第一專題數(shù)學認知結(jié)構(gòu)

1、數(shù)學認知結(jié)構(gòu),內(nèi) 容 綱 要 一、什么是數(shù)學認知結(jié)構(gòu) 二、數(shù)學認知結(jié)構(gòu)的基本形態(tài) 三、數(shù)學認知結(jié)構(gòu)的元素 四、數(shù)學認知結(jié)構(gòu)的作用 五、數(shù)學認知結(jié)構(gòu)的優(yōu)化,一、什么是數(shù)學認知結(jié)構(gòu)[2],1.數(shù)學知識結(jié)構(gòu)： 指的是由數(shù)學的概念、公式、法則、定理和性質(zhì)等知識內(nèi)容構(gòu)成的結(jié)構(gòu)系統(tǒng)，它反映了現(xiàn)實世界中事物在數(shù)量關(guān)系和空間形式以及在此基礎(chǔ)之上形成的結(jié)構(gòu)等方面的內(nèi)部聯(lián)系和規(guī)律，是客觀存在的東西，

2、不以我們的意志為轉(zhuǎn)移.,2.數(shù)學認知結(jié)構(gòu)： 數(shù)學認知結(jié)構(gòu)，是學習者頭腦里的數(shù)學知識結(jié)構(gòu)，它是學習者在學習的過程中逐步積累起來的在數(shù)學方面的主觀經(jīng)驗系統(tǒng)，它反映了學習者對數(shù)學的理解和看法.,認知結(jié)構(gòu)的另一名稱——圖式 John.Best ：圖式（schema）是指貯存于長時記憶中的那些組織良好的（關(guān)于自然界、事件、人物和行動的）知識組快。它標明類別成員的實質(zhì)并隱含著可用于接收或組織新刺激的計

3、劃或預期的一個術(shù)語.,認知結(jié)構(gòu)的另一名稱——圖式Piaget:圖式指相對穩(wěn)定的以動作為主的認知結(jié)構(gòu) 組織.（物理動作、思想動作）圖式是指個體對世界的知覺、理解和思考的方式. 可以把圖式看作是心理活動的框架或組織結(jié)構(gòu). 圖式是認知結(jié)構(gòu)的起點和核心，或者說是人類認識事物的基礎(chǔ)。 圖式的形成和變化是認知發(fā)展的實質(zhì)。,認知結(jié)構(gòu)的另一名稱——圖式 Robert M.Gagne:圖式是以適當方式組織

4、起來的言語信息，以便于學習者能表征問題. 實際上，圖式是一些觀念及其關(guān)系的集合，并形成學習者“可用來理解”的類別。 圖式有簡單和復雜、抽象和具體、高級和低級之分。簡單的圖式可以只是一個字符,復雜的圖式可以由幾個子圖式構(gòu)成。,3.數(shù)學認知結(jié)構(gòu)與數(shù)學知識結(jié)構(gòu)的區(qū)別：(1)表達形式不同 數(shù)學知識結(jié)構(gòu)是以數(shù)學符號語言為載體來表達和記載的； 數(shù)學認知結(jié)構(gòu)則是數(shù)學知識結(jié)構(gòu)在學習者腦中的反映，它以概念

5、言語信息和與之相對應(yīng)的數(shù)學表象信息兩種方式貯存于長時記憶中.,(2)形成的過程不同 數(shù)學知識結(jié)構(gòu)是人類數(shù)學歷史發(fā)展的產(chǎn)物，是數(shù)學成果的積累、概括與總結(jié)，其過程往往需要數(shù)百年甚至更長的時間； 數(shù)學認知結(jié)構(gòu)則主要是學習者在學習數(shù)學知識結(jié)構(gòu)的過程中逐步積累起來的,可以在較短的時間內(nèi)完成.,（3）數(shù)學知識結(jié)構(gòu)是對客觀世界在數(shù)學方面 的反映，具有準確的科學性、嚴謹?shù)倪壿嬓院屯陚涞南到y(tǒng)性,它是客觀的,不以個人的意志為

6、轉(zhuǎn)移； 數(shù)學認知結(jié)構(gòu)則是學習者對數(shù)學知識結(jié)構(gòu)的主觀反映，有鮮明的個人特色.,二、數(shù)學認知結(jié)構(gòu)的基本形態(tài) 1.概念圖式 2.原理圖式 3.認知策略圖式,1.概念圖式 概念圖式由一些反映概念屬性的觀念組成. 概念圖式中觀念的多少、觀念的準確與否、觀念的深刻程度是反映概念理解水平的重要因素。,1.概念圖式 概念的層次結(jié)構(gòu)： 按抽象程度和類別將概念劃分

7、為一級一級的層次。 概念的語義網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)： 以語義聯(lián)系或語義相似性將概念組織起來。,良好的概念圖式是由一系列反映概念本質(zhì)屬性的觀念組成。比如， 的教學本質(zhì)是幫助學生建構(gòu)起認知圖式：“ 是一個數(shù)；它不會是負的；它的平方等于 ；在數(shù)軸上它可能是原點也可能在原點的右邊； 和 都是表示一個數(shù)的符號，他們沒有什么不同；……”“ 是一個數(shù)；它可正可負；……”字母 的圖式是……,,,,,,,2.原理圖

8、式 原理圖式由一些反映原理屬性的觀念組成。 原理圖式中觀念的多少、觀念的準確與否、觀念的深刻程度是反映原理理解水平的重要因素。勾股定理的各種圖式……,勾股定理的各種圖式：低級的圖式： 言語圖式…… 符號圖式…… 圖形圖式……高級的圖式： 產(chǎn)生式…… 結(jié)構(gòu)圖式……,3.認知策略圖式 （1）一般認知策略 （2）元認知策略,3.認知策略圖式 （1）

9、一般認知策略 ①復述策略 ②精加工策略：給學習內(nèi)容賦予意義，構(gòu)建聯(lián)系. 如：人為聯(lián)想、做摘錄、劃線、列提綱與標題、提問、記筆記. ③組織策略.如形成概念圖、分類、類推、敘事、概括.,④解決問題的策略 如表征問題的策略、波利亞的策略、奧加涅相的策略、舍費爾德的策略、化陌生為熟悉的觀念、化繁為簡的觀念、特殊與一般的互化的觀念、正難則反的觀念、順推與逆推之結(jié)合的觀念、動靜之轉(zhuǎn)化的觀念 心

10、理學家將人們頭腦中對外界事物的描述稱為表征[1]， [1] 約翰.安德森．認知心理學及其啟示[M]．秦裕林等譯．人民郵電出版社，145．,3.認知策略圖式 （2）元認知策略 ①制定認知計劃 ②實際控制認知過程 ③及時檢查認知結(jié)果 ④及時調(diào)整認知計劃 ⑤在認知活動偏離目標時采取補救措施，對自己的注意力或行為進行自我管理.,什么是元認知？ 元認知（metacognition)：關(guān)于認知的

11、認知.是主體對自身認知活動的認知。它包括 1.元認知知識：有關(guān)認知的知識，即個體關(guān)于自己的認知能力、認知策略的知識. 2.元認知體驗：伴隨著認知活動的認知體驗或情感體驗。包括意識到的、能表達的和模糊的、表達不清的體驗.,3.元認知監(jiān)控：個體對自身學習過程的有效監(jiān)視、控制和調(diào)節(jié).,元認知和認知的區(qū)別： 1.認知活動的內(nèi)容是對認知對象進行某種智力操作； 元認知活動的內(nèi)容是對認知活動進行監(jiān)

12、控與調(diào)節(jié). 2.認知活動的對象較具體；元認知活動的對象是抽象的認知過程. 3.認知的目的是取得認知活動的進展；而元認知是監(jiān)控認知活動的進展并間接地促進這種進展.（檢查一遍，驗算）,三、數(shù)學認知結(jié)構(gòu)的元素,數(shù)學認知結(jié)構(gòu)中的基本元素稱為節(jié)點，它可能是言語信息，也可能是表象信息。我們把主體在數(shù)學活動中的心象叫做數(shù)學表象（mathematical image）。數(shù)學表象是人腦對數(shù)學物象進行形式結(jié)構(gòu)的特征概括而得到的觀

13、念性形象。它是通過邏輯思維的滲透和數(shù)學語言作物質(zhì)外殼，運用典型化的手段概括了的理想化形象。,數(shù)學表象與數(shù)學的外部表征密切相關(guān)1.數(shù)學的外部表征 數(shù)學的外部表征是指傳遞知識、思想而使用的外部交流工具。例如，在教師講解時，使用了口頭語言，并寫下文字、符號，畫出圖形、圖象，還可能展示實物或數(shù)學模型。這些東西對于學生來說，就是數(shù)學的外部表征。,Bruner認為，數(shù)學對象的表征有三類：動作表征、映像表征、符號表征，并且它們是按這樣的前后順

14、序出現(xiàn)和發(fā)展的。（1）動作表征是通過適當?shù)幕顒臃磻?yīng)，表示過去的事件的表征方式，它具有具體性、物質(zhì)性的特點。 動作表征是通過動作操作來認識事物。,（2）映象表征，是指通過心理表象來認知事物,即使用心理表象作為某些客體的替代物.它是比動作表征高一級的認知方式. 映象表征是在動作表征的基礎(chǔ)之上經(jīng)過內(nèi)化、記憶的作用而發(fā)展形成的. 映象表征是比動作表征更復雜的認知形式.在動作表征中，一個刺激只產(chǎn)生一個反應(yīng)（認識）

15、.但在映象表征中，對一個刺激可以對它所具有的兩個側(cè)面同時作出反應(yīng).,（三）符號表征是依靠語言符號來表現(xiàn)的認知. 客觀對象經(jīng)過人知覺后就形成心理映象（知覺形象或表象），通過刺激反應(yīng)學習，就在表象和語言符號之間建立聯(lián)結(jié)，也即是說將表象同主體相分離，物化為語言符號，于是就在客觀對象和語言符號之間建立了刺激反應(yīng)聯(lián)結(jié). 它具有抽象性、概括性、間接性和任意性的特點.布魯納將其視為認知發(fā)展的第三階段或知識掌握的最高水平.

16、,Lesh在Bruner的理論基礎(chǔ)上將表征方法發(fā)展為五種，分別是書面符號、口頭語言、操作性模型、圖形和實物。,他認為，這5種表征方法之間不一定存在先后的發(fā)展次序，主要應(yīng)重視它們之間的轉(zhuǎn)換和相互影響，因為這種轉(zhuǎn)換和影響對于學生的概念形成和理解有重要的意義.（如圖2－9）知識的這些外部表征及其轉(zhuǎn)換和聯(lián)系，將共同參與學生的思考活動，被他們選取、改造和適應(yīng)，轉(zhuǎn)變?yōu)樾睦砩系谋碚鳌?2.數(shù)學思維的媒介——心理表象,現(xiàn)代認知理論認為，長期記憶中的

17、信息形態(tài)是一種“語義象征”。對應(yīng)于“輸入信息一長期記憶一輸出信息”的過程，在大多數(shù)情況下，它的內(nèi)容經(jīng)歷了“輸入詞語一語義象征一輸出詞語”的過程。當學習發(fā)生的時候，學生實際上是在對書本和教師傳達的信息進行各自的加工和編碼，形成自己的有關(guān)該概念的語義象征，并且利用它進行記憶和思考，也就是說，描述概念時要用語言，但想象時使用的是語義象征。,Davis認為，記憶中存貯的信息的形式有三種既不排斥、也不包含的可能性：（1）信息以語言文字、命題的

18、方式存貯；（2）信息以圖畫的方式存貯；（3）信息的存貯既不是詞句形式，也不是圖畫形式。Poincare（1988）認為存在兩種思維類型：“邏輯主義者”的思維方式和“直覺主義者”的思維方式。在學生中也有類似的差別，一種人偏愛用“解析學”方式處理問題，另一類人偏愛用“幾何學”方式來處理。,Kruteskii（1984）在研究中也曾提到人的兩種不同的思維方式或習慣：語言－ 邏輯方式和視覺－ 圖形方式。他把傾向于語言－邏輯思考方式的學

19、生稱為“分析型”，把傾向于視覺－圖形思考方式的學生稱為“幾何型”。還有一些學生并不偏愛某一種方式，他稱之為“協(xié)調(diào)型”。分析型的學生的言語系統(tǒng)比較發(fā)達幾何型的學生的表象系統(tǒng)比較發(fā)達,數(shù)學家反省報告表明： 數(shù)學思維是借助于言語符號激活表象而進行的。言語符號圖形是外部表征，而表象則是內(nèi)部表征。表象是數(shù)學思維的核心元素。Hadamard的調(diào)查表明： 幾乎所有的人不僅在思維過程中避免使用語言，甚至還避免使用代數(shù)符號或任何其它

20、的固定符號。總是運用模糊的表象進行思考.,學生學習時是如何表征的？,英國數(shù)學家Griffiths 在討論數(shù)學中的直覺和領(lǐng)悟時曾提出，數(shù)學中最常用的思維媒介是數(shù)學結(jié)構(gòu)的模型和實例。他認為，對初學者來說，幾何圖形比代數(shù)符號更容易掌握接受。他的結(jié)論是：“領(lǐng)悟數(shù)學理論看來涉及認識該理論在物理、幾何及數(shù)學的一些更熟悉、更容易理解的那些部分中的一個模型。例如，利用數(shù)軸來認識不等式 的解。,學生學習時是如何表征的？,19

21、93年Brown等（PME17）對學生進行數(shù)學推理時所利用的意象問題報告了研究結(jié)果，歸納出學生常用的五種意象： 具體意象 記憶意象 動覺意象 動態(tài)意象 模型意象,具體意象是指思維中的圖像（視覺形象）記憶意象就是靜態(tài)視覺意象。 學生利用強記能力，在思維中以視覺再現(xiàn)公 式、框圖、算法等。動覺意象表現(xiàn)為

22、一種肌肉活動。動作操作動態(tài)意象是在心理上出現(xiàn)移動的視覺意象。 如圖形的平移，旋轉(zhuǎn)等。,模式意象則是抽象的意象，不需利用具體工具. (a,b)+(c,d)=(ad+bc,bd) 形式運算表象：（外積+內(nèi)積，尾積） (a+b)(c+d)=ac+bd+bc+ad的三種記憶方式[6]： 示意編碼（先用a去乘，再用 b去乘……） 圖形編碼（大小矩形的面積關(guān)系） 標簽編碼（前前+后

23、后+里里+外外）,從數(shù)學的立場上看，思維表象與數(shù)學對象本身存在著一定的差距，但是，表象并不像某些人認為的是“表面現(xiàn)象”。心理學方面的深入研究認為，表象并不只是思考時借用的“思維圖象”，或只是從記憶恢復出來的直觀東西，它還具有更深刻的意義。,Piaget曾將表象劃分為不同層次的三種類型：第一種是由內(nèi)化的模仿活動形成的表象。第二種是通過基本的思想實驗來建立的表象，這時它不僅起代表對象的作用，而且表示了心理上操作活動的發(fā)展的階段或結(jié)果

24、。第三種是思維運算的動態(tài)的符號，利用它能夠支持和推進思想實驗和推理。,數(shù)學表象：主體在數(shù)學活動中的心象。它是數(shù)學形象思維的心理元素。[2]對數(shù)學表象的分類有以下幾種：（1）按材料內(nèi)容的不同來分：圖形表象:人腦對幾何圖形感知而形成的表象.圖式表象:對數(shù)學式子，結(jié)構(gòu)，關(guān)系，模型感 知而形成的表象。,（2）從創(chuàng)造的角度來看，分成 記憶表象：對客體的一種主觀經(jīng)驗（視覺的，聽覺的等等）這個客體對于經(jīng)歷過這

25、種經(jīng)驗的人來說，曾經(jīng)作為一種刺激存在過，但現(xiàn)在并不存在于知覺的領(lǐng)域中。（如“父親”）創(chuàng)造表象：對一個客體的主觀經(jīng)驗，而這個客體對于經(jīng)歷過這種經(jīng)驗的人來說，從來沒作為一種刺激存在過，它是一種想象出來的客體。如“美人魚” 。,（3）從數(shù)學表象的構(gòu)成來分 單象：單個的表象，它也是最簡單的表象。例如， 點，線，面在人腦中反映出的表象就是單象. 復合象：兩個或兩個以上的單象的組合。

26、單象和復合象的劃分是相對而言的。從整體上看，復合象也可以被視為單象，而單象有時還可以看成是由另外的單象組合而成的。（4）依照數(shù)學表象的層次結(jié)構(gòu)分,數(shù)學表象可以相對地分為低級表象和高級表象。如變換的思想，化歸的觀念等就屬于高層次的數(shù)學表象.,2.2心理表象的特點,（1）表象是相對形象的、具體的（2）表象具有綜合性和整體性（3）表象常常有不全面、不精確、不 深刻的弱點（……？）（4）表象有一個發(fā)展過程（5）表象因人而

27、異、因事而異,3.表象與定義的關(guān)系,3.1表象是最活躍的心理因素概念表象——描述的是與概念有關(guān)的認知結(jié)構(gòu)，它包括了所有的心理圖形和有關(guān)的性質(zhì)和過程。(Vinner和Hershkowitz，1980）,概念表象在心理上有著概念定義無法替代的獨特的功效，學習中概念名稱的出現(xiàn)是對我們記憶的一個外部動因，它喚起了記憶中的某些東西。在通常情況下，這些東西不是概念的定義，而是概念表象，是人們頭腦中與概念名稱有關(guān)的非語言的東西，它可以是視覺表象

28、，思維圖形，或是一個印象或經(jīng)驗。 例如一個模型，一條曲線，一個符號，一組變化的動作.這類表象可以轉(zhuǎn)換成文字的形式，但是，這些文字形式不是我們記憶中最早喚起的東西，它們只是在稍后的階段出現(xiàn)。,記憶中的信息通常不是逐字逐句的形式，而是“語義象征”，它將幫助人們提取和捕獲信息的意義。在思想中無法出現(xiàn)詞語，或是詞語不正確的情況下，語義象征卻能不被混淆地顯現(xiàn)出來，發(fā)揮作用。,數(shù)學學習中的情況是類似的。例如，在提到“中位線”時，腦子中出現(xiàn)的不是逐

29、字逐句的定義，而是三角形或梯形中的那么一條線段。得益于表象的具體、形象的特點，我們的思維將可以運轉(zhuǎn)得迅速靈活，表象是我們心理上的最活躍的因素。無論是普通人還是數(shù)學家都會利用表象；不論是好學生還是差學生都適宜利用表象。,3.2定義是概念建構(gòu)的腳手架,Vinner認為“：獲得概念就是形成概念表象，用心學習定義不保證理解。”定義會幫助形成概念的表象，但在表象形成的時候，定義就不是必要的了。因而可將定義稱為概念形成的腳手架，概念大廈建成

30、以后，腳手架就沒有保留的必要了。定義與概念是不同的，學生要掌握的是概念，定義則是概念的一種外部表達方式，是認識概念實體的工具之一.,3.2定義是概念建構(gòu)的腳手架,著名的數(shù)學教育學家Freudenthal于1987年在華東師范大學講學時，指出：實際生活中，許多概念并不是通過定義學到的，而是接觸了大量實例，經(jīng)反復觀察、對比體會后歸納出來的。但是，在“學術(shù)”場合中，一些概念如果缺少了明白、準確的定義，就有被混淆的可能。如空間、函數(shù)、群的概

31、念，是在數(shù)學研究中構(gòu)造出來的思維對象，不是現(xiàn)實對象，學生缺乏感受，就要利用定義來表達。所以，學校中數(shù)學教學仍然不能脫離定義。,3.2定義是概念建構(gòu)的腳手架,定義在邏輯上是正確的，然而它并未因此顯示出對象真正的實在性，為了掌握和評價概念，必定需要實在的直覺。數(shù)學教師不同于數(shù)學家的一個方面在于，我們不是要創(chuàng)造新的概念，而是要創(chuàng)造理解。善于將數(shù)學概念的抽象定義的含意轉(zhuǎn)換成易于學生理解和運用的適當?shù)男睦肀硐?，幫助學生靈活地掌握概念。,四、數(shù)

32、學認知結(jié)構(gòu)的作用,Shemp(1971)提出，在數(shù)學學習中，圖式的基本認知作用有兩個：（1）使已學的知識得到完整的組織；（2）學習新知識的智力工具。Driscoll M.P.指出[5]，圖式的作用有三個： （1）理解文本（言語陳述）； （2）理解事件并指導行動； （3）解決問題.,而Piaget（1979）則從哲學的高度對一般性的結(jié)構(gòu)作了較完整的分析。他認為，結(jié)構(gòu)是由多種轉(zhuǎn)換關(guān)系構(gòu)成的整體，整體綜

33、合了全體元素的特性，并在轉(zhuǎn)換關(guān)系的支配下獲得自我調(diào)節(jié)，成為內(nèi)部協(xié)調(diào)的、具有一定整體意義的系統(tǒng)，所以，結(jié)構(gòu)的特征是整體性、轉(zhuǎn)換性和自我調(diào)節(jié)性。,五、數(shù)學認知結(jié)構(gòu)的優(yōu)化[2],1.評價數(shù)學認知結(jié)構(gòu)的標準 數(shù)學教育的目的是提高學生的數(shù)學問題解決能力.而數(shù)學問題解決能力的高低則取決于數(shù)學認知結(jié)構(gòu)的優(yōu)劣。良好的數(shù)學認知結(jié)構(gòu)的特征包括： （1）足夠多的觀念； （2）具備穩(wěn)定而又靈活的產(chǎn)生式； （3）層次分明的觀念網(wǎng)絡(luò)結(jié)

34、構(gòu)； （4）一定的問題解決策略的觀念.,2.建構(gòu)良好數(shù)學認知結(jié)構(gòu)的教學策略,（1）熟悉學生原有的數(shù)學認知結(jié)構(gòu) （2）創(chuàng)設(shè)良好的問題情境 （讓學生明白自己將要學到什么或?qū)⒁邆涫裁?能力；能造成認知沖突 ；問題情境是學生熟悉 的 ；提出問題的方式和問題的難度是適宜的.） （3）突出數(shù)學思想方法的教學 （4）注意整體性教學 （注意知識組塊的教學；實施由整體到部分，再由

35、 部分到整體的教學）,思考研討問題： 1.分析[1]中P37的作三角形的高的錯誤原因 2.您對[1]中P44-45的絕對值教學案例有什么 看法？ 3.您對數(shù)學概念的測評有何高見.,本科課程復習問題,1. 感覺與知覺有什么區(qū)別和聯(lián)系？2. 分別舉例說明知覺的四個特性。3. 一般人都認為“眼見為實”，您的觀點是什么，為什么？4. 試研究數(shù)學學習中的錯覺現(xiàn)象及其教學對策。5. 從知覺的理解性看

36、數(shù)學學習中的理解。6. 舉例說明什么叫做表象。7. 短時記憶有什么局限性，如何克服？8. 什么是長時記憶的雙重編碼說？[1]中沒有,,,參考文獻：,[1]李士锜，PME數(shù)學教育心理[M]．上海：華東師范大學出版，2001．P22-63[2]何小亞，數(shù)學學與教的心理學[M]．廣州：華南理工大學出版社，2011．[3]曹才翰，章建躍，數(shù)學教育心理學[M]．北京：北京師范大學出版社，2006．[4]莫雷，教育心理學 [M]．廣州：