,6.3.3 萊布尼茨微積分的發(fā)表,我們知道，萊布尼茨還得出了復(fù)合函數(shù)的鏈?zhǔn)轿⒎址▌t，以及后來又將 乘積微分的“萊布尼茨法則”推廣到了高階情

68、形．這些都表明萊布尼茨非常重視微積分的形式運(yùn)算法則和公式系統(tǒng)。,《新方法》還包含了微分法在求極大、極小值、求拐點(diǎn)以及光學(xué)等方面的廣泛應(yīng)用．,1686年，萊布尼茨又發(fā)表了他的第一篇積分學(xué)論文《深?yuàn)W的幾何與不可分量及無限的分析》．這篇論文初步論述了積分或求積問題與微分或切線問題的互逆關(guān)系．萊布尼茨分析道：,“研究不定求積或其不可能性的方法，對(duì)我來說不過是我稱之為反切線方法的更廣泛的問題的特殊情形(并且事實(shí)上是比較容易的情形)，而這種反切線方