力學(xué)數(shù)學(xué)預(yù)備知識微積分與矢量

1、1,微積分學(xué)概要,微積分學(xué)是微分學(xué)和積分學(xué)的總稱。它是一種數(shù)學(xué)思想，“無限細(xì)分”就是微分，“無限求和”就是積分。 十七世紀(jì)后半葉，牛頓和萊布尼茨完成了許多數(shù)學(xué)家都參加過準(zhǔn)備的工作，分別獨(dú)立地建立了微積分學(xué)。他們建立微積分的出發(fā)點(diǎn)是直觀的無窮小量，但是理論基礎(chǔ)是不牢固的。因?yàn)椤盁o限”的概念是無法用已經(jīng)擁有的代數(shù)公式進(jìn)行演算，所以，直到十九世紀(jì)，柯西和維爾斯特拉斯建立了極限理論，康托爾等建立了嚴(yán)格的實(shí)數(shù)理論，這門學(xué)科才得以嚴(yán)密化。,牛頓,

2、2,極 限,極限——對 y = f (x) ，若 x 無限趨近某一數(shù)值x0 ，f (x) 則無限趨近某一確定數(shù)值a，則a就是函數(shù)f (x)在x趨近x0時(shí)的極限，記作：,3,若函數(shù) y = f (x) 在某一區(qū)間內(nèi)各點(diǎn)均可導(dǎo)，則其導(dǎo)數(shù) f' (x) 也是自變量 x 的函數(shù)，稱為導(dǎo)函數(shù)。導(dǎo)函數(shù) f'(x) 對 x 的導(dǎo)數(shù)叫做 y 對 x 的二階導(dǎo)數(shù)，定義為：,函數(shù)y=f(x)對自變量x的導(dǎo)數(shù)， 就是y對x的變化率，定

3、義為：,導(dǎo) 數(shù),4,微 分,若函數(shù)y = f(x)在點(diǎn)x處可導(dǎo), 則導(dǎo)數(shù)f ’(x)與自變量增量dx（稱為：自變量的微分）的乘積，就叫做函數(shù) y = f(x) 在點(diǎn) x 處的微分（稱為：函數(shù)的微分） ，記作： dy = f '(x)dx,函數(shù)一階導(dǎo)數(shù)對應(yīng)的微分稱為一階微分；一階微分 的微分稱為二階微分；二階微分及以上的微分稱為 高階微分。,5,極值點(diǎn)的充要條件是在該點(diǎn)

4、的一階導(dǎo)數(shù)為零，且在該點(diǎn)兩側(cè)的導(dǎo)數(shù)值異號。因此，令 f'(x) = 0 即可求出極值點(diǎn)x0若 f"(x0) ＜ 0，則為極大值點(diǎn) 若 f"(x0) ＞ 0，則為極小值點(diǎn),函數(shù)的極值點(diǎn)和極值,,6,導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算,導(dǎo)數(shù)定義給出了求導(dǎo)方法例如，求 y = x2 的導(dǎo)數(shù)：,7,基本函數(shù)的求導(dǎo)公式,8,⑴ (u±v)' = u' ±v' ⑵ (uv)' = u

5、' v + v' u ⑶ (u/v)' = (u' v - v' u)/v2 ⑷ 設(shè) y = f(x) 的反函數(shù)為 x = φ(y) 則 φ'(y) = 1/ f '(x) ⑸ 復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù) 設(shè)y = f(u) , u = φ(x)，則 （連鎖律）,導(dǎo)數(shù)的基本運(yùn)算法則,9,例 題,10,導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用,質(zhì)點(diǎn)

6、沿x軸作直線運(yùn)動的速度：,質(zhì)點(diǎn)沿x軸作直線運(yùn)動的加速度：,電流強(qiáng)度：,11,不定積分,1、不定積分的定義 若 F ’ (x) = f(x)，則 [F(x) + c]’ = f(x)，F(xiàn)(x) + c 就叫做 f(x) 的原函數(shù)，有無窮多個(gè)；函數(shù) f(x) 的所有原函數(shù)，就叫 f(x) 的不定積分，記為：∫f(x)dx = F(x) + c 。 其中∫叫做積分號，f(x)叫做被積函數(shù)，x叫做積分

7、變量，f(x)dx叫做被積式，c叫做積分常數(shù)，求已知函數(shù)的不定積分的過程叫做對這個(gè)函數(shù)進(jìn)行積分。（積分是微分的逆運(yùn)算，即知道了導(dǎo)函數(shù)，求原函數(shù)）,12,不定積分...,2、性質(zhì) ⑴ (∫f(x)dx )' = f(x) (先積后導(dǎo)等于自身) ⑵ ∫f '(x)dx = f(x) + c (先導(dǎo)后積等于自身加上任意常數(shù)),13,基本積分公式,⒈∫adx = ax + c

8、 ∫af(x)dx = a∫f(x) dx ⒉∫(u±v)dx =∫udx±∫vdx ⒊∫xndx = xn+1/(n+1) + c (n≠-1) ∫x-1dx=lnx+c⒋∫axdx = ax/lna + c ∫exdx = ex+ c ⒌∫sinxdx = - cosx + c ⒍∫cosxdx = sinx + c ⒎∫sec2xdx = tgx +

9、 c ⒏∫csc2xdx = - ctgx + c,14,換元積分法與分部積分法,換元積分法 適當(dāng)變換積分變量，把被積表達(dá)式化成基本積分公式中的形式（又稱湊積分）,15,換元積分法與分部積分法…,分部積分法 其基本思路是將不易求得結(jié)果的積分形式，轉(zhuǎn)化為等價(jià)的但易于求出結(jié)果的積分形式。 d(uv) = (uv)' dx = u' vdx + v

10、9; udx = vdu + udv 兩邊同時(shí)積分，得： uv = ∫vdu + ∫udv 則∫udv = uv - ∫vdu,16,分部積分法…,例題⑴ ∫xexdx = ∫xdex = xex - ∫exdx = xex – ex + c ⑵ ∫lnx dx = x

11、lnx - ∫xdlnx = x lnx - ∫dx = x lnx - x + c,17,不定積分的應(yīng)用,已知加速度求速度已知速度求位矢（或運(yùn)動學(xué)方程）（見教材P36—37）,18,定積分,⒈定積分概念 設(shè)函數(shù) y = f(x) 在區(qū)間 [a,b]上連續(xù)，把 [a,b]分成寬為Δx的 n個(gè)小區(qū)間，當(dāng) n→∞ 時(shí)，的極限叫函數(shù) y =

12、 f(x)在區(qū)間 [a,b] 上的定積分，記作：,定積分的幾何意義為曲邊梯形的面積。,19,定積分的主要性質(zhì),20,牛頓—萊布尼茨公式,設(shè)F(x)為函數(shù)f(x)在區(qū)間[a,b]上的一個(gè)原函數(shù),即F'(x)=f(x), 則,稱為牛頓—萊布尼茨公式（可以證明）。,牛頓-萊布尼茨公式的意義就在于把不定積分與定積分聯(lián)系了起來，也讓定積分的運(yùn)算有了一個(gè)完善、令人滿意的方法。,21,牛頓—萊布尼茨公式…,例題：,22,定積分的應(yīng)用,計(jì)算

13、平面幾何圖形的面積計(jì)算立體的體積計(jì)算曲線的弧長變力的沖量質(zhì)心計(jì)算變力做功轉(zhuǎn)動慣量,23,矢量的概念,矢量的初步概念 既有大小又有方向，且加法遵從幾何法則的量叫矢量 ，用黑體字母或帶箭頭的字母表示：A, 。矢量的大小又叫矢量的模，用 或A 表示。模等于1 的矢量叫單位矢量，用 表示。在直角坐標(biāo)系中，沿 x、y、z軸的單位矢量，分別用 表示。矢量具有平移

14、不變性：矢量的平動既不改變矢量的量值，也不改變矢量的方向。,24,矢量的幾何描述,矢尾,矢端,25,矢量的加法與減法,⒈矢量加法可用平行四邊形法則、三角形法則 、多邊形法則⒉矢量減法 用三角形法則求矢量相減最方便，注意：差矢量方向是由減矢量末端指向被減矢量末端,26,矢量的正交分解,矢量的加減在直角坐標(biāo)系中表示為：,27,矢量乘法,矢量的數(shù)乘 ⒈定義：矢量 與實(shí)數(shù)m的乘積m 仍然是矢量，大小是 的|m|倍，方

15、向與 的方向相同或者相反，取決于m的正負(fù)。⒉性質(zhì)：,28,矢量的標(biāo)積（點(diǎn)乘積）,⒊標(biāo)積的分量表示,29,矢量標(biāo)積應(yīng)用,功的定義功率的定義,30,矢量的矢積（叉乘積）,方法：伸開右手，除拇指外的四指并攏、沿 的方向伸出，并從 經(jīng)小于180°的角向 彎曲，則與四指垂直的拇指的方向即為 的方向。,31,矢量的矢積（叉乘積）…,32,矢積的分量表示,33,矢量矢積應(yīng)用,力矩的定義角動量的

16、定義洛倫茲力的定義,34,三個(gè)矢量的混合積,35,雙重矢積,36,矢量的非法運(yùn)算,37,矢量函數(shù)（矢函）,一個(gè)矢量在某一過程中，若大小、方向都不發(fā)生變化，則為恒矢量；反之則為變矢量，可有三種情況：大小、方向均變化；大小變化，方向不變；大小不變，方向變化。 說一個(gè)變矢量 是標(biāo)量 t 的矢函，意味著對應(yīng) t 的每一個(gè)數(shù)值，變矢 都存在一個(gè)確定的矢量與之對應(yīng)，記為：分量表示：,38,矢量函數(shù)的導(dǎo)數(shù),⒈矢量函數(shù)導(dǎo)數(shù)的定義,3