有限元素法簡介

1、有限元方法的基本思想、特點(diǎn)和步驟有限元方法的基本思想、特點(diǎn)和步驟有限元法的基本思想可以用下述幾點(diǎn)進(jìn)行說明：&假想把連續(xù)系統(tǒng)(包括桿系，連續(xù)體，連續(xù)介質(zhì))分割成數(shù)目有限的單元，單元之間只在數(shù)目有限的指定點(diǎn)(稱為節(jié)點(diǎn))處相互連接，構(gòu)成一個(gè)單元集合體來代替原來的連續(xù)系統(tǒng)。在節(jié)點(diǎn)上引進(jìn)等效載荷(或邊界條件)，代替實(shí)際作用于系統(tǒng)上的外載荷(或邊界條件)。這一處理稱為“結(jié)構(gòu)離散化”。&對每個(gè)單元由分塊近似的思想，按一定的規(guī)則(由力學(xué)關(guān)系或選擇一個(gè)簡

2、單函數(shù))建立求解未知量與節(jié)點(diǎn)相互作用(力)之間的關(guān)系(力—位移、熱量—溫度、電壓—電流等)。這一處理稱為“單元分析”。&把所有單元的這種特性關(guān)系按一定的條件(變形協(xié)調(diào)條件、連續(xù)條件或變分原理及能量原理)集合起來，引入邊界條件，構(gòu)成一組以節(jié)點(diǎn)變量(位移、溫度、電壓等)為未知量的代數(shù)方程組求解之得到有限個(gè)節(jié)點(diǎn)處的待求變量。這一處理稱為“整體分析”。所以，有限元法實(shí)質(zhì)上是把具有無限個(gè)自由度的連續(xù)系統(tǒng)，理想化處理為只有有限個(gè)自由度的單元集合體，

3、使問題轉(zhuǎn)化為適合于數(shù)值求解的結(jié)構(gòu)型問題有限元法具有下述特點(diǎn)：?概念清楚，容易理解。可以在不同的水平上建立起對該方法的理解。從使用的觀點(diǎn)來講，每個(gè)人的理論基礎(chǔ)不同，理解的深度也可以不同，既可以通過直觀的物理意義來學(xué)習(xí)，也可以從嚴(yán)格的力學(xué)概念和數(shù)學(xué)概念推導(dǎo)。?適應(yīng)性強(qiáng)，應(yīng)用范圍廣泛。有限元法可以用來求解工程中許多復(fù)雜的問題，特別是采用其他數(shù)值計(jì)算方法(如有限差分法)求解困難的問題。如復(fù)雜結(jié)構(gòu)形狀問題，復(fù)雜邊界條件問題，非均質(zhì)、非線性材料問題

4、，動(dòng)力學(xué)問題等。目前，有限元法在理論上和應(yīng)用上還在不斷發(fā)展，今后將更加完善和使用范圍更加廣泛。?有限元法采用矩陣形式表達(dá)，便于編制計(jì)算機(jī)程序，可以充分利用高速數(shù)字計(jì)算機(jī)的優(yōu)勢。由于有限元法計(jì)算過程的規(guī)范化，目前在國內(nèi)外有許多通用程序，可以直接套用，非常方便。著名的有SAP系列，ADINA，ANSYS，ASKA，NASTRAN，MARK，ABAQUS等。?有限元法的主要缺點(diǎn)是解決工程問題必須首先編制(或具有)計(jì)算機(jī)程序，必須運(yùn)用計(jì)算機(jī)求解

5、。另外，有限元計(jì)算前的數(shù)據(jù)準(zhǔn)備、計(jì)算結(jié)果的數(shù)據(jù)整理工作量相當(dāng)大。然而，在計(jì)算機(jī)日益普及的今天，使用計(jì)算機(jī)已不再困難。對于后一缺點(diǎn)可通過用計(jì)算機(jī)進(jìn)行有限元分析的前、后處理來部分或全部地解決。特別是現(xiàn)在已經(jīng)有許多商業(yè)軟件可供使用，這個(gè)問題已不成為問題。有兩種通常與有限元方法相關(guān)的方法。一種方法叫做力法或柔度法，用內(nèi)力作為問題的未知量。第二種方法叫做位移法或剛度法，假定節(jié)點(diǎn)位移作為問題的未知量。這兩種方法在分析中得出不同的未知量(力或位移)，

6、并得出與其公式相關(guān)的不同矩陣(柔度矩陣或剛度矩陣)。由于位移法的公式對于大多數(shù)結(jié)構(gòu)分析問題比較簡單，因此對于計(jì)算機(jī)求解，位移法(或剛度法)更符合要求，大多數(shù)有限元分析以位移為未知量。此外，絕大多數(shù)的通用有限元程序編入了求解結(jié)構(gòu)問題的位移公式。因此，這里只介紹位移法。一般來講，有限元法包括下列三個(gè)主要步驟：結(jié)單整下面是對它們的較為詳細(xì)的說明：※結(jié)構(gòu)離散化量法容易建立二維和三維單元的剛度矩陣與方程。虛功原理(利用虛擬位移)、最小勢能原理和C

7、asotigliano理論常常用來推導(dǎo)單元方程；加權(quán)殘余法，加權(quán)殘余法在推導(dǎo)單元方程時(shí)是很有用的，特別有名的是伽遼金法。這些方法在能量法可以應(yīng)用的場合得出和能量法同樣的結(jié)果。當(dāng)泛函(如勢能)不容易得到時(shí)，這些方法就特別有用。加權(quán)殘余法使有限元方法能直接用于任何微分方程。使用剛才概括的任何一種方法將得出描述單元特性的方程。這些方程可方便地寫為矩陣形式：（21）或?qū)懗删毜木仃囆问剑?22)??????fkd?其中f是單元節(jié)點(diǎn)力矢量，[k]

8、是單元?jiǎng)偠染仃嚕琩是單元未知節(jié)點(diǎn)自由度或廣義位移矢量。廣義位移可以包括實(shí)際位移、斜度，甚至曲率等?！w分析整體分析是將各單元拼合成離散的結(jié)構(gòu)物體，以代替原來的連續(xù)彈性體。整體分析包括下列主要四個(gè)步驟，可用框圖表示為建引解求上面的建立整體剛度關(guān)系矩陣是將各個(gè)單元的剛度矩陣按節(jié)點(diǎn)編號進(jìn)行整體組裝；引入邊界條件是指在節(jié)點(diǎn)位移列陣和節(jié)點(diǎn)力列陣中引入各有的位移邊界條件和力邊界條件?？梢允褂茂B加法(稱為直接剛度法，其理論基礎(chǔ)為節(jié)點(diǎn)力平衡)將第2步

9、得出的單個(gè)單元方程加在一起得出整個(gè)結(jié)構(gòu)的總體方程。最后組裝的總體方程寫為矩陣形式：(23)??????FKd?其中F是整體節(jié)點(diǎn)力矢量，[K]是結(jié)構(gòu)總體剛度矩陣，d是已知和未知結(jié)構(gòu)節(jié)點(diǎn)自由度或廣義位移?？梢钥闯隹傮w剛度矩陣[K]是一個(gè)奇異矩陣，因?yàn)樗男辛惺降扔诹恪榱巳サ舸似娈愋詥栴}，必須利用某些邊界條件(或約束，或支撐)，使結(jié)構(gòu)固定，不能作為一個(gè)剛體移動(dòng)。方程(23)在修改考慮了邊界條件之后，形成一組聯(lián)立代數(shù)方程組，用消元法(如高斯消