哈工程線性控制原理系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)的穩(wěn)定性

1、1,穩(wěn)定性是系統(tǒng)的重要特性，是系統(tǒng)正常工作的必要條件。,第5章 李亞普諾夫穩(wěn)定性分析,穩(wěn)定的擺,不穩(wěn)定的擺,,第5章 李亞普諾夫穩(wěn)定性分析,,,2,外部穩(wěn)定性通過系統(tǒng)輸入輸出關(guān)系來描述系統(tǒng)穩(wěn)定性,內(nèi)部穩(wěn)定性通過零輸入下狀態(tài)運(yùn)動(dòng)的響應(yīng)來描述系統(tǒng)穩(wěn)定性,描述穩(wěn)定性的兩種方法,第5章 李亞普諾夫穩(wěn)定性分析,第5章 李亞普諾夫穩(wěn)定性分析,第5章 李亞普諾夫穩(wěn)定性分析,第5章 李亞普諾夫穩(wěn)定性分析,,,3,第5章 李亞普諾夫穩(wěn)定性

2、分析,,,在研究運(yùn)動(dòng)的內(nèi)部穩(wěn)定性時(shí)，為體現(xiàn)出系統(tǒng)自身結(jié)構(gòu)的特點(diǎn)，常限于研究沒有外部輸入作用時(shí)的系統(tǒng)。也就是說內(nèi)部穩(wěn)定性表現(xiàn)為系統(tǒng)的零輸入響應(yīng)，即在輸入恒為零時(shí)，系統(tǒng)的狀態(tài)演變的趨勢(shì)。,李雅普諾夫穩(wěn)定性理論是確定系統(tǒng)穩(wěn)定性的更一般性理論，不僅適用于線性定常系統(tǒng)，而且適用于非線性、時(shí)變系統(tǒng)。,4,,,,李亞普諾夫第一法（間接法）,利用線性系統(tǒng)微分方程的解來判斷系統(tǒng)穩(wěn)定性。由于間接法需要解系統(tǒng)微分方程，并非易事，所以間接法的應(yīng)用受到了很大的

3、限制。,先利用經(jīng)驗(yàn)和技巧來構(gòu)造李亞普諾夫函數(shù)，再利用李亞普諾夫函數(shù)來判斷系統(tǒng)穩(wěn)定性。直接法不需解系統(tǒng)微分方程，獲得廣泛應(yīng)用。,,李亞普諾夫第二法（直接法）,第5章 李亞普諾夫穩(wěn)定性分析,,,5,第5章 李亞普諾夫穩(wěn)定性分析,,第5章 李亞普諾夫穩(wěn)定性分析,,,6,一 外部穩(wěn)定性,第5章 李亞普諾夫穩(wěn)定性分析,,,一．外部穩(wěn)定性,1．外部穩(wěn)定性的定義,對(duì)于一個(gè)因果系統(tǒng)，假定系統(tǒng)的初始條件為零，如果對(duì)任意一個(gè)有界輸入u(t), 即滿足

4、 的一個(gè)任意輸入u(t)，對(duì)應(yīng)的輸出y(t)均為有界，即有則稱此系統(tǒng)是外部穩(wěn)定的。也稱為有界輸入-有界輸出穩(wěn)定，簡(jiǎn)寫為BIBO穩(wěn)定。,,,7,對(duì)于零初始條件的p維輸入和q維輸出連續(xù)時(shí)間線性時(shí)變系統(tǒng)，表G(t,τ)為其脈沖響應(yīng)矩陣，則系統(tǒng)為BIBO穩(wěn)定的充分必要條件為，存在一個(gè)有限正常數(shù)k，使對(duì)于一切 ， G(t,τ)的每一個(gè)元

5、 均滿足關(guān)系式：,第5章 李亞普諾夫穩(wěn)定性分析,,,2. 線性時(shí)變系統(tǒng)BIBO穩(wěn)定判據(jù),,,8,對(duì)于零初始條件的p維輸入和q維輸出連續(xù)時(shí)間線性定常系統(tǒng)，G(t)為其脈沖響應(yīng)矩陣，G(s)為其傳遞函數(shù)矩陣，則系統(tǒng)為BIBO穩(wěn)定的充分必要條件為，存在一個(gè)有限正常數(shù)k，使G(t)的每一個(gè)元

6、 均滿足關(guān)系式：或等價(jià)地，真或嚴(yán)真的傳遞函數(shù)矩陣G(s)的所有極點(diǎn)均具有負(fù)實(shí)部。,第5章 李亞普諾夫穩(wěn)定性分析,,,3. 線性定常系統(tǒng)BIBO穩(wěn)定判據(jù),,,9,考慮輸入變量u=0的連續(xù)時(shí)間線性時(shí)變系統(tǒng)即自治系統(tǒng) 如果由時(shí)刻t0任意非零初始狀態(tài)x(t0)=x0引起的零輸入響應(yīng)x0u對(duì)所有 為有界，并滿足

7、漸近屬性，即成立則稱該系統(tǒng)為內(nèi)部穩(wěn)定的，或漸近穩(wěn)定的。,第5章 李亞普諾夫穩(wěn)定性分析,,,二．內(nèi)部穩(wěn)定性,1．內(nèi)部穩(wěn)定性的定義,,10,對(duì)n維連續(xù)時(shí)間線性時(shí)變自治系統(tǒng)系統(tǒng)在時(shí)刻t0是內(nèi)部穩(wěn)定的充要條件為：狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣 對(duì)所有 為有界,并滿足漸近屬性即成立：,第5章 李亞普諾夫穩(wěn)定性分析,,,2. 線性時(shí)變系統(tǒng)內(nèi)部穩(wěn)定判據(jù),注意：內(nèi)部穩(wěn)定性是指自治系統(tǒng)狀態(tài)自由運(yùn)動(dòng)的穩(wěn)定性，也即李亞

8、普諾夫意義下的漸近穩(wěn)定，它是由系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)和參數(shù)決定的。,11,對(duì)n維連續(xù)時(shí)間線性定常自治系統(tǒng)系統(tǒng)是內(nèi)部穩(wěn)定的充要條件為：矩陣指數(shù)函數(shù)滿足關(guān)系式,第5章 李亞普諾夫穩(wěn)定性分析,,,3. 線性定常系統(tǒng)內(nèi)部穩(wěn)定判據(jù)1,12,對(duì)n維連續(xù)時(shí)間線性定常自治系統(tǒng)系統(tǒng)是內(nèi)部穩(wěn)定的充要條件為：系統(tǒng)矩陣A的所有特征值 均具有負(fù)實(shí)部,即成立：,第5章 李亞普諾夫穩(wěn)定性分析,,,4. 線性定常系

9、統(tǒng)內(nèi)部穩(wěn)定判據(jù)2,,13,,外部穩(wěn)定性,,內(nèi)部穩(wěn)定性,,,,既能控又能觀時(shí),第5章 李亞普諾夫穩(wěn)定性分析,,,三．線性定常系統(tǒng)內(nèi)部穩(wěn)定性和外部穩(wěn)定性之間的關(guān)系,14,例1（補(bǔ)充）已知系統(tǒng)的狀態(tài)空間描述為判斷系統(tǒng)的BIBO穩(wěn)定性和漸近穩(wěn)定性。,,解：（1）傳遞函數(shù)矩陣,,即 ，求得G(s)的極點(diǎn) 具有負(fù)實(shí)部，所以系統(tǒng)是BIBO穩(wěn)定的。,第5章 李亞普諾夫穩(wěn)定性

10、分析,,,15,第5章 李亞普諾夫穩(wěn)定性分析,,,（2）由系統(tǒng)特征方程,,求得系統(tǒng)矩陣A的特征值為 ，因其具有一個(gè)正的實(shí)特征值，不滿足系統(tǒng)矩陣A的特征值均具有負(fù)實(shí)部的條件，所以不是漸近穩(wěn)定的。,16,1．自治系統(tǒng),沒有外輸入作用時(shí)的系統(tǒng)稱為自治系統(tǒng)，可用如下系統(tǒng)狀態(tài)方程來描述:,,式中：x為n維狀態(tài)向量，f(x,t)為線性或非線性、定?；驎r(shí)變的n維函數(shù)。具體為n個(gè)一階微分方程：,,第5

11、章 李亞普諾夫穩(wěn)定性分析,,,17,,,假定自治系統(tǒng)狀態(tài)方程是滿足解的存在且唯一性條件的，則可將系統(tǒng)由t0初始時(shí)刻的初始狀態(tài)x0所引起的運(yùn)動(dòng)（即狀態(tài)方程的解）表為：,,則初始狀態(tài)x0必滿足φ(t0;x0,t0)=x0。由于這一運(yùn)動(dòng)是由初始狀態(tài)的擾動(dòng)引起的，因此常稱其為系統(tǒng)的受擾運(yùn)動(dòng)。,2. 受擾運(yùn)動(dòng),第5章 李亞普諾夫穩(wěn)定性分析,18,3. 平衡狀態(tài)(※),對(duì)于所有t，滿足 的狀

12、態(tài)xe稱為平衡狀態(tài)。,,若已知系統(tǒng)狀態(tài)方程，令 所求得的解x，就是平衡狀態(tài)。在大多數(shù)情況下，xe=0即狀態(tài)空間原點(diǎn)為系統(tǒng)的一個(gè)平衡狀態(tài)。此外系統(tǒng)也可以有非零平衡狀態(tài)。系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)的穩(wěn)定性，就是研究其平衡狀態(tài)的穩(wěn)定性，也即偏離平衡狀態(tài)的受擾運(yùn)動(dòng)能否依靠系統(tǒng)內(nèi)部的結(jié)構(gòu)因素而返回到平衡狀態(tài)，或者限制在它的一個(gè)有限鄰域內(nèi)。,,第5章 李亞普諾夫穩(wěn)定性分析,,,19,4. 李亞普諾夫意義下的穩(wěn)定性,若對(duì)于任

13、意實(shí)數(shù)ε>0，都存在一個(gè)實(shí)數(shù)δ(ε,t0)>0, 使得從滿足不等式的任一初始狀態(tài)x0出發(fā)的受擾運(yùn)動(dòng)都滿足不等式 則稱系統(tǒng)平衡狀態(tài)xe在t0是李亞普諾夫意義下穩(wěn)定的.式中： 為歐幾里得范數(shù)，其幾何意義是空間距離的尺度。,,第5章 李亞普諾夫穩(wěn)定性分析,,,20,在上述穩(wěn)定的定義中，實(shí)數(shù)δ通常與ε和初始時(shí)刻t0都有關(guān)，如果δ只依賴于ε，而和t0的選取無關(guān)，則稱平衡狀態(tài)xe是李亞普諾夫意義下一

14、致穩(wěn)定的。,該定義的幾何含義是：設(shè)系統(tǒng)初始狀態(tài)x0位于以平衡狀態(tài)xe為球心、δ為半徑的閉球域S(δ)內(nèi)，即若能使系統(tǒng)方程的解φ(t;x0,t0)在t→∞的過程中，都位于以xe為球心，任意規(guī)定的半徑為ε的閉球域S(ε)內(nèi)，即,,則稱平衡狀態(tài)xe在t0是李亞普諾夫意義下穩(wěn)定的。,第5章 李亞普諾夫穩(wěn)定性分析,,,21,5. 漸近穩(wěn)定性,若系統(tǒng)的平衡狀態(tài)xe不僅具有李亞普諾夫意義下的穩(wěn)定性，且有則稱此平衡狀態(tài)xe是漸近穩(wěn)定的。,經(jīng)

15、典控制理論中的穩(wěn)定性定義與漸近穩(wěn)定性對(duì)應(yīng)。,若δ與t0無關(guān)，且上式的極限過程與t0無關(guān)，則稱平衡狀態(tài)是一致漸近穩(wěn)定的。,從工程觀點(diǎn)而言，漸近穩(wěn)定更為重要。漸近穩(wěn)定即為工程意義下的穩(wěn)定，而李亞普諾夫意義下的穩(wěn)定則是工程意義下的臨界不穩(wěn)定。,第5章 李亞普諾夫穩(wěn)定性分析,,,22,6. 大范圍(全局)漸近穩(wěn)定性,如果對(duì)于任意初始狀態(tài)x0 ，都能保證成立，則稱系統(tǒng)的平衡狀態(tài)xe是大范圍漸近穩(wěn)定的，也稱為全局漸近穩(wěn)定。,也就是說當(dāng)初始條

16、件擴(kuò)展至整個(gè)狀態(tài)空間，且平衡狀態(tài)xe均具有漸近穩(wěn)定時(shí)，稱此平衡狀態(tài)xe是大范圍漸近穩(wěn)定的。,大范圍漸近穩(wěn)定系統(tǒng)只能有一個(gè)平衡狀態(tài)?。?！,第5章 李亞普諾夫穩(wěn)定性分析,,,23,7. 不穩(wěn)定性,如果對(duì)于某個(gè)實(shí)數(shù)ε>0和任一實(shí)數(shù)δ>0，不管ε有多么大,也不管δ有多么小，在S(δ)內(nèi)總存在著一個(gè)狀態(tài)x0，使得由這一狀態(tài)出發(fā)的軌跡超出S(ε) ，則平衡狀態(tài)xe就稱為是不穩(wěn)定的。,第5章 李亞普諾夫穩(wěn)定性分析,,,24,,,,xe

17、,x0,,,,,xe 李亞普諾夫意義下穩(wěn)定,,,,xe,x0,,xe 漸近穩(wěn)定,,,,xe,x0,xe 全局漸近穩(wěn)定,,,,,,xe,x0,,xe 不穩(wěn)定,,,第5章 李亞普諾夫穩(wěn)定性分析,,,25,李亞普諾夫第二法直接從系統(tǒng)的狀態(tài)方程出發(fā)，通過構(gòu)造一個(gè)類似于“能量”的李亞普諾夫函數(shù)，并分析它和其一階導(dǎo)數(shù)的符號(hào)特征，從而獲得系統(tǒng)穩(wěn)定性的有關(guān)信息。該方法無需求出系統(tǒng)狀態(tài)方程的解，故又稱為直接法。,第5章 李亞普諾夫穩(wěn)定性分析,,,26,李

18、亞普諾夫函數(shù)是狀態(tài)變量 x 及時(shí)間 t 的正定標(biāo)量函數(shù)，具有以下性質(zhì)：,一. 李亞普諾夫函數(shù),若不顯含時(shí)間變量t，李亞普諾夫函數(shù)記為 V(x)。,第5章 李亞普諾夫穩(wěn)定性分析,,,27,,標(biāo)量函數(shù)V(x)對(duì)所有S域（域S包含狀態(tài)空間的原點(diǎn)）中的非零狀態(tài)x有V(x)>0且V(0) = 0，則稱V(x)在S域內(nèi)是正定的。,如果時(shí)變函數(shù)V(x,t)有一個(gè)正定函數(shù)作為下限，也就是說，存在一個(gè)正定函數(shù)W(x) ，使得則稱時(shí)變函數(shù)V(

19、x,t)在域S（域S包含狀態(tài)空間的原點(diǎn)）內(nèi)是正定的。,,1．正定函數(shù)：,第5章 李亞普諾夫穩(wěn)定性分析,,,二．基本概念回顧,28,2. 負(fù)定函數(shù)：如果-V(x)是正定函數(shù)，則標(biāo)量函數(shù)V(x)為負(fù)定函數(shù)。,3. 正半定函數(shù)：如果標(biāo)量函數(shù)V(x)除了原點(diǎn)及某些狀態(tài)處等于零外，在域S內(nèi)的所有其它狀態(tài)都是正定的，則V(x)為正半定函數(shù)。,4. 負(fù)半定函數(shù)：如果-V(x)是正半定函數(shù)，則標(biāo)量函數(shù)V(x)稱為負(fù)半定函數(shù)。,5. 不定函數(shù)：如果不論域

20、S多么小，在域S內(nèi)的V(x)可能是負(fù)值也可能為正值，則標(biāo)量函數(shù)V(x)稱為不定函數(shù)。,第5章 李亞普諾夫穩(wěn)定性分析,,,29,設(shè)實(shí)系數(shù)二次型V(x)=xTAx，其中A是實(shí)對(duì)稱方陣，如果對(duì)任何不全是零的實(shí)數(shù) ，簡(jiǎn)記為x≠0，函數(shù)值V(x)>0，則稱V(x)是正定的，同時(shí)也稱A是正定的，記為A >0。,6．正定矩陣：,,單位陣是正定的：,,,第5章 李亞普諾夫穩(wěn)定性分析,,,說明：由上述定義可見二次型函數(shù)V(

21、x)=xTAx與其權(quán)矩陣A的定號(hào)性完全一致。因此判斷V(x)的定號(hào)性只要判別矩陣A的定號(hào)性即可。,30,實(shí)對(duì)稱陣A > 0的充要條件是 ① 存在可逆實(shí)方陣C，使A=CTC。 或② A的所有特征值全都大于0。 或③ A順序主子式(即位于左上角的主子式)全大于 0， 即,第5章 李亞普諾夫穩(wěn)定性分析,對(duì)角陣D=diag{d1,…, dn}正定的充要條件是所有對(duì)角元素di > 0

22、。這是因?yàn)?的充要條件是di > 0 。,,,31,,對(duì)于連續(xù)時(shí)間非線性時(shí)變自治系統(tǒng) ， 其中 ，如果存在一個(gè)對(duì)狀態(tài)x和時(shí)間t具有 連續(xù)一階偏導(dǎo)數(shù)標(biāo)量函數(shù)V(x, t), V(0, t) = 0，且滿足如下條件：,則系統(tǒng)的原點(diǎn)平衡狀態(tài)是大范圍一致漸近穩(wěn)定的。,三．李亞普諾夫第二法主要定理,第5章 李亞普諾夫穩(wěn)定性分析,,,1．定理5.1（大范

23、圍一致漸近穩(wěn)定判別定理）(時(shí)變),,(1) V(x, t)正定且有界；,(2) 負(fù)定且有界；,(3) 當(dāng)||x||→∞時(shí)，V(x, t) →∞。,32,2. 定理5.2 (定常系統(tǒng)大范圍漸近穩(wěn)定判別定理1),對(duì)于定常系統(tǒng)其中f(0)=0，如果存在一個(gè)具有連續(xù)一階導(dǎo)數(shù)的標(biāo)量函數(shù)V(x), V(0) = 0，并且對(duì)于狀態(tài)空間X中的一切非零點(diǎn)x滿足如下條件： 1） V(x)為正定； 2）

24、 為負(fù)定； 3） 當(dāng) 時(shí)， 。則系統(tǒng)的原點(diǎn)平衡狀態(tài)是大范圍漸近穩(wěn)定的。,,,,第5章 李亞普諾夫穩(wěn)定性分析,,,33,例5.2：設(shè)系統(tǒng)狀態(tài)方程為試確定系統(tǒng)的穩(wěn)定性。,,解：顯然, 原點(diǎn)(x1=0, x2=0)是該系統(tǒng)唯一的平衡狀態(tài)。選取正定標(biāo)量函數(shù)為:,則沿任意軌線V(x)對(duì)時(shí)間的導(dǎo)數(shù)為:,,是負(fù)定的。,故V(x)是系統(tǒng)的一個(gè)李亞普諾夫函數(shù)。

25、由于當(dāng) 時(shí)， ，故系統(tǒng)在原點(diǎn)處的平衡狀態(tài)是大范圍漸近穩(wěn)定的。,,第5章 李亞普諾夫穩(wěn)定性分析,,,34,3. 定理5.3 (定常系統(tǒng)大范圍漸近穩(wěn)定判別定理2),對(duì)于定常系統(tǒng)其中f(0)=0，如果存在一個(gè)具有連續(xù)一階導(dǎo)數(shù)的標(biāo)量函數(shù)V(x), V(0) = 0，并且對(duì)于狀態(tài)空間X中的一切非零點(diǎn)x滿足如下條件： 1） V(x)為正定； 2）

26、為負(fù)半定； 3） 對(duì)于任意 非零 ； 4） 當(dāng) 時(shí)， 。則系統(tǒng)的原點(diǎn)平衡狀態(tài)是大范圍漸近穩(wěn)定的。,,,,,,第5章 李亞普諾夫穩(wěn)定性分析,,,其物理含義是：允許系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)過程在某些狀態(tài)點(diǎn)上“能量”變化率為零，而由條件3）保證運(yùn)動(dòng)過程能夠脫離這類狀態(tài)點(diǎn)而繼續(xù)收斂到原點(diǎn)平衡狀態(tài)

27、。,,,,35,設(shè)系統(tǒng)狀態(tài)方程為,例5.3 設(shè)系統(tǒng)狀態(tài)方程為,試確定系統(tǒng)的穩(wěn)定性。,第5章 李亞普諾夫穩(wěn)定性分析,,,36,4. 定理5.4 (不穩(wěn)定的判別定理),對(duì)于定常系統(tǒng),,,， 其中,如果存在一個(gè)具有連續(xù)一階導(dǎo)數(shù)的標(biāo)量函數(shù)V(x)，其中V(0)=0 ，和圍繞原點(diǎn)的域Ω，使得對(duì)于一切 非零狀態(tài) 和一切 滿足如下條件：,1） V(x)為正定；2） 為正定；則系統(tǒng)平衡狀

28、態(tài)為不穩(wěn)定。,,,,,第5章 李亞普諾夫穩(wěn)定性分析,,,37,,其中，f(0)=0,即原點(diǎn)是系統(tǒng)唯一的平衡狀態(tài)。,非線性定常系統(tǒng)：,定義系統(tǒng)的雅可比矩陣為：,第5章 李亞普諾夫穩(wěn)定性分析,,,四．李亞普諾夫函數(shù)的構(gòu)造方法—克拉索夫斯基方法,38,第5章 李亞普諾夫穩(wěn)定性分析,,,命題1：對(duì)連續(xù)時(shí)間非線性定常系統(tǒng)和圍繞原點(diǎn)平衡狀態(tài)的一個(gè)域 ，設(shè)原點(diǎn)x=0是系統(tǒng)的唯一的平衡狀態(tài)，則對(duì) 成立：,,,

29、,,39,第5章 李亞普諾夫穩(wěn)定性分析,,,命題2：對(duì)連續(xù)時(shí)間非線性定常系統(tǒng)和圍繞原點(diǎn)平衡狀態(tài)的一個(gè)域 ，定義候選李亞普諾夫函數(shù)：則對(duì) ，V(x)為正定，即成立,,,,,,,40,第5章 李亞普諾夫穩(wěn)定性分析,,,命題3：對(duì)連續(xù)時(shí)間非線性定常系統(tǒng)和圍繞原點(diǎn)平衡狀態(tài)的一個(gè)域 ，若即負(fù)定，則有 ,即負(fù)定。其中：,,,,,,,

30、,,,41,第5章 李亞普諾夫穩(wěn)定性分析,,,,證：由 ，得,,42,第5章 李亞普諾夫穩(wěn)定性分析,,,結(jié)論1(克拉索夫斯基定理):對(duì)連續(xù)非線性定常系統(tǒng)和圍繞原點(diǎn)平衡狀態(tài)的一個(gè)域 ，原點(diǎn)x=0為域Ω內(nèi)唯一平衡狀態(tài)，若 ，則系統(tǒng)平衡狀態(tài)x=0為域Ω內(nèi)漸近穩(wěn)定，且為一個(gè)李亞普諾夫函數(shù)。進(jìn)而，如果原點(diǎn)x

31、=0為狀態(tài)空間Rn內(nèi)的唯一平衡狀態(tài)，且當(dāng) 時(shí)有 則系統(tǒng)原點(diǎn)平衡狀態(tài)是大范圍漸近穩(wěn)定的。,,,,,43,,,,,,,第5章 李亞普諾夫穩(wěn)定性分析,,,結(jié)論2：對(duì)連續(xù)時(shí)間線性定常系統(tǒng)矩陣A為非奇異矩陣，若 即負(fù)定，則原點(diǎn)平衡狀態(tài)x=0為大范圍漸近穩(wěn)定。,,,說明（補(bǔ)充）：1.克拉索夫

32、斯基定理提供的只是系統(tǒng)在平衡狀態(tài)漸近穩(wěn)定的充分條件。 的必要條件是雅可比矩陣F(x)主對(duì)角線上的元素都為負(fù)值。,,44,第5章 李亞普諾夫穩(wěn)定性分析,,,例5.4 已知連續(xù)時(shí)間非線性定常系統(tǒng),,試用克拉索夫斯基方法判斷系統(tǒng)的內(nèi)部穩(wěn)定性。,解：(1)由狀態(tài)方程可求得：原點(diǎn)為該系統(tǒng)唯一的平衡狀態(tài)。,,(2)計(jì)算雅可比矩陣,,負(fù)值,,45,第5章 李亞普諾夫穩(wěn)定性分析,,,(3)

33、矩陣 的各階順序主子式：,,,,,即 ，則,,46,第5章 李亞普諾夫穩(wěn)定性分析,,,,（4）又當(dāng) 時(shí)，有由結(jié)論1，原點(diǎn)平衡狀態(tài)為大范圍漸近穩(wěn)定。,,,相應(yīng)的一個(gè)李亞普諾夫函數(shù)為,,47,,,第5章 李亞普諾夫穩(wěn)定性分析,,,一．線性時(shí)不變系統(tǒng)的特征值穩(wěn)定判據(jù),李亞普諾夫第一法(間接法)利用狀態(tài)方程解

34、的特性來判斷系統(tǒng)的穩(wěn)定性，它適用于線性定常、線性時(shí)變以及非線性函數(shù)可線性化的情況。 具體到線性定常系統(tǒng)，可使用其特征值來判斷系統(tǒng)穩(wěn)定性。,48,,第5章 李亞普諾夫穩(wěn)定性分析,,,,結(jié)論5.22/5.23[特征值判據(jù)]：考慮線性定常自治系統(tǒng),系統(tǒng)的每一個(gè)平衡狀態(tài)是李亞普諾夫意義下穩(wěn)定的充分必要條件為：系統(tǒng)矩陣A的所有特征值均具有非正(負(fù)或零)實(shí)部，且實(shí)部為零的特征值是A的最小多項(xiàng)式的單根。,系統(tǒng)的唯一平衡態(tài)xe=0是漸近

35、穩(wěn)定的充要條件是：系統(tǒng)矩陣A的所有特征值均具有負(fù)實(shí)部。,49,最小多項(xiàng)式（補(bǔ)充）：,第5章 李亞普諾夫穩(wěn)定性分析,,,給定n階系統(tǒng)方陣A，由系統(tǒng)特征矩陣的逆,可以導(dǎo)出,,完全消去α(s)和adj(sI-A)各個(gè)元多項(xiàng)式間的公因式，得到 ,且P(s)和 的各個(gè)元多項(xiàng)式之間為互質(zhì)。定義 為系統(tǒng)矩陣A的最小多項(xiàng)式?？梢宰C明：最小多項(xiàng)式 也滿足凱萊—哈密爾頓定理，即成立

36、 。故通常也可定義最小多項(xiàng)式就是滿足凱萊—哈密爾頓定理的矩陣A的次數(shù)最低的首1多項(xiàng)式。,,,,,50,,,第5章 李亞普諾夫穩(wěn)定性分析,,2. 矩陣A的最小多項(xiàng)式是A的特征多項(xiàng)式的一個(gè),因子.（即矩陣A的最小多項(xiàng)式可以整除A的特征多項(xiàng)式）,,,51,,,定理：已知設(shè)m(s)為adj(sI-A)中所有元多項(xiàng)式的首1最大公因式,則 為矩陣A的最小多項(xiàng)式。,,,注：換言之，矩

37、陣A的最小多項(xiàng)式就是(sI-A)-1中所有元素的最小公分母。,第5章 李亞普諾夫穩(wěn)定性分析,,,,,52,,,例5.6（補(bǔ)充）：判斷下述線性定常系統(tǒng)的穩(wěn)定性,,解：(1)系統(tǒng)矩陣A為奇異矩陣，故系統(tǒng)存在無窮多個(gè)平衡狀態(tài)。系統(tǒng)的平衡狀態(tài)為 ，其中x1和x2為任意實(shí)數(shù)，即狀態(tài)空間中x1—x2平面上的每一個(gè)點(diǎn)均為平衡狀態(tài)。,,,得特征值分別為：

38、 。,2）解系統(tǒng)的特征方程,,第5章 李亞普諾夫穩(wěn)定性分析,,零實(shí)部??！,,,53,,,,(3),故最小多項(xiàng)式為φ(s)=s(s+1)。系統(tǒng)所有特征值均具有非正實(shí)部，且具有零實(shí)部的特征值是最小多項(xiàng)式的單根，因此系統(tǒng)的每一個(gè)平衡狀態(tài)都是李亞普諾夫意義下穩(wěn)定的。,第5章 李亞普諾夫穩(wěn)定性分析,,,54,例5.7（補(bǔ)充）：判斷下述線性定常系統(tǒng)的穩(wěn)定性,,解：系統(tǒng)矩陣A為非奇異，顯然原點(diǎn) x = 0 是系統(tǒng)的唯一平衡狀態(tài)。,,得特征值分別為：,

39、,系統(tǒng)的所有特征值都具有負(fù)實(shí)部，所以系統(tǒng)的唯一平衡狀態(tài)xe=0是漸近穩(wěn)定的。,解系統(tǒng)的特征方程,第5章 李亞普諾夫穩(wěn)定性分析,,,55,作為可能的李亞普諾夫函數(shù)?，F(xiàn)在只需保證是負(fù)定的，則根據(jù)定常系統(tǒng)大范圍漸近穩(wěn)定判別定理1，可斷定系統(tǒng)是大范圍漸近穩(wěn)定的。,設(shè)線性定常系統(tǒng)為,A為非奇異矩陣。故狀態(tài)空間的原點(diǎn)是系統(tǒng)的唯一平衡狀態(tài)。通?？蛇x取正定二次型函數(shù),,第5章 李亞普諾夫穩(wěn)定性分析,二．線性時(shí)不變系統(tǒng)的李亞普諾夫穩(wěn)定判據(jù),,,56,欲

40、使 是負(fù)定函數(shù)，即要求矩陣Q是任意正定矩陣。,根據(jù)定常系統(tǒng)大范圍漸近穩(wěn)定判別定理1，只要給定一個(gè)正定矩陣Q，李亞普諾夫矩陣代數(shù)方程：,有正定解P，系統(tǒng)就是大范圍漸近穩(wěn)定的。,推導(dǎo)V(x)對(duì)時(shí)間導(dǎo)數(shù)滿足要求的條件：,令：,李亞普諾夫矩陣代數(shù)方程,第5章 李亞普諾夫穩(wěn)定性分析,在應(yīng)用時(shí)往往先選取Q為實(shí)正定矩陣，再求解李亞普諾夫矩陣代數(shù)方程，若所求的P陣為正定實(shí)對(duì)稱矩陣，則可判定系統(tǒng)是漸近穩(wěn)定的。,,,57,結(jié)論5.

41、24 （※ ） 線性定常系統(tǒng),的原點(diǎn)平衡狀態(tài) 為漸近穩(wěn)定的充分必要條件是，對(duì)于任意給定的一個(gè)正定對(duì)稱矩陣Q，李亞普諾夫矩陣方程,有唯一正定對(duì)稱矩陣解P。,注意：使用中常選取Q陣為單位陣或正定對(duì)角陣。,第5章 李亞普諾夫穩(wěn)定性分析,,?,,,,58,注意：對(duì)于結(jié)論5.24，作為一般原則，矩陣Q在,第5章 李亞普諾夫穩(wěn)定性分析,?,保證正定的前提下可以任意選取，且系統(tǒng)漸近穩(wěn)定性的判斷結(jié)果與Q的不同選取無關(guān)，基

42、此，在具體應(yīng)用中，常將矩陣Q取為正定對(duì)角陣或單位陣，以簡(jiǎn)化計(jì)算過程。,,,59,例5.7(※)設(shè)線性定常連續(xù)系統(tǒng)狀態(tài)方程為,解：A非奇異，原點(diǎn)是唯一平衡狀態(tài)，令李亞普諾夫方程為,試用李亞普諾夫方程判斷系統(tǒng)的穩(wěn)定性。,,則有：,,第5章 李亞普諾夫穩(wěn)定性分析,,,,60,得到3個(gè)線性方程：,由于 ，故P負(fù)定，則系統(tǒng)不是漸近穩(wěn)定的。,

43、得到：,第5章 李亞普諾夫穩(wěn)定性分析,,,61,解得特征值為：有一個(gè)特征值具有正實(shí)部，故系統(tǒng)不穩(wěn)定。,為了對(duì)比，下面用特征值判據(jù)判斷：,A是非奇異矩陣，故xe=0是系統(tǒng)的唯一平衡狀態(tài)，且,第5章 李亞普諾夫穩(wěn)定性分析,,,62,（補(bǔ)充）根據(jù)系統(tǒng)大范圍漸近穩(wěn)定判別定理2可以推知，若系統(tǒng)任意的狀態(tài)軌跡在非零狀態(tài)不存在 恒為零時(shí)，Q陣可選擇為正半定的，即允許Q取單位陣時(shí)主對(duì)角線上部分元素為零，而解得的P陣仍為正定，則系統(tǒng)是漸近

44、穩(wěn)定的。,,第5章 李亞普諾夫穩(wěn)定性分析,?,,,63,例5-6 設(shè)系統(tǒng)為,試用李亞普諾夫方程確定系統(tǒng)漸近穩(wěn)定的k值。,解：根據(jù)圖中定義的狀態(tài)變量，得到狀態(tài)方程,因detA=-k≠0，A非奇異，故原點(diǎn)是系統(tǒng)的唯一平衡狀態(tài)。,-,第5章 李亞普諾夫穩(wěn)定性分析,,,,64,假定Q取為正半定矩陣,則 為負(fù)半定（x1，x2任意，x3=0時(shí)，

45、 ）。,這表明使 的狀態(tài)軌線中惟有原點(diǎn)滿足狀態(tài)方程，這意味著使 的狀態(tài)軌線不是系統(tǒng)的受擾運(yùn)動(dòng)解，故可采用正半定Q來簡(jiǎn)化穩(wěn)定性分析,第5章 李亞普諾夫穩(wěn)定性分析,當(dāng) 時(shí)，,,,,65,令李亞普諾夫方程：,得到以下6個(gè)線性方程：,第5章 李亞普諾夫穩(wěn)定性分析,,,66,P為正定矩陣的充要條件是：,解得：,解得 0< k <6，系統(tǒng)漸近穩(wěn)定。,第5章

46、 李亞普諾夫穩(wěn)定性分析,,,67,據(jù)勞斯判據(jù)，確定保證系統(tǒng)漸近穩(wěn)定的k值范圍：,為了比較，用特征值判據(jù)判斷：,故0< k <6時(shí)，所有特征值均具有負(fù)實(shí)部，系統(tǒng)穩(wěn)定。,是系統(tǒng)的唯一平衡狀態(tài)，且,第5章 李亞普諾夫穩(wěn)定性分析,,,68,定理（補(bǔ)充） 對(duì)于所選擇的正半定矩陣Q，在{A,Q}完全可觀測(cè)的條件下，即,系統(tǒng)為漸近穩(wěn)定的充分必要條件是，李亞普諾夫方程有唯一正定解P。,第5章 李亞普諾夫穩(wěn)定性分析,,,,69,例5-6

47、設(shè)系統(tǒng)為,試用李亞普諾夫方程確定系統(tǒng)漸近穩(wěn)定的k值。,解：根據(jù)圖中定義的狀態(tài)變量，得到狀態(tài)方程,因detA=-k≠0，A非奇異，故原點(diǎn)是系統(tǒng)的唯一平衡狀態(tài)。,第5章 李亞普諾夫穩(wěn)定性分析,,,,70,假定Q取為正半定矩陣,則 為負(fù)半定（x1，x2任意，x3=0時(shí)， ）。,這表明使 的狀態(tài)軌線中惟有原點(diǎn)滿

48、足狀態(tài)方程，這意味著使 的狀態(tài)軌線不是系統(tǒng)的受擾運(yùn)動(dòng)解，故可采用正半定Q來簡(jiǎn)化穩(wěn)定性分析,第5章 李亞普諾夫穩(wěn)定性分析,當(dāng) 時(shí)，,,,檢查{A,Q}的可觀性：,, {A,Q}完全可觀測(cè),故該正半定的Q可以采用。,71,令李亞普諾夫方程：,得到以下6個(gè)線性方程：,第5章 李亞普諾夫穩(wěn)定性分析,,,72,P為正定矩陣的充要條件是：,解得：,解得 0< k <6，系統(tǒng)漸近穩(wěn)定。,第