立體幾何全面復(fù)習(xí)課件

1、,第一節(jié) 空間幾何體的結(jié)構(gòu)及其三視圖和直觀圖,立體幾何,基礎(chǔ)梳理,1. 多面體(1)有兩個面互相平行,其余各面都是四邊形,并且每相鄰兩個四邊形的公共邊都互相平行,由這些面所圍成的多面體叫做棱柱.(2)有一個面是多邊形,其余各面都是有一個公共頂點的三角形,由這些面所圍成的多面體叫做棱錐.(3)用一個平行于棱錐底面的平面截棱錐,底面和截面之間的這部分多面體叫做棱臺.,,,,,,,2. 旋轉(zhuǎn)(1)以矩形的一邊所在的直線

2、為旋轉(zhuǎn)軸,其余三邊旋轉(zhuǎn)形成的面所圍成的旋轉(zhuǎn)體叫做圓柱.(2)以直角三角形的一條直角邊所在的直線為旋轉(zhuǎn)軸,其余兩邊旋轉(zhuǎn)形成的面所圍成的旋轉(zhuǎn)體體叫做圓錐.(3)以半圓的直徑所在的直線為旋轉(zhuǎn)軸,將半圓旋轉(zhuǎn)一周形成的旋轉(zhuǎn)體叫做球體,簡稱球.3. 三視圖和直觀圖(1)三視圖是從一個幾何體的正前方、正左方、正上方三個不同的方向看這個幾何體,描繪出的圖形,分別稱為正視圖、側(cè)視圖、俯視圖.(2)三視圖的排列順序:先畫正視圖,俯視圖放在正

3、視圖的下方,側(cè)視圖放在正視圖的右方.(3)三視圖的三大原則:長對正、高平齊、寬相等.,,,,,,,,,,,(4)水平放置的平面圖形的直觀圖的斜二測畫法：①在已知圖形中,取互相垂直的x軸和y軸,兩軸相交于點O,畫直觀圖時,把它們畫成對應(yīng)的x′軸和y′軸,兩軸相交于O′,且使∠x′O′y′=45°(或135°),用它們確定的平面表示水平面.②已知圖形中平行于x軸或y軸的線段,在直觀圖中,分別畫成平行于x′軸或y′

4、軸的線段.③已知圖形中平行于x軸的線段,在直觀圖中保持原長度不變；平行于y軸的線段,在直觀圖中長度變?yōu)樵瓉淼囊话?,,,,,,典例分析,題型一 空間幾何體的結(jié)構(gòu)特征,,【例1】根據(jù)下列對幾何體結(jié)構(gòu)特征的描述,說出幾何體的名稱.(1)由八個面圍成,其中兩個面是互相平行且全等的正六邊形,其他各面都是矩形;(2)一個等腰梯形繞著兩底邊中點的連線所在的直線旋轉(zhuǎn)180°形成的封閉曲面所圍成的圖形;(3)一個直角梯形繞較長的底

5、邊所在的直線旋轉(zhuǎn)一周形成的曲面所圍成的幾何體.,分析 要判斷幾何體的類型,從各類幾何體的結(jié)構(gòu)特征入手，以柱、錐、臺的定義為依據(jù)，把復(fù)雜的幾何體分割成幾個簡單的幾何體.,解 (1)如圖1所示,該幾何體滿足有兩個面平行,其余六個面都是矩形,可使每相鄰兩個面的公共邊都互相平行,故該幾何體是正六棱柱.(2)如圖2所示,等腰梯形兩底邊中點的連線將梯形平分為兩個直角梯形,每個直角梯形旋轉(zhuǎn)180°形成半個圓臺,故該幾何體為圓臺.(3

6、)如圖3所示,由梯形ABCD的頂點A引AO⊥CD于O點,將直角梯形分為一個直角三角形AOD和矩形AOCB,繞CD旋轉(zhuǎn)一周形成一個組合體,該組合體由一個圓錐和一個圓柱組成.圖1 圖2 圖3,學(xué)后反思 對于不規(guī)則的平面圖形繞軸旋轉(zhuǎn)問題,要對原平面圖形作適當(dāng)?shù)姆指?再根據(jù)圓柱、圓錐、圓臺的結(jié)構(gòu)特征進行判斷.,解析 (1)是一個四棱柱和一個四棱錐組成的,它

7、有9個面,9個頂點,16條棱.(2)是由一個四棱臺、一個四棱柱和一個球組成的,其主要結(jié)構(gòu)特征就是相應(yīng)四棱臺、四棱柱和球的結(jié)構(gòu)特征.,題型二 柱、錐、臺中的計算問題【例2】正四棱臺的高是17 cm,兩底面邊長分別是4 cm和16 cm,求棱臺的側(cè)棱長和斜高.,分析 求棱臺的側(cè)棱長和斜高的關(guān)鍵是找到相關(guān)的直角梯形,然后構(gòu)造直角三角形,解決問題.,解 如圖所示,設(shè)棱臺的兩底面的中心分別是 、O, 和BC的中點分別是 和E,

8、連接 、 、 、OB、 、OE,則四邊形 和 都是直角梯形.∵ =4 cm,AB=16 cm,∴ =2 cm,OE=8 cm, =2 cm,OB=8 cm,∴=19 cm,∴棱臺的側(cè)棱長為19 cm,斜高為 cm.,學(xué)后反思 （1）把空間問題轉(zhuǎn)化為平面問題去解是解決立體幾何問題的常用方法.（2）找出相關(guān)的直角梯形，構(gòu)造直角三角形是解題的關(guān)鍵，正棱臺中許多

9、元素都可以在直角梯形中求出.,舉一反三2. （2009·上海）若等腰直角三角形的直角邊長為2，則以一直角邊所在的直線為軸旋轉(zhuǎn)一周所成的幾何體的體積是_____.,解析 如圖，等腰直角三角形旋轉(zhuǎn)而成的旋轉(zhuǎn)體為圓錐.V= S·h= π ·h= π× ×2= .,答案,題型三 三視圖與直觀圖【例3】螺栓是由棱柱和圓柱構(gòu)成的組合體,如下圖,畫出它的三視圖.,分析

10、 螺栓是棱柱、圓柱組合而成的，按照畫三視圖的三大原則“長對正，高平齊，寬相等”畫出.,解 該物體是由一個正六棱柱和一個圓柱組合而成的,正視圖反映正六棱柱的三個側(cè)面和圓柱側(cè)面,側(cè)視圖反映正六棱柱的兩個側(cè)面和圓柱側(cè)面,俯視圖反映該物體投影后是一個正六邊形和一個圓(中心重合).它的三視圖如下圖:,學(xué)后反思 在繪制三視圖時,若相鄰兩物體的表面相交,表面的交線是它們的分界線,在三視圖中,分界線和可見輪廓線都用實線畫出.例如上圖中,表示上面圓柱

11、與下面棱柱的分界線是正視圖中的線段AB、側(cè)視圖中的線段CD以及俯視圖中的圓.,舉一反三3. (2008·廣東)將正三棱柱截去三個角(如圖1所示,A、B、C分別是△GHI三邊的中點)得到幾何體如圖2,則該幾何體按圖2所示方向的側(cè)視圖為 ( ),解析 由正三棱柱的性質(zhì)得,側(cè)面AED⊥底面EFD,則側(cè)視圖必為直角梯形,且線段BE在梯形內(nèi)部.答案 A,題型四幾何體的直觀圖【例4】(12分)用斜

12、二測法畫出水平放置的等腰梯形的直觀圖.,分析 畫水平放置的直觀圖應(yīng)遵循以下原則:(1)坐標(biāo)系中∠x′O′y′=45°;(2)橫線相等,即A′B′=AB,C′D′=CD;(3)豎線是原來的 ,即O′E′= OE.,畫法 (1)如圖1,取AB所在直線為x軸,AB中點O為原點,建立直角坐標(biāo)系,…………………………………………………………..3′畫對應(yīng)的坐標(biāo)系x′O′y′,使∠x′O′y′=45°……….

13、5′(2)以O(shè)′為中點在x′軸上取A′B′=AB,在y′軸上取O′E′= OE,以E′為中點畫C′D′∥x′軸,并使C′D′=CD……………10′(3)連接B′C′、D′A′,所得的四邊形A′B′C′D′就是水平放置的等腰梯形ABCD的直觀圖,如圖2……………………………..12′ 圖1 圖2,學(xué)后反思 在原圖形中要建立適當(dāng)?shù)闹苯亲鴺?biāo)系，一般取圖形中的某一橫線為x軸，對

14、稱軸為y軸，或取兩垂直的直線為坐標(biāo)軸，原點可建在圖形的某一頂點或?qū)ΨQ中心、 中點等.坐標(biāo)系建得不同，但畫法規(guī)則不變，關(guān)鍵是畫出平面圖形中相對應(yīng)的頂點.,舉一反三4. 如圖所示，矩形O′A′B′C′是水平放置的一個平面圖形的直觀圖，其中O′A′=6 cm，O′C′=2 cm，則原圖形是 （）A. 正方形B. 矩形C. 菱形D. 一般的平行四邊形,解析 ∵在直觀圖中，平行于x軸的邊的長度不變，平行于y軸的邊的長度變?yōu)樵瓉?/p>

15、的 ，∴原圖中，OA=6 cm,OD=4 cm，∴OC=6 cm,BC=AB=6 cm，∴原圖形為菱形.答案 C,易錯警示,【例】畫出如圖1所示零件的三視圖.,錯解 圖1的零件可看做是一個半圓柱、一個柱體、一個圓柱的組合,其三視圖如圖2. 圖1 圖2,錯解分析 錯誤原因是圖中各視圖都沒有畫出中間的柱體和圓柱的交線，畫圖時應(yīng)畫出其交線.,

16、正解,考點演練,10. （2010·濰坊模擬）如圖，已知正四棱臺ABCD- 的上底面邊長為1，下底面邊長為2，高為1，則線段 的長是_____.,解析 連接上底面對角線 的中點 和下底面BD的中點O，得棱臺的高 ，過點 作 的平行線交BD于點E，連接CE.在△BCE中，由BC=2，BE= ,∠CBE=45°，利用余弦定理可得CE= ，故在Rt△ 中

17、易得答案,11. 圓臺的兩底面半徑分別為5 cm和10 cm,高為8 cm,有一個過圓臺兩母線的截面,且上、下底面中心到截面與兩底面交線的距離分別為3 cm和6 cm,求截面面積.,解析 如圖所示截面ABCD,取AB中點F,CD中點E,連接OF, ，EF, ,OA,則 為直角梯形,ABCD為等腰梯形,EF為梯形ABCD的高,在直角梯形 中,

18、 （cm），在Rt△ 中，∴ （cm）,同理, （cm）,,12. 圓臺的一個底面周長是另一個底面周長的3倍,軸截面的面積等于392 ,母線與軸的夾角是45°,求這個圓臺的高、母線長和兩底面半徑.,解析 圓臺的軸截面如圖所示,設(shè)圓臺上、下底面半徑分別為x cm,3x cm.延長 交 的延長線于S,在Rt△SOA中,∠ASO=4

19、5°,則∠SAO=45°,∴SO=AO=3x, =x，∴ =2x,又 ,∴x=7.故圓臺的高 =14 cm,母線長 = =14 cm,兩底面半徑分別為7 cm,21 cm.,第二節(jié) 空間幾何體的表面積與體積,基礎(chǔ)梳理,1. 柱體、錐體、臺體的側(cè)面積,就是各側(cè)面面積之和；表面積是各個面的面積之和,即側(cè)面

20、積與底面積之和.2. 把柱體、錐體、臺體的面展開成一個平面圖形,稱為它的展開圖,它的表面積就是展開圖的面積.3. 圓柱、圓錐、圓臺的側(cè)面積及表面積,,,,,,,,,,4. 柱、錐、臺體的體積這是柱體、錐體、臺體統(tǒng)一計算公式,特別地，圓柱、圓錐、圓臺還可以分別寫成: 5. 球的體積及球的表面積設(shè)球的半徑為R,,,,,,,,,,,,,,,,,,,典例分析,,題型一 幾何體的表面積問題【例1】已知

21、一個正三棱臺的兩底面邊長分別為30 cm和20 cm,且其側(cè)面積等于兩底面面積之和,求棱臺的高.,分析 要求正棱臺的高，首先要畫出正棱臺的高，使其包含在某一個特征直角梯形中，轉(zhuǎn)化為平面問題，由已知條件列出方程，求解所需的幾何元素.,解 如圖所示,正三棱臺ABC- 中,O、 分別為兩底面中心,D、 分別為BC和 中點,則 為棱臺的斜高.設(shè) =20,AB=30,則OD=5 , = ,

22、由 ,得∴在直角梯形 中,∴棱臺的高為4 cm.,學(xué)后反思 (1)求解有關(guān)多面體表面積的問題,關(guān)鍵是找到其特征幾何圖形,解決旋轉(zhuǎn)體的表面積問題,要利用好旋轉(zhuǎn)體的軸截面及側(cè)面展開圖.（2）借助于平面幾何知識,利用已知條件求得所需幾何要素.,舉一反三1. 圓臺側(cè)面的母線長為2a,母線與軸的夾角為30°,一個底面的半徑是另一個底面半徑的2倍.求兩底面的半徑與兩底面面積之和.,解

23、析 如圖,設(shè)圓臺上底面半徑為r,則下底面半徑為2r,∠ASO=30°,在Rt△SO′A′中, =sin 30°,∴SA′=2r.在Rt△SOA中, =sin 30°,∴SA=4r.∴SA-SA′=AA′,即4r-2r=2a,r=a.∴∴圓臺上底面半徑為a,下底面半徑為2a,兩底面面積之和為 .,題型二 幾何體的體積問題,【例2】已知四棱臺兩底面均為正方形，邊長分別

24、為4 cm，8 cm，側(cè)棱長為8 cm，求它的側(cè)面積和體積.,分析 由題意知,需求側(cè)面等腰梯形的高和四棱臺的高,然后利用平面圖形面積公式和臺體體積公式求得結(jié)論.,解 如圖,設(shè)四棱臺的側(cè)棱延長后交于點P,則△PBC為等腰三角形,取BC中點E,連接PE交 于點 ,則PE⊥BC, E為側(cè)面等腰梯形的高,作PO⊥底面ABCD交上底面于點 ,連接 、OE.在△P 和△PBC中,∴ ,

25、為PB的中點, 為PE的中點.在Rt△PEB中,,在Rt△POE中,,,學(xué)后反思 （1）求棱臺的側(cè)面積與體積要注意利用公式以及正棱臺中的“特征直角三角形”和“特征直角梯形”，它們是架起“求積”關(guān)系式中的未知量與滿足題設(shè)條件中幾何圖形元素間關(guān)系的“橋梁”.（2）平行于棱臺底面的截面分棱臺的側(cè)面積與體積比的問題，通常是“還臺為錐”，而后利用平行于棱錐底面的截面性質(zhì)去解.“還臺為錐”借助于軸截面，將空間問題轉(zhuǎn)化為平面問題，求出相關(guān)數(shù)

26、據(jù)，進行計算.“還臺為錐”是解決棱臺問題的重要方法和手段.,舉一反三2. 如圖,在多面體ABCDEF中,已知四邊形ABCD是邊長為1的正方形,且△ADE、△BCF均為正三角形,EF∥AB,EF=2,則該多面體的體積為 .,解析 如圖,分別過A、B作EF的垂線,垂足分別為G、H,連接DG、CH,易求得EG=HF= ,AG=GD=BH=HC= ,答案,題型三 組合體的體積和表面積問題

27、【例3】(12分)如圖,在等腰梯形ABCD中,AB=2DC=2,∠DAB=60°,E為AB的中點,將△ADE與△BEC分別沿ED、EC向上折起,使A、B重合,求形成三棱錐的外接球的體積.,分析 易知折疊成的幾何體為棱長為1的正四面體,欲求外接球的體積，求其外接球半徑即可.,解 由已知條件知,在平面圖形中,AE=EB=BC=CD=DA=DE=EC=1……………………………….1′所以折疊后得到一個正四面體.方法一:如圖

28、，作AF⊥面DEC,垂足為F,F即為△DEC的中心…………3′取EC中點G,連接DG、AG,過外接球球心O作OH⊥面AEC,則垂足H為△AEC的中心…………………….5′∴外接球半徑可利用△OHA∽△GFA求得.∵AG= ,∴AH= AG= ，∴AF= ,………… 7′,在△AFG和△AHO中,根據(jù)三角形相似可知, …………...1

29、0′∴外接球體積為 …………….12′方法二:如圖,把正四面體放在正方體中.顯然,正四面體的外接球就是正方體的外接球…………………………..4′∵正四面體棱長為1,∴正方體棱長為 ,………………………….6′∴外接球直徑2R= ,…………………10′∴R= ,∴體積為 ………………12′,學(xué)后反思 (1)折疊問題

30、是高考經(jīng)常考查的內(nèi)容之一,解決這類問題要注意對翻折前后線線、線面的位置關(guān)系，所成角及距離加以比較.一般來說，位于棱的兩側(cè)的同一半平面內(nèi)的元素其相對位置的關(guān)系和數(shù)量關(guān)系在翻折前后不發(fā)生變化，分別位于兩個半平面內(nèi)的元素其相對位置關(guān)系和數(shù)量關(guān)系則發(fā)生變化;不變量可結(jié)合原圖形求證，變化量應(yīng)在折后立體圖形中求證.對某些翻折不易看清的元素，可結(jié)合原圖形去分析、計算，即將空間問題轉(zhuǎn)化為平面問題.（2）由方法二可知，有關(guān)柱、錐、臺、球的組合體，經(jīng)常是

31、把正方體、長方體、球作為載體，去求某些量.解決這類問題，首先要把這些載體圖形的形狀、特點及性質(zhì)掌握熟練，把問題進行轉(zhuǎn)化，使運算和推理變得更簡單，體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化思想是立體幾何中一個非常重要的思想方法.,舉一反三3. 已知正四棱錐的底面邊長為a,側(cè)棱長為 a.求它的外接球的體積.,,解析 設(shè)外接球的半徑為R,球心為O,則OA=OC=OS,所以O(shè)為△SAC的外心,即△SAC的外接圓半徑就是外接球的半徑,∵AB=BC=a,∴AC=

32、 a,∵SA=SC=AC= a,∴△SAC為正三角形.由正弦定理,得,易錯警示,涉及組合體問題，關(guān)鍵是正確地作出截面圖形，把立體幾何問題轉(zhuǎn)化為平面問題進行解決，解此類問題時往往因不能正確地作出截面圖形而導(dǎo)致錯誤.,【例】已知球的內(nèi)接正方體的體積為V，求球的表面積.,錯解分析 過球內(nèi)接正方體的一個對角面作球的大圓截面，得到一個矩形，矩形的對角線長為 x，不是 x.,錯解 如圖所示，作圓的內(nèi)接正方形表示正方體的

33、截面，設(shè)正方體的棱長為x，球半徑為R，則有 =V, x=2R，解得,正解 如圖所示，過正方體的對角面作球的大圓截面，設(shè)正方體的棱長為x，球半徑為R,則有 =V, x=2R，解得,考點演練,10. （2009·遼寧）設(shè)某幾何體的三視圖如下（長度單位為m）：求該幾何體的體積.,解析 三視圖所對應(yīng)的立體圖形如圖所示.由題意可得平面PAC⊥平面ABC，V= &#

34、215;4×3×2=4( ).,11. 如圖，一個三棱柱形容器中盛有水，且側(cè)棱 =8.若側(cè)面 水平放置時，液面恰好過AC、BC、 、 的中點.當(dāng)?shù)酌鍭BC水平放置時，液面高為多少？,解析 當(dāng)側(cè)面 水平放置時，水的形狀為四棱柱形，底面ABFE為梯形，設(shè)△ABC的面積為S，則,當(dāng)?shù)酌鍭BC水平放置時，水的形狀為三棱柱形，設(shè)水面高為h，則有 =Sh，∴6S=Sh,∴h=6.

35、故當(dāng)?shù)酌鍭BC水平放置時，液面高為6.,12. （2009·廣東改編）某高速公路收費站入口處的安全標(biāo)識墩如圖1所示.墩的上半部分是正四棱錐P-EFGH,下半部分是長方體ABCD-EFGH.圖2、圖3分別是該標(biāo)識墩的正視圖和俯視圖.（1）請畫出該安全標(biāo)識墩的側(cè)視圖；（2）求該安全標(biāo)識墩的體積. 圖1 圖2 圖3,解析

36、（1）側(cè)視圖同正視圖，如圖2所示.（2）該安全標(biāo)識墩的體積為,第三節(jié) 空間點、直線、平面之間的位置關(guān)系,基礎(chǔ)梳理,1. 平面的基本性質(zhì),,,,,,,,,,,,,,,,,,,2. 空間直線與直線的位置關(guān)系(1)位置關(guān)系 相交 共面 ①共面與否 平行 異面 一個公共點:相交②公共點個數(shù)

37、平行 無公共點 異面(2)公理4(平行公理):平行于同一直線的兩條直線互相平行.(3)定理:空間中如果兩個角的兩邊分別對應(yīng)平行,那么這兩個角相等或互補.,,,,,,,,,,,,,,,,,（4）異面直線的夾角①定義：已知兩條異面直線a、b，經(jīng)過空間任意一點O作直線a′∥a,b′∥b，我們把兩相交直線a′、b′所成的角叫做異面直線a、b所成的角（或夾角）.

38、②范圍：θ∈（0, ].特別地，如果兩異面直線所成的角是 ，我們就稱這兩條直線垂直，記作a⊥b.3. 空間中的直線與平面的位置關(guān)系 直線在平面內(nèi)——有無數(shù)個公共點 直線與平面相交——有且只有一個公共點 直線在平面外 直線與平面平行——無公共點4. 平面與平面的位置關(guān)系平行——無公共點相交——有且只有一條公共直線,,,,,,,,,,,,,,,典例分析,題型

39、一 點、線、面的位置關(guān)系,【例1】下列命題:①空間不同三點確定一個平面;②有三個公共點的兩個平面必重合;③空間兩兩相交的三條直線確定一個平面;④三角形是平面圖形;⑤平行四邊形、梯形、四邊形都是平面圖形;⑥垂直于同一直線的兩直線平行;⑦一條直線和兩平行線中的一條相交,也必和另一條相交;⑧兩組對邊相等的四邊形是平行四邊形.其中正確的命題是_______.,分析 根據(jù)公理及推論作判斷.,解 由公理2知,不共線的三點才

40、能確定一個平面,所以命題①、②均錯,②中有可能出現(xiàn)兩平面只有一條公共線(當(dāng)這三個公共點共線時);③空間兩兩相交的三條直線有三個交點或一個交點,若為三個交點,則這三線共面,若只有一個交點,則可能確定一個平面或三個平面;④正確;⑤中平行四邊形及梯形由公理2的推論及公理1可得必為平面圖形,而四邊形有可能是空間四邊形;如圖,在正方體ABCD-A′B′C′D′中,直線BB′⊥AB,BB′⊥BC,但AB與BC不平行,所以⑥錯;AB∥CD,BB′∩A

41、B=B,但BB′與CD不相交,所以⑦錯;四邊形AD′B′C中,AD′=D′B′=B′C=CA,但它不是平行四邊形,所以⑧也錯.,學(xué)后反思 平面性質(zhì)的三個公理及其推論是論證線面關(guān)系的依據(jù),在判斷過程中要注意反例和圖形的應(yīng)用.,舉一反三,1. 給出下列命題：①如果平面α與平面β相交,那么它們只有有限個公共點;②經(jīng)過空間任意三點的平面有且只有一個;③如果兩個平面有三個不共線的公共點,那么這兩個平面重合為一個平面;④不平行的兩直線必相

42、交.其中正確命題的序號為______.,解析 由公理3知，①錯;由公理2知，②錯;③對;不平行的兩直線可能異面，故④錯.答案 ③,題型二 證明三點共線,【例2】已知△ABC的三個頂點都不在平面α內(nèi),它的三邊AB、BC、AC延長后分別交平面α于點P、Q、R.求證:P、Q、R三點在同一條直線上.,分析 要證明P、Q、R三點共線,只需證明這三點都在△ABC所在的平面和平面α的交線上即可.,證明 由已知條件易知,平面α與平

43、面ABC相交.設(shè)交線為 ,即 =α∩面ABC.∵P∈AB,∴P∈面ABC.又P∈AB∩α,∴P∈α,即P為平面α與面ABC的公共點,∴P∈ .同理可證,點R和Q也在交線 上.故P、Q、R三點共線于 .,學(xué)后反思 證明多點共線的方法是：以公理3為依據(jù)，先找出兩個平面的交線，再證明各個點都是這兩個面的公共點，即在交線上，則多點共線.或者，先證明過其中兩點的直線是這兩個平面的交線，然后證明第三個點也在交線上.同理，其他的

44、點都在交線上，即多點共線.,舉一反三,2. 如圖，已知E、F、G、H分別是空間四邊形ABCD(四條線段首尾相接,且連接點不在同一平面內(nèi),所組成的空間圖形叫空間四邊形)各邊AB、AD、CB、CD上的點,且直線EF和GH交于點P,如圖所示.求證:點B、D、P在同一條直線上.,證明 由于直線EF和GH交于點P,∴P∈EF,又∵EF平面ABD,∴P∈平面ABD.同理,P∈平面CBD.∴P在平面ABD與平面CBD的交線BD上,即B、

45、D、P三點在同一條直線上.,題型三 證明點線共面,【例3】求證:兩兩相交且不共點的四條直線在同一平面內(nèi).,分析 由題知，四條直線兩兩相交且不共點，故有兩種情況：一種是三條交于一點，另一種是任何三條都不共點，故分兩種情況證明.要證明四線共面，先根據(jù)公理2的推論證兩條直線共面，然后再證第三條直線在這個平面內(nèi)，同理第四條直線也在這個平面內(nèi)，故四線共面.,證明 (1)如圖,設(shè)直線a,b,c相交于點O,直線d和a,b,c分別相交于A,B

46、,C三點,直線d和點O確定平面α,由O∈平面α,A∈平面α,O∈直線a,A∈直線a,知直線a平面α.同理b平面α,c平面α,故直線a,b,c,d共面于α.(2)如圖,設(shè)直線a,b,c,d兩兩相交,且任何三線不共點,交點分別是M,N,P,Q,R,G,由直線a∩b=M,知直線a和b確定平面α.由a∩c=N,b∩c=Q,知點N、Q都在平面α內(nèi),故cα.同理可證dα,故直線a,b,c,d共面于α.由(1)、(2)可知,兩兩相交

47、且不共點的四條直線必在同一平面內(nèi).,學(xué)后反思 證多線共面的方法：（1）以公理、推論為依據(jù)先證兩直線共面，然后再由公理1證第三條也在這個平面內(nèi).同理其他直線都在這個平面內(nèi).（2）先由部分直線確定平面，再由其他直線確定平面,然后證明這些平面重合.,舉一反三,3. 在正方體ABCD- 中,E是AB的中點,F是 的中點.求證:E、F、 、C四點共面.,證明 如圖，連接 ,EF, .∵E是AB的中點,F是

48、 的中點,∴EF∥ .∵ ∥ ,∴EF∥ .故E、F、 、C四點共面.,題型四 異面直線及其所成角的問題,【例4】(2008·全國Ⅱ)已知正四棱錐S-ABCD的側(cè)棱長與底面邊長都相等，E是SB的中點，則AE、SD所成的角的余弦值為 （）A. B. C. D.,分析 通過作平行線找到AE與SD所成的角，再利用三角形求解.,解 如

49、圖，連接AC、BD交于點O，連接OE.因為OE∥SD，所以∠AEO為所求.設(shè)側(cè)棱長與底面邊長都等于2，則在△AEO中，OE=1，AO= ，AE= ，于是cos∠AEO= .故選C.,學(xué)后反思 求異面直線所成的角的方法：（1）根據(jù)平行線定義，作出異面直線所成的角.（2）證明作出的角是異面直線所成的角.（3）在三角形內(nèi)求得直線所成角的某個三角函數(shù)值.,舉一反三,4. 在四

50、面體A-BCD中，AB=CD，且其所成的角是60°，點M，N分別是BC，AD的中點.求直線AB與MN所成的角的大小.,解析 如圖，取BD中點E，連接NE，EM，則EN AB,EM CD,故△EMN為等腰三角形，由條件∠MEN=60°，∴△EMN為等邊三角形，且∠ENM即為AB與MN所成的角，∴∠ENM=60°.,題型五 證明三線共點,【例5】(12分)已知四面體A-BCD中,E、F

51、分別是AB、AD的中點,G、H分別是BC、CD上的點,且 .求證:直線EG、FH、AC相交于同一點P.,分析 先證E、F、G、H四點共面，再證EG、FH交于一點，然后證明這一點在AC上.,證明∵E、F分別是AB、AD的中點,∴EF∥BD且EF= BD………………….2′又∵ ,∴GH∥BD且GH= BD,∴EF∥GH且EF>GH,……………………4′∴四邊形EF

52、HG是梯形,其兩腰所在直線必相交,設(shè)兩腰EG、FH的延長線相交于一點P,……………………………..6′∵EG平面ABC,FH平面ACD,∴P∈平面ABC,P∈平面ACD…………..8′又∵平面ABC∩平面ACD=AC,∴P∈AC,…………10′故直線EG、FH、AC相交于同一點P………………12′,學(xué)后反思 證明三線共點的方法:首先證明其中的兩條直線交于一點，然后證明第三條直線是經(jīng)過這兩條直線的兩個平面的交線；由公理3可知

53、，兩個平面的公共點必在這兩個平面的交線上，即三條直線交于一點.,舉一反三,5. 如圖所示,已知空間四邊形ABCD,點E,F,G,H,M,N分別是AB,BC,CD,DA,AC,BD的中點.求證:三線段EG,FH,MN交于一點,且被該點平分.,證明 如圖所示,連接EF,FG,GH,HE,MF,FN,NH,MH.∵E,F,G,H分別為AB,BC,CD,DA的中點,∴EF∥GH,EH∥FG，∴四邊形EFGH是平行四邊形.設(shè)EG∩FH=

54、O,則O平分EG,FH.同理,四邊形MFNH是平行四邊形.設(shè)MN∩FH=O′,則O′平分MN,FH.∵點O,O′都平分線段FH,∴O與O′兩點重合，∴MN過EG和FH的交點,即三線段共點且被該點平分.,易錯警示,【例】過已知直線a外一點P,與直線a上的四個點A、B、C、D分別畫四條直線.求證:這四條直線在同一平面內(nèi).,錯解 ∵P、A、B三點不共線,∴P、A、B共面,即PA、PB、AB共面,同理,PB、PC、BC共面;P

55、C、PD、CD共面.∵A、B、C、D均在直線a上,∴PA、PB、PC、PD四條直線在同一平面內(nèi).,錯解分析 錯解在證明了四條直線分別在三個平面(平面PAB、平面PBC、平面PCD)內(nèi)后,通過A、B、C、D均在a上,而認為三個平面重合在同一個平面內(nèi),這種方法是錯誤的.錯誤在于沒有根據(jù)地用一條直線來保證三個平面重合.,正解 過直線a及點P作一平面α,∵A、B、C、D均在a上,∴A、B、C、D均在α內(nèi).∵直線PA、PB、PC、PD

56、上各有兩點在α內(nèi),∴由公理1可知,直線PA、PB、PC、PD均在平面α內(nèi),即四直線共面.,考點連接,10. 已知a、b為異面直線，則①經(jīng)過直線a,存在唯一平面α，使b∥α；②經(jīng)過直線a，若存在平面α使b⊥a,則α唯一；③經(jīng)過直線a、b外任意一點，存在平面α，使a∥α且b∥α.上述命題中，真命題是________.（寫出真命題的序號）,解析 ①平移b到b′，使b′、a交于點O，則a與b′確定平面為α，b∥α，α唯一，故①正確.

57、②a、b為異面直線，故無法確定a是否垂直于b.③如圖，a平移到a′，b平移到b′，a′、b′交于點O，則a′、b′確定的平面α唯一.答案 ①③,11. （2010·濱州質(zhì)檢）已知正方體ABCD- 的棱長為a，求異面直線 和 所成的角.,解析 如圖所示，連接 , ∴異面直線 和 所成角為90°.,12. 已知直線a∥b∥c,直線 ∩a=A, ∩b=

58、B, ∩c=C.求證:a、b、c、 共面.,證明 如圖，∵a∥b,∴a、b可以確定一個平面α.又∵ ∩a=A, ∩b=B,∴A∈a,B∈b,A∈α,B∈α,ABα;又A∈ ,B∈ ,∴ α.另一方面,∵b∥c,∴b、c可以確定一個平面β.同理可證, β.∵平面α、β均經(jīng)過直線b、,且b和 是兩條相交直線,它們確定的平面是唯一的,∴平面α與β是同一個平面,∴a、b、c、共面.,第四節(jié) 直線、平面平行的判定及其性

59、質(zhì),1. 平行直線(1)定義:同一平面內(nèi)不相交的兩條直線叫做平行線.(2)公理4:平行于同一條直線的兩條直線互相平行.(3)線面平行的性質(zhì)定理:如果一條直線和一個平面平行,經(jīng)過這條直線的平面和這個平面相交,那么這條直線就和兩平面的交線平行.(4)面面平行的性質(zhì)定理:如果兩個平行平面同時與第三個平面相交,那么它們的交線平行.(5)線面垂直的性質(zhì)定理:如果兩條直線垂直于同一平面,那么這兩條直線平行.2. 直線與平面平行(1)

60、定義:直線a和平面α沒有公共點,叫做直線與平面平行.(2)線面平行的判定定理:如果不在一個平面內(nèi)的一條直線和平面內(nèi)的一條直線平行,那么這條直線和這個平面平行.,基礎(chǔ)梳理,,,,,,,,,(3)面面平行的性質(zhì):如果兩平面互相平行,那么一個平面內(nèi)的任意一條直線平行于另一個平面. 3. 平面與平面平行(1)定義:如果兩個平面沒有公共點,那么這兩個平面叫做平行平面.(2)面面平行的判定定理:如果一個平面內(nèi)有兩條相交直線平行于另一個平面

61、,那么這兩個平面平行.(3)判定定理的推論:如果一個平面內(nèi)的兩條相交直線分別平行于另一個平面內(nèi)的兩條直線,則這兩個平面平行.(4)線面垂直的性質(zhì):如果兩平面垂直于同一直線,則這兩個平面平行.(5)平行公理:如果兩平面平行于同一平面,則這兩個平面平行.,,,,,,,,,,,,,,,,,典例分析,題型一 線線平行,【例1】已知四邊形ABCD是空間四邊形,E、F、G、H分別是邊AB、BC、CD、DA的中點.求證:四邊形EFGH是平行

62、四邊形.,分析 若證四邊形是平行四邊形,只需證一組對邊平行且相等或兩組對邊分別平行即可.,證明 如圖,連接BD.∵EH是△ABD的中位線,∴EH∥BD,EH= BD.又∵FG是△CBD的中位線,∴FG∥BD,FG= BD.∴FG∥EH,且FG=EH,∴四邊形EFGH是平行四邊形.,學(xué)后反思 若證明四邊形EFGH是平行四邊形,可有兩條途徑：一是證明兩組對邊分別平行,二是證明一組對邊平行且相等.,舉一反三,

63、1. 已知E、 分別是正方體ABCD- 的棱AD、 的中點.求證:∠BEC=∠ .,證明 如圖,連接 .∵ ,E分別為 ,AD的中點,∴∴四邊形 為平行四邊形，∴四邊形 是平行四邊形，∴ ∥EB.同理 ∥EC.又∵∠ 與∠CEB方向相同，∴∠ =∠CEB.,題型二 線面平行,【例2】如圖,正方體ABCD- 中,

64、側(cè)面對角線 上分別有兩點E,F,且 .求證:EF∥平面ABCD.,分析 要證EF∥平面ABCD,方法有兩種:一是利用線面平行的判定定理,即在平面ABCD內(nèi)確定EF的平行線;二是利用面面平行的性質(zhì)定理,即過EF作與平面ABCD平行的平面.,證明 方法一:過E作EM⊥AB于M,過F作FN⊥BC于N,連接MN(如圖)，則EM∥ ,FN∥ ,∴EM∥FN.∵ ∴AE=BF,,∴EM=FN,∴四

65、邊形EMNF是平行四邊形,∴EF∥MN.又∵EF平面ABCD,MN平面ABCD,∴EF∥平面ABCD.,方法二:連接 ,并延長交BC的延長線于點P,連接AP(如圖). ∽△PFB,,又∵EF平面ABCD,AP平面ABCD,∴EF∥平面ABCD.,方法三:過點E作EH⊥ 于點H,連接FH(如圖)，則EH∥AB,∵EH∩FH=H,∴平面EFH∥平面ABCD

66、.∵EF平面EFH,∴EF∥平面ABCD.,學(xué)后反思 判斷或證明線面平行的常用方法有:(1)利用線面平行的定義(無公共點);(2)利用線面平行的判定定理(aα,bα,a∥ba∥α);(3)利用面面平行的性質(zhì)定理(α∥β,aαa∥β);(4)利用面面平行的性質(zhì)(α∥β,aα,aβ,a∥αa∥β).,舉一反三,2. 如圖,在四棱錐P-ABCD中,底面ABCD為正方形,E為PC中點.求證:PA∥平面EDB.,證

67、明 如圖，連接AC交BD于O,連接EO.∵四邊形ABCD為正方形,∴O為AC中點.∵E為PC中點,∴OE為△PAC的中位線,故EO∥PA.又∵EO平面EDB,PA平面EDB,∴PA∥平面EDB.,題型三 面面平行,【例3】如圖,正方體ABCD- 的棱長為1.求證:平面 ∥平面,分析 要證明平面 ∥平面 ,根據(jù)面面平行的判定定理或推論，只要證明AC∥平面 ， ∥平面

68、 ,且AC∩ =A即可.,證明 方法一: 四邊形 為平行四邊形,方法二:易知 和確定一個 平面 ,于是,,學(xué)后反思 證明平面與平面相互平行,一般利用面面平行的判定定理或其推論,將面面平行轉(zhuǎn)化為線面平行或線線平行來證明.具體方法有:(1)面面平行的定義;(2)面面平行的判定定理：如果一個平面內(nèi)有兩條相交直線都平行于另一個平面,那么這兩個平面平行;(3)利用垂直于同一條直線的兩個平面

69、平行;(4)兩個平面同時平行于第三個平面,那么這兩個平面平行;(5)利用“線線平行”、“線面平行”、“面面平行”的相互轉(zhuǎn)化.,舉一反三,3. 在正方體ABCD- 中,M、N、E、F分別是棱的中點.求證:平面AMN∥平面EFDB.,證明 如圖，連接MF,∵M、F分別是 的中點,且四邊形 為正方形,又∴四邊形ADFM為平行四邊形,∴AM∥DF.又∵AM平面EFDB,DF平面E