[工學(xué)]有限元法講義-研究生

1、彈性力學(xué)及有限元 ——有限元部分,,主要參考資料,［1］王勖成，邵敏. 有限單元法基本原理和數(shù)值 方法［M］. 清華大學(xué)出版社,2001［2］周中堅，盧耀祖. 機械與機械結(jié)構(gòu)的有限元 分析［M］. 同濟大學(xué)出版社，1997［3］朱伯芳. 有限單元原理及其應(yīng)用. 中國水利水 電出版社，1998,主要講述內(nèi)容,有限元法概述桿系結(jié)構(gòu)有限元方法平面問題有限元法軸對稱

2、問題有限元法板殼問題有限元法實體問題有限元法組合結(jié)構(gòu)有限元法有限元模態(tài)分析有限元疲勞分析機械結(jié)構(gòu)有限元分析實例,前言關(guān)于有限元法英文縮寫FEM（Finite Element Method）應(yīng)用中習(xí)慣稱有限元分析是一種連續(xù)結(jié)構(gòu)離散化數(shù)值計算方法上世紀(jì)五十年代由美國飛機工程師提出（1956年，Turner）FEM與CAECAE－計算機輔助工程（Computer Aided Engineering）CAE范圍更廣，

3、還包含其它工程分析方法,概 述,國內(nèi)外發(fā)展應(yīng)用簡介方法提出后吸引大量數(shù)學(xué)力學(xué)家進行研究，至今理論相當(dāng)成熟目前應(yīng)用非常廣泛國外發(fā)達國家有限元分析軟件相當(dāng)完善，商業(yè)化程度很高應(yīng)用意愿和應(yīng)用水平很高國內(nèi)發(fā)展相對較晚研究應(yīng)用水平發(fā)展很快沒有公認(rèn)的、廣為流行的、高水平的、功能強大的商業(yè)化分析系統(tǒng)就全國范圍來講，機械行業(yè)主動應(yīng)用意愿與國外相比差距較大,機械工程中有限元主要應(yīng)用范圍按學(xué)科分類彈性力學(xué)斷裂力學(xué)塑性力學(xué)結(jié)構(gòu)分

4、析動力學(xué)流體力學(xué)熱力學(xué)電磁學(xué)聲學(xué),幾乎覆蓋機械工程中的各個學(xué)科，如果包含交叉學(xué)科和邊緣學(xué)科，范圍則更廣,按機械結(jié)構(gòu)分析分類機械結(jié)構(gòu)強度和剛度分析靜強度失效載荷產(chǎn)生超過屈服極限或強度極限的應(yīng)力載荷可是真的靜載，也可為動載峰值結(jié)構(gòu)變形影響運動關(guān)系檢查運動干涉變形過大失效問題世界著名案例：日本車制動油管,機械結(jié)構(gòu)模態(tài)分析屬動力學(xué)分析領(lǐng)域分析結(jié)構(gòu)的固有特征固有頻率固有振型模態(tài)阻尼模態(tài)剛度廣泛應(yīng)用于機

5、械結(jié)構(gòu)動態(tài)特性設(shè)計廣泛應(yīng)用于解決機械結(jié)構(gòu)振動噪聲問題,響應(yīng)分析時間響應(yīng)分析通常在時域內(nèi)求系統(tǒng)的時間響應(yīng)常用于疲勞分析、平順性分析等頻率響應(yīng)和響應(yīng)譜分析多用于隨機振動,溫度場計算包括對流、傳導(dǎo)和輻射發(fā)動機溫度場計算及散熱問題保溫車（冷藏車）隔熱計算熱應(yīng)力分析噪聲振動分析聲場分析空腔共鳴制動噪聲部件機械振動噪聲機械空氣動力學(xué)分析降低空氣阻尼、升力等通風(fēng)換氣改善車身表面流場發(fā)動機進氣及排放,現(xiàn)在最高的

6、機械車速是多少？,新房空調(diào)放在什么地方最省電？,能否實現(xiàn)在車內(nèi)后排兩老板（或領(lǐng)導(dǎo)、情侶）說話司機不易聽見而司機說話前者容易聽見,機械結(jié)構(gòu)碰撞、沖擊分析碰撞安全性問題車身安全性設(shè)計碰撞事故模擬再現(xiàn)機械零部件沖壓成形成形部件設(shè)計模具設(shè)計分析開裂、起皺、回彈等問題（液）流場分析液化石油氣罐車,乘車坐在什么地方（相對）最安全,機械結(jié)構(gòu)可靠性分析靈敏度分析和結(jié)構(gòu)動態(tài)修改機械結(jié)構(gòu)優(yōu)化設(shè)計按機械結(jié)構(gòu)分析的力學(xué)特征分類

7、線性問題計算分析非線性問題的計算分析幾何非線性材料非線性狀態(tài)非線性接觸問題,彈性力學(xué)基本概念基本假設(shè)假設(shè)物體是連續(xù)的假設(shè)物體是均質(zhì)的假設(shè)物體是各向同性的假設(shè)物體是完全彈性的假設(shè)物體的位移和應(yīng)變是微小的,第一章 彈性力學(xué)知識回顧,基本物理量外力分布力：體力、面力等集中力應(yīng)力應(yīng)變位移,,,,,,,,,,,,,x,z,y,,幾何方程幾何方程：應(yīng)變和位移的關(guān)系,,,,,,,x,y,回顧單向拉伸：,剛

8、體位移：應(yīng)變?yōu)榱愕奈灰?,為積分常數(shù),物理方程和彈性矩陣物理方程：描述應(yīng)力和應(yīng)變之間的關(guān)系彈性矩陣,對稱,回顧單向拉伸虎克定理：,平衡方程邊界條件力的邊界條件位移邊界條件,,,,,,,,,,,y,z,,應(yīng)力微元體平衡,*,彈性力學(xué)問題歸納（位移法）求解位移函數(shù) ，它滿足 三個平衡方程六個幾何方程六個物理方程 力的邊界條件和位移

9、邊界條件數(shù)學(xué)上是偏微分方程的邊值問題全部點的位移集合反映結(jié)構(gòu)的變形彈性結(jié)構(gòu)上有無窮多個點，所以有無窮多個自由度由位移函數(shù)可求得應(yīng)變由應(yīng)變可求得應(yīng)力,,,,,,,,,,,,圣維南原理若把物體的一小部分邊界上的面力變換為分布不同但靜力等效的面力（主矢量相同，對于同一點的主矩也相同），那么近處的應(yīng)力分布將有顯著的改變，但遠(yuǎn)處所受的影響可忽略不計。,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,P,P,P,P,P,,,,,,,,,彈性體虛位

10、移原理虛位移結(jié)構(gòu)約束所允許的任何微小位移虛應(yīng)變虛位移所產(chǎn)生的應(yīng)變虛功原理外力在虛位移上所做的功等于彈性體內(nèi)應(yīng)力在相應(yīng)的虛應(yīng)變上所做的功,第二章 有限元法基思想,引言彈性力學(xué)對結(jié)構(gòu)分析的描述（求應(yīng)力和變形）十五個偏微分方程滿足邊界條件連續(xù)體，無窮多個自由度機械結(jié)構(gòu)復(fù)雜性幾何形狀復(fù)雜位移邊界條件復(fù)雜所受載荷復(fù)雜結(jié)構(gòu)材料復(fù)雜求不出解析解，須用數(shù)值計算方法,,,有限元基本方法1. 結(jié)構(gòu)離散化離散成有限個單元

11、單元之間通過節(jié)點相連問題變成求節(jié)點位移有限個自由度網(wǎng)格越密精度越高計算時間越長所需計算機資源越大單元節(jié)點位移用矢量表示單元種類很多,2. 單元分析假設(shè)位移模式得到假設(shè)的位移函數(shù)矩陣[N]任一點的位移 用節(jié)點位移表示單元力學(xué)特性分析由幾何方程得到應(yīng)變矢量（[B]為應(yīng)變矩陣）由物理方程得應(yīng)力由虛位移原理得到單元剛度矩陣節(jié)點力 和節(jié)點位移的關(guān)系,,3. 整體分析單元

12、剛度矩陣疊加形成總剛度矩陣［K］單元節(jié)點力矢量疊加形成結(jié)構(gòu)節(jié)點力矢量形成結(jié)構(gòu)線性方程組4. 約束處理并求解方程處理位移約束條件求解線性方程組的全部節(jié)點位移5. 根據(jù)所求節(jié)點位移計算應(yīng)力分量6. 結(jié)果提取及顯示,有限元應(yīng)用實例（一）機械安全氣囊計算,有限元應(yīng)用實例（二）接觸問題,有限元應(yīng)用實例（三）機械碰撞1,有限元應(yīng)用實例（四）流體力學(xué),有限元應(yīng)用實例（五）超彈性,有限元結(jié)構(gòu)分類和計算步驟結(jié)構(gòu)分類平面問題

13、平面應(yīng)力平面應(yīng)變軸對稱問題桿系結(jié)構(gòu)桁架（平面、空間）剛架（平面、空間）板殼結(jié)構(gòu)空間實體結(jié)構(gòu)組合結(jié)構(gòu)建立力學(xué)模型,計算過程前處理（建立計算模型）建立幾何模型劃分單元網(wǎng)格選擇單元類型劃分網(wǎng)格給定材料常數(shù)給定單元實常數(shù)施加載荷處理邊界條件提交計算后處理觀察分析位移結(jié)果觀察分析各種應(yīng)力其它結(jié)果,第三章 平面問題的有限元法,平面應(yīng)力問題網(wǎng)格劃分單元分析整體分析舉例平面應(yīng)變問題,基本思想三

14、維問題：十五個偏微分方程應(yīng)力應(yīng)變位移 (先計算位移再計算應(yīng)變和應(yīng)力)二維問題平面應(yīng)力問題：想法讓與z有關(guān)的應(yīng)力分量為零平面應(yīng)變問題：想法讓與z有關(guān)的應(yīng)變分量為零位移分量,3.1 平面應(yīng)力問題,彈性力學(xué)平面應(yīng)力問題方程平衡方程邊界條件幾何方程：三個偏微分方程物理方程：三個偏微分方程,,,平面應(yīng)力問題特點（Plane stress)結(jié)構(gòu)特點載荷沿厚度方向不變化，其合力在中面內(nèi)板的兩面

15、為自由面（無載荷作用）板關(guān)于中面對稱板可以是變厚度的t<<a或t<<b,,,,,,,a,,,,,b,P,p,x,y,z,位移、應(yīng)力和應(yīng)變分量位移分量:應(yīng)力分量應(yīng)變分量,由虎克定律求得,,,平面應(yīng)力問題的由來,,物理方程和彈性矩陣,3.2 單元網(wǎng)格劃分,平面應(yīng)力單元類型簡介3節(jié)點三角形單元4節(jié)點4邊形單元8節(jié)點4邊形曲邊單元節(jié)點位移分量每節(jié)點2個位移分量（自由度）x方向的位移u，y方向的

16、位移v單元位移分量（4節(jié)點）,單元網(wǎng)格劃分：生成單元節(jié)點信息應(yīng)力梯度變化比較大的地方，網(wǎng)格應(yīng)密一些有應(yīng)力集中的地方，網(wǎng)格應(yīng)密一些單元邊界長度不要相差過大單元各邊夾角不要太大集中載荷處要設(shè)置節(jié)點結(jié)構(gòu)不同材料交界面處要設(shè)置節(jié)點并作為單元邊界結(jié)構(gòu)厚度突變處要設(shè)置節(jié)點并作為單元邊界分布載荷突變處要設(shè)置節(jié)點施加位移約束處要設(shè)置節(jié)點注意單元間的連接,舉例說明,,,,材料A,材料B,,界面,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,

17、,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,正確,,單元節(jié)點信息節(jié)點信息單元拓?fù)湫畔?,,,,平板長2寬1,,,x,y,1,2,3,4,5,6,7,8,1,2,3,4,5,9,3.3 三角形單元分析,單元的節(jié)點位移和節(jié)點力節(jié)點坐標(biāo):節(jié)點位移節(jié)點力目標(biāo)：單元剛度矩陣[K],單元位移模式單元位移模式的選取（線性模式）形函數(shù)和形函數(shù)矩陣形函數(shù),,代入,,解得,,,整理,其中,(i=i,j,m)

18、,A為三角形面積,形函數(shù)矩陣形函數(shù)的性質(zhì)在本節(jié)點值等于一,在它節(jié)點等于零權(quán)性,收斂性討論單元內(nèi)位移模式必須是連續(xù)的，公共邊上位移必須協(xié)調(diào)位移模式必須反映單元的剛體位移位移模式必須反映單元的常應(yīng)變可以證明三節(jié)點三角形單元是收斂的,,,,,,,,,,,,,,,,i,j,m,p,i,j,m,p,收斂準(zhǔn)則,收斂準(zhǔn)則,1、位移模式必須包含單元的剛體位移,滿足條件1、2的單元為完備單元,2、位移模式必須能包含單元的常

19、應(yīng)變,3、位移模式在單元內(nèi)要連續(xù)、并使相鄰單元間的位移必須協(xié)調(diào),滿足條件3的單元為協(xié)調(diào)單元,單元剛度矩陣單元應(yīng)變與節(jié)點位移的關(guān)系:應(yīng)變矩陣,,[B]為應(yīng)變矩陣,單元應(yīng)力與單元節(jié)點位移的關(guān)系：應(yīng)力矩陣特點單元內(nèi)各點的應(yīng)力和應(yīng)變是相等的三節(jié)點三角形單元為常應(yīng)力（常應(yīng)變）單元,[S]為應(yīng)力矩陣,單元剛度矩陣及其特性單元剛度矩陣（單剛）,單剛的力學(xué)意義對角元素 的力學(xué)意義為

20、：使單元第i個自由度（位移分量）產(chǎn)生單位位移而其它位移分量均為零時需要在該自由度上所施加的力。非對角元素 的力學(xué)意義為：使單元第j個自由度（位移分量）產(chǎn)生單位位移而其它位移分量均為零時第i個自由度上所產(chǎn)生的力。,,,(1,2),(3,4),(5,6),自由度編號,,,,,,,,不動,,,1方向單位位移,,這里（1方向）要加多大的力,,(1,2),(3,4),(5,

21、6),,,,1方向單位位移,,,,不動,,,這里（5方向）要加多大的力,,單剛的特性單元剛度矩陣與位移模式有關(guān)單元剛度矩陣與單元形狀、大小和方位有關(guān)單元剛度矩陣與單元的位置無關(guān)單元剛度矩陣是對稱矩陣剛度矩陣是奇異矩陣,不存在逆矩陣,非節(jié)點載荷的移植（靜力等效）集中力等效集中力最好在集中力處設(shè)置節(jié)點分布面力分布體力,,i,j,m,,,,x,y,P,,i,j,m,,,,,,,,q,結(jié)構(gòu)整體剛度矩陣,通

22、過對彈性體離散化總位能中的單元剛度矩陣和結(jié)點等效載荷列陣實行尺寸擴充變換，增加其階數(shù)和行數(shù)，就可形成一個簡潔非離散形式的總位能表達式，而且總位能?p值保持不變。平面三角形三結(jié)點單元的剛度矩陣為6階矩陣，結(jié)點等效載荷列陣為6行列陣，這與單元三結(jié)點共有2×3=6個位移相對應(yīng)，也就是說，單元剛度矩陣的階數(shù)和結(jié)點等效載荷列陣的行數(shù)要與單元結(jié)點位移數(shù)相等。,結(jié)構(gòu)整體剛度矩陣,同樣，具有n個離散結(jié)點的平面彈性體的總剛度矩陣是一個2n階

23、的矩陣。因此，其單元剛度矩陣和結(jié)點等效載荷列陣分別要擴充為2n階和2n行。以圖所示的有5個結(jié)點和3個單元的彈性平板受集中力p作用情況為例，說明尺寸擴充的具體做法。,結(jié)構(gòu)整體剛度矩陣,5結(jié)點3單元平板的有限元模型該彈性平板的3個單元分別由3組結(jié)點構(gòu)成：第一單元（結(jié)點1、2、3）；第二單元（結(jié)點1、3、4）；第三單元（結(jié)點3、5、4）。,,結(jié)構(gòu)整體剛度矩陣,第一、二、三單元結(jié)點位移列陣為,,結(jié)構(gòu)整體剛度矩陣,第一、二、三單元剛度

24、矩陣為（行列序號為單元結(jié)點序號）,,結(jié)構(gòu)整體剛度矩陣,第一、二、三單元結(jié)點載荷列陣為從各單元矩陣可以看出：矩陣元素都以所屬結(jié)點序號為下標(biāo)，以所屬單元序號為上標(biāo)；,,結(jié)構(gòu)整體剛度矩陣,單元矩陣和列陣尺寸擴充的做法：按結(jié)點數(shù)的2倍確定所有矩陣和列陣的階數(shù)和行數(shù)，本彈性體共有5個結(jié)點，因此階數(shù)和行數(shù)為10；單元結(jié)點位移列陣改寫為本彈性體全部結(jié)點的10階位移列陣,,結(jié)構(gòu)整體剛度矩陣,單元結(jié)點載荷列陣擴充改寫為10階的載荷列陣,,結(jié)構(gòu)整體剛

25、度矩陣,對擴充為10階的單元剛度矩陣元素實行“對號入座”式的填寫，即只填寫與所屬結(jié)點序號對應(yīng)的行列位置上的元素，其余位置上的元素寫零，具體做法（按2×2子塊方式）,,結(jié)構(gòu)整體剛度矩陣,即雖然總體單元數(shù)和結(jié)點數(shù)很多，結(jié)構(gòu)剛度矩陣的階數(shù)很高，但剛度系數(shù)中非零系數(shù)卻很少，這就是剛度矩陣的大型和稀疏性。,,結(jié)構(gòu)整體剛度矩陣,實際上，只要結(jié)點編號合理，這些稀疏的非零元素將集中分布在以主對角線為中心的一條帶狀區(qū)域內(nèi)，具有帶

26、狀分布的特點，如圖所示。 結(jié)構(gòu)剛度矩陣的帶狀分布圖,結(jié)構(gòu)整體剛度矩陣,結(jié)構(gòu)剛度矩陣K具有以下性質(zhì)：（1）對稱性；（2）奇異性；（3）稀疏性；（4）非零元素呈帶狀分布。,,,,,邊界條件的處理劃零置一法設(shè)已知邊界條件為總剛的處理,,對角元充1對應(yīng)的行和列充0,充大數(shù)法已知邊界條件為,M是很大的數(shù)，遠(yuǎn)大于其它元素如M=1.0E+30,,應(yīng)力計算及結(jié)果整理求解整體結(jié)構(gòu)平衡方程的結(jié)構(gòu)節(jié)點位

27、移總剛用一維變帶寬存儲技術(shù)常采用波陣法求解根據(jù)節(jié)點位移求單元應(yīng)力3節(jié)點三角形單元為常應(yīng)力單元可以理解應(yīng)力為單元中心處的應(yīng)力結(jié)果的整理采用繞節(jié)點平均法求節(jié)點應(yīng)力插值法求邊界節(jié)點應(yīng)力3點的應(yīng)力可由2點和4點插值而得,,,,,,,,,1,2,3,4,,1,3,2,4,目前國內(nèi)常見的有限元系統(tǒng)專業(yè)有限元分析系統(tǒng)ANSYSADINANASTRANABQUSALGOR SUPER SAPCAD軟件掛帶I－DEA

28、S軟件中的有限元系統(tǒng)PRO/E軟件中的有限元系統(tǒng)UG軟件帶的有限元系統(tǒng),3.4 平面應(yīng)力問題舉例,有限元軟件評價要點單元庫材料庫算法庫前后處理能力數(shù)據(jù)接口和數(shù)據(jù)轉(zhuǎn)換標(biāo)準(zhǔn)與CAD軟件UG、PRO/E、Parasolid、IGES有限元軟件之間的數(shù)據(jù)接口IGES等數(shù)據(jù)轉(zhuǎn)換標(biāo)準(zhǔn)操作方便性,I-DEAS有限元分析部分基本功能結(jié)構(gòu)靜力分析：彈性、塑性、蠕變、大變形、接觸問題結(jié)構(gòu)動力學(xué)分析：交變力、沖擊或爆炸、隨機力（地震

29、）、其它瞬態(tài) 力（如橋上的運動載荷）熱分析：線性非線性熱分析－傳導(dǎo)、對流、輻射電磁場分析：電感、電容、磁通量密度、渦流、電場分析、磁力分布、 力、運動效應(yīng)、電路和能量損失計算流體力學(xué)分析：瞬態(tài)或穩(wěn)態(tài)聲場分析壓電分析：電子設(shè)備結(jié)構(gòu)動態(tài)性能分析,I-DEAS高

30、級功能多物理場耦合分析：電－磁－熱、壓力－結(jié)構(gòu)等優(yōu)化設(shè)計拓?fù)鋬?yōu)化設(shè)計（外形優(yōu)化）單元生死問題可擴展功能:連接用戶自己的FORTRAN程序和子過程用戶摩擦系數(shù)用戶塑性屈服準(zhǔn)則用戶失效準(zhǔn)則用戶優(yōu)化其它,I-DEAS操作方式GUI方式：菜單、對話框操作命令方式：大約有1200多個命令程序方式：Open I-DEAS語言編程自動運行I-DEAS幾何建模點（keypoint）線面體,關(guān)鍵點－Keypoint：幾

31、何建模用 不參與有限元計算節(jié)點－Node：有限元分析,解題過程及I-DEAS應(yīng)用有限元解題過程I-DEAS初步應(yīng)用,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,1000,500,P=500N,P=2.0e8Pa,E=2.1e11Pa泊松比0.3板厚30,計算舉例（二）問題一方板,邊長140mm,板厚10mm，板中心孔直徑為20

32、mm，兩端受均勻拉伸分布力1.0E8Pa。材料彈性模量為2.0E11Pa，泊松比為0.3。如圖所示，計算結(jié)構(gòu)應(yīng)力和變形。,,,,,,140,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,建立幾何模型對稱結(jié)構(gòu)，只取其四分之一部分計算選擇單元選平面問題4節(jié)點8自由度單元劃分網(wǎng)格給定材料常數(shù)和單元厚度,,施加載荷和約束提交計算,該線上各點X方向位移為零,,該線上各點

33、y方向位移為零,,分布拉力,,計算結(jié)果,,Von Miss應(yīng)力和結(jié)構(gòu)變形＋原結(jié)構(gòu)輪廓,,局部應(yīng)力放大Von Miss應(yīng)力,平面應(yīng)變結(jié)構(gòu)特點(Plane Strain)Z方向尺寸遠(yuǎn)大于x、y方向，橫截面沿z軸不變化載荷平行于橫截面，且沿z軸不變化任一橫截面均可看成對稱面（簡化成平面問題）典型結(jié)構(gòu)如大壩,,,,,,,,,,,,,,,,,,x,y,z,y,x,3.5 平面應(yīng)變問題,位移、應(yīng)力和應(yīng)變分量位移分量:應(yīng)變分量應(yīng)

34、力分量,由虎克定律求得,,,平面應(yīng)變問題的由來,,處理方法過程同平面應(yīng)力計算時材料常數(shù)的處理理論公式上做如下變換程序應(yīng)用中選擇平面應(yīng)力選項即可幾何模型為結(jié)構(gòu)的橫截面,第三章 軸對稱問題的有限元法,結(jié)構(gòu)特點幾何結(jié)構(gòu)繞軸線z對稱（完整的旋轉(zhuǎn)體）載荷繞結(jié)構(gòu)對稱約束繞軸線對稱材料繞軸線對稱力學(xué)特點Z軸橫截面對稱環(huán)向位移為零應(yīng)力應(yīng)變、位移只與r和z有關(guān)，與 無關(guān)簡化成平面問題,r,z,r,z,應(yīng)力和應(yīng)變分

35、量應(yīng)力分量：應(yīng)變分量：單元節(jié)點位移單元類型舉例（同平面應(yīng)力問題）3節(jié)點、4節(jié)點、 8節(jié)點平面問題單元等節(jié)點位移（同平面應(yīng)力問題）每節(jié)點兩個自由度，r和z方向位移載荷集中力分布面力體積力：重力、離心力,,,,,i,j,k,l,,,r,z,,,,,,,,,,,建模注意,,,,,,,,,,機器不干,實心圓桿,空心圓筒,,,,飛輪,,,,,,,考慮自重，是否軸對稱問題,考慮自重，是否軸對稱問題,,,計算舉例問題一

36、厚壁封閉容器，兩端為半球形，中部為圓柱形，材料為普通碳素鋼，其彈性模量為 ，泊松比為 。已知圓柱段的長度為240mm，外徑D＝100mm，內(nèi)徑d＝60mm。該容器以 的轉(zhuǎn)速繞其軸線旋轉(zhuǎn)，容器內(nèi)壁受 的均勻內(nèi)壓。計算該容器的應(yīng)力分布及變形。分析典型的軸對稱問題可利用結(jié)構(gòu)的對稱性載荷包括內(nèi)壓和離心力,建立幾何模型利用對稱性，只取截面的1／2

37、部分劃分網(wǎng)格選擇8節(jié)點單元給定單元材料常數(shù)質(zhì)量密度查表得出,,施加載荷和約束內(nèi)壓載荷離心力通過指定轉(zhuǎn)速來施加,此線上各點r方向的位移為零,,此線上各點z方向位移為零,,內(nèi)壓,,計算結(jié)果,Von Miss應(yīng)力云圖,變形圖－虛線為原結(jié)構(gòu),,變形圖－網(wǎng)格線為變形后結(jié)構(gòu),,,第四章板殼問題有限元法,結(jié)構(gòu)特點薄壁構(gòu)件，t遠(yuǎn)小于結(jié)構(gòu)邊長受全方位載荷車身為典型的板殼結(jié)構(gòu)有限元要點（通常情況）幾何模型

38、為板殼中面（t/2處）的形狀幾何模型無厚度單元和節(jié)點均在中面上最大應(yīng)力發(fā)生在結(jié)構(gòu)的上下表面,,,,,,,,,,,,,,,,,t,基本假設(shè)板殼中面法線在板殼變形后仍為直線，且垂直與變形后的中面板殼中面只有薄膜應(yīng)力，彎曲應(yīng)力為零板殼的上下表面上的應(yīng)力為彎曲應(yīng)力與中面薄膜應(yīng)力之和彎曲應(yīng)力沿截面線性變化,,,,,,,,,,,,,,應(yīng)力應(yīng)變分量應(yīng)力分量應(yīng)變分量單元類型舉例3節(jié)點、4節(jié)點單元8節(jié)點曲面單元單元自由度節(jié)

39、點自由度（位移分量）單元自由度（8節(jié)點單元48個自由度）,,,,,,,,,,,,,1,5,2,6,3,7,4,8,載荷節(jié)點力矢量集中力、力矩分布面力分布體力邊界條件簡支固支已知位移或轉(zhuǎn)角所需常數(shù)彈性模量泊松比板厚,,,,,,,,,,,,,,,,,固支,簡支,,,,板殼問題I-DEAS應(yīng)用舉例一圓柱面頂蓋薄殼，殼的兩邊支承在隔墻上，作為簡支邊。圓柱半徑為1米，邊長2米，圓心角90度。彈性模量為2.1e11

40、,泊松比0.3，蓋頂承受1e4Pa的法向均布壓力。求蓋的變形與應(yīng)力。,,,,,,,,邊長兩米簡支,,邊長兩米簡支,,,板厚5mm蓋頂受法向均布載荷,半徑1米圓心角90度,,,計算舉例（二）問題橫截面為槽形的懸臂梁如圖1所示。梁長1m，板厚5mm ,其彈性模量為 ，泊松比 ， 分布載荷的分布長度為500mm，集度為q= ，集中載荷為p=2000N（作用點在上緣中點處）

41、，試計算結(jié)構(gòu)的變形與應(yīng)力。,建立幾何模型當(dāng)板殼板殼問題計算，幾何模型為結(jié)構(gòu)中面網(wǎng)格劃分選擇單元：8節(jié)點板殼原（shell）劃分網(wǎng)格給定材料和單元常數(shù),,施加載荷與約束,集中力,分布載荷,,,,,,固定端所有節(jié)點的六個自由度均被約束,計算結(jié)果,最大Von Miss應(yīng)力處,Von Miss應(yīng)力云圖局部放大,結(jié)構(gòu)變形圖與Von Miss應(yīng)力云圖,原結(jié)構(gòu),變形后結(jié)構(gòu),,,,,,第五章 空間實體問題有限元法

42、,結(jié)構(gòu)特點3D實體有限元要點應(yīng)力分量應(yīng)變分量單元節(jié)點位移,,,,,,,,,,,,,,x,y,z,單元舉例8節(jié)點六面體單元20節(jié)點六面體等參元單元Tet10節(jié)點單元節(jié)點自由度為3X方向的位移uY方向的位移vZ方向的位移w20節(jié)點單元自由度為60所需材料常數(shù)彈性模量和泊松比載荷集中載荷分布面力分布體力,,六面體單元,等參數(shù)單元等參數(shù)單元基本概念8節(jié)點平面問題等參數(shù)單元,,,,,,,,,,,,,,

43、,,1,2,3,4,5,6,7,8,,,,x,y,1,2,3,4,5,6,7,8,1點坐標(biāo)(-1,-1),4點坐標(biāo)(-1,1),3點坐標(biāo)(1,1),8點坐標(biāo)(-1,0),變換,基本單元（母單元）,實際單元,設(shè)則可有位移變換和坐標(biāo)變換其中形函數(shù)為,變換形式和參數(shù)完全一樣,,,20節(jié)點空間等參單元,,,,,,,,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,17,18,19,20,,,,

44、,,,,,,,,,,,,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,17,18,19,20,x,y,z,母單元,實際單元,設(shè)則可有位移變換和坐標(biāo)變換其中形函數(shù)為,等參單元中的Jacobi矩陣和高斯積分Jacobi矩陣,,,[J]為jacobi矩陣,高斯積分,一維積分N個點,二維積分個點,三維積分類推： 個積分點,,,,,,,,,,,,,,,,還有

45、4點積分(n=4)、5點積分(n=5)等,有限元網(wǎng)格自動生成的參數(shù)變換法方法原理簡介幾何結(jié)構(gòu)的分塊任何一個形狀復(fù)雜的平面結(jié)構(gòu)，都可以看成由若干個曲邊四邊形子塊組成任何一個復(fù)雜的板殼結(jié)構(gòu)，可以一些曲邊四邊形薄殼子塊組成任何一個空間實體，也可以看作由一些曲面六面體子塊組成,,,,1,2,3,4,5,6,7,8,可以是真正具有四條邊的四邊形，也可以是人為定義的曲邊四邊形,,每一個四邊形（六面體）都可以通過前面介紹的參數(shù)變換方法由

46、正方形（正六面體）的母單元變換得到對參數(shù)變化范圍為[-1,1]的母單元劃分網(wǎng)格，經(jīng)過變換后即可得到子塊的網(wǎng)格所有子塊的網(wǎng)格劃分完成后，即可得到整個結(jié)構(gòu)的有限元網(wǎng)格,,,,,,x,y,,,,,,,,,,,,,,,子塊網(wǎng)格劃分計算方法平面子塊(3節(jié)點或4節(jié)點單元）用NX表示在 邊沿 方向應(yīng)劃分的單元數(shù) 用NY表示在 邊沿 方向應(yīng)劃分的單元數(shù)用權(quán)因子

47、 控制 方向所劃分單元大小變化用權(quán)因子 控制 方向所劃分單元大小變化子塊內(nèi)第K個節(jié)點的坐標(biāo)可由下式計算其中初值,其中空間板殼子塊,其它公式和平面子塊一樣,,,還可以生成8節(jié)點單元，只須增加單元邊中間節(jié)點的計算即可,同理可擴充到3D六面體子塊網(wǎng)格的劃分，在此不再贅述,

48、結(jié)構(gòu)有限元網(wǎng)格的形成每個子塊網(wǎng)格劃分完成后，將其拼集在一起便可得到結(jié)構(gòu)的有限元網(wǎng)格。由于每個子塊都是單獨劃分的，在相鄰子塊的交線（面）上會出現(xiàn)一些公共節(jié)點，它們坐標(biāo)一樣但編號卻不同，即產(chǎn)生一些虛假節(jié)點，必須將其消去，否則就無法用有限元程序進行正確的計算。設(shè)任意兩個節(jié)點 和 ，對給定的精度 有： 則認(rèn)為節(jié)點 和

49、 是同一個節(jié)點，必須將其中的一個節(jié)點消去。多余節(jié)點消除后，修改所有單元和節(jié)點編號即可得到結(jié)構(gòu)的有限元網(wǎng)格。,,,,,,,,,,,子塊A,,子塊B,,,,實體問題計算舉例問題圖示U形夾左端固定，圓孔下半部受分布壓力 作用, ， , ,圖中長度單位為cm。用有限元法分析變形及應(yīng)力。,建立幾何模型由于對稱性，只取結(jié)構(gòu)的1／2分析即可網(wǎng)格劃分單

50、元選擇選用Tet10節(jié)點單元劃分網(wǎng)格給定材料常數(shù),,施加載荷和約束,對稱面上各點垂直于對稱面的位移為零—施加約束,端面為固支，其上各點的所有自由度都必須約束住,分布載荷,,,,計算結(jié)果,虛線為原結(jié)構(gòu),變形結(jié)構(gòu)和Von Miss應(yīng)力云圖,原孔處的局部放大效果,,,,第六章 桿系結(jié)構(gòu)有限元法,桿系結(jié)構(gòu)桁架平面桁架空間桁架桿件與桿件間為鉸接鉸接點只傳遞力而不傳遞轉(zhuǎn)矩每根桿件均為二力桿桿件不

51、產(chǎn)生彎曲變形和彎曲應(yīng)力有限元計算采用桿元（桿單元：bar）,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,桁架結(jié)構(gòu),剛架平面剛架空間剛架桿件與桿件間可理解為焊接連接點可傳遞力也可傳遞轉(zhuǎn)矩剛架有限元分析采用梁元（beam）可當(dāng)作剛架的常見結(jié)構(gòu)高壓線塔客車車身骨架管式摩托車車架自行車車架長江大橋,,,,,,,,剛架結(jié)構(gòu),平面剛架的有限元法平面剛架單元（Beam）2節(jié)點單元局部坐標(biāo)為單元

52、坐標(biāo)單元建立在桿中心線上單元為數(shù)學(xué)意義上的線單元節(jié)點位移單元節(jié)點力節(jié)點力與節(jié)點位移的關(guān)系,,,,,,,,,,,,,局部坐標(biāo)系下的單元剛度矩陣可由材料力學(xué)直接推出也可假設(shè)位移模式和平面問題步驟一樣推出,截面面積,,彈性模量,,對Z軸主慣性矩,,單元長度,,單元長度由機器根據(jù)兩個節(jié)點的坐標(biāo)自動計算,單元節(jié)點載荷節(jié)點集中力節(jié)點集中力矩單元分布力單元分布力矩重力,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,

53、,,,,,,,,,,,,,,,,,,分布彎曲力矩,分布橫向力,計算機可處理的線性分布可變成另外兩種種具體形式1.均布分布力2.三角形分布,,還可有分布軸力,單元剛度矩陣的坐標(biāo)變換推導(dǎo)單元剛度矩陣時采用的是單元局部坐標(biāo)系，它的坐標(biāo)方向是由單元方向確定的，采用這樣的坐標(biāo)系，對所有單元可得到統(tǒng)一形式的單元剛度矩陣。但實際結(jié)構(gòu)的每一桿件的方位都不一定相同，因此要將局部坐標(biāo)系下的單元剛度矩陣和節(jié)點力變換到結(jié)構(gòu)整體坐標(biāo)系下才能疊加求解。

54、 設(shè)局部坐標(biāo)系 下的各量為： 整體坐標(biāo)系 下對應(yīng)的各量為： 則有：,,,,,,如果以 為局部坐標(biāo)與整體坐標(biāo)之間的轉(zhuǎn)換矩陣，則有：由此可得：即：其中,整體坐標(biāo)系下的單元剛度矩陣,,分別為兩局部坐標(biāo)軸在整體坐標(biāo)系中的方向余旋,和,,空間剛架的有限元法2節(jié)點空間梁元（Beam）2個節(jié)點i和j定義單元增加輔助節(jié)點k單元建立在桿中心線上單元為數(shù)學(xué)意義上的線單元節(jié)點位移

55、單元節(jié)點力每節(jié)點6個自由度，為12自由度單元,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,單元剛度矩陣,對稱,截面面積,,彈性模量,,剪切唐性模量,,扭轉(zhuǎn)慣性矩,,對Z軸主慣性矩,,對y軸主慣性矩,,單元長度,,單元長度由機器根據(jù)兩個節(jié)點的坐標(biāo)自動計算如果要考慮剪切的影響切，則還要給出對y和z軸的剪切影響系數(shù)以及沿y和z軸方向的有效抗剪面積共四個常數(shù),單元節(jié)點載荷,單元節(jié)點載荷節(jié)點集中力節(jié)點集中力矩單

56、元分布力單元分布力矩重力,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,分布彎曲力矩,分布橫向力,計算機可處理的線性分布可變成另外兩種種具體形式1.均布分布力2.三角形分布,,,,,,,,,,,,,,,還有分布力矩、,還可有分布軸力,,,單元矩陣的坐標(biāo)變換,分別為三局部坐標(biāo)軸在整體坐標(biāo)系中的方向余旋,單元局部坐標(biāo)系的確定輔助點k與節(jié)點i和j可確定局部坐標(biāo)系節(jié)點i和j可確定

57、軸方向K取在 平面內(nèi)由 可得 軸方向由 和 軸即可得到 軸,,,,結(jié)構(gòu)整體坐標(biāo)系,,,,,,,,,單元局部坐標(biāo)系,,,輔助節(jié)點k的選取可以利用結(jié)構(gòu)上已有的節(jié)點作為k點若k點不是結(jié)構(gòu)上的點，其六個自由度須全部施加零約束k點不能在ij點的連線上,輔助點（又叫參考點）k點決定了桿件的放置方位,,,,結(jié)構(gòu)整體坐標(biāo)系,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,

58、,,,,,,如果給計算程序輸入的對y軸和z軸主慣性矩大?。樞颍┎蛔兊脑?，下面k點選取的方位不同，則表示結(jié)構(gòu)桿件放置的方位不一樣。千萬注意不要出錯。,I-DEAS中可處理的標(biāo)準(zhǔn)截面形狀和參數(shù)（一）,I-DEAS中可處理的標(biāo)準(zhǔn)截面形狀和參數(shù)（二）,第七章 組合問題的有限元法,熱應(yīng)力問題考慮熱應(yīng)力的物理方程 其中 為溫度變化引起的應(yīng)變 式中 為材料線膨脹系數(shù)， 為

59、溫度的變化,考慮熱應(yīng)力時單元的虛功節(jié)點力與節(jié)點位移關(guān)系,相當(dāng)于溫度變化而產(chǎn)生的等效節(jié)點力，稱為熱載荷，在有限元計算中給定節(jié)點溫度即可,,預(yù)應(yīng)力問題（初始應(yīng)力）預(yù)應(yīng)力鋼板彈簧復(fù)合材料飛輪的預(yù)應(yīng)力客車車身預(yù)應(yīng)力蒙皮預(yù)應(yīng)力鋼箱橋梁有限元處理方法實質(zhì)上與溫度應(yīng)力相同I-DEAS可以方便處理預(yù)應(yīng)力也可以用設(shè)置節(jié)點溫度的方法獲得預(yù)應(yīng)力,桿件與塊件的混合結(jié)構(gòu)如圖所示結(jié)構(gòu)，由A和B兩個實體用水平連桿相互連接而成，目的是要該

60、結(jié)構(gòu)的兩部分在水平方向成為整體，具有較大剛度，而在垂直方向又相互獨立，以消除不均勻沉陷所引起的相互影響。,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,桿單元節(jié)點三個自由度，實體單元節(jié)點也是三個自由度，問題可方便而自然地解決,支撐樁也可簡化成桿元,,連桿為桿元,,實體單元,,梁元和板殼元組合結(jié)構(gòu)加筋薄殼結(jié)構(gòu)問題結(jié)構(gòu)以薄殼的剛度為主肋條只起加強筋的作用殼體與加強筋剛性連接加

61、強筋截面某主方向與連接處處殼體中面法向一致i、j節(jié)點自由度為線性關(guān)系,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,i,,,j,,,薄殼采用板殼單元,加強筋采用梁元,梁元節(jié)點j當(dāng)作板殼元節(jié)點i的從屬節(jié)點,,,,e,i點和j點的位移關(guān)系（約束方程）i點（主節(jié)點）的位移矢量j點（從節(jié)點）的位移矢量位移關(guān)系,變換矩陣,,一般情況下的梁元和板殼元的組合梁單元節(jié)點為六個自由度板殼元節(jié)點也為六個自由度一般情況下可

62、很協(xié)調(diào)地組合起來不同節(jié)點自由度的單元組合問題實體單元與板殼單元,,,,,,,,,,,,,,實體，采用3D實體單元,板殼，采用板殼單元,,,地面上所有節(jié)點的全部自由度都被約束,,按板殼組合結(jié)構(gòu)算，如果不采取特殊的結(jié)構(gòu)處理，計算伏明霞跳水，會發(fā)生什么情況呢？,,,,,x,y,z,實體單元、桿元與梁元,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,移動吊重,實體基礎(chǔ)實體元,實體基礎(chǔ)實體元,塔桿－剛架梁元,繩索－桁架

63、桿元,一定要考慮地基、塔桿和繩索的應(yīng)力和變形，結(jié)構(gòu)該如何處理呢,,,塔桿－剛架梁元,,,,典型的特殊單元彈簧元兩個節(jié)點每節(jié)點3個位移自由度有剛度和阻尼兩個參數(shù)接觸單元點接觸單元面接觸單元兩物體相互靠近時接觸時接觸單元起作用（傳遞力）兩物體相互脫離時單元不起作用（不傳遞力）繩索元兩物體相互靠近時接觸時單元不起作用（不傳遞力）兩物體相互脫離時單元起作用（傳遞力）,自定義單元剛度矩陣讀入單元剛度矩陣約束方程I

64、-DEAS節(jié)點間的約束方程簡介I-DEAS單元庫I-DEAS單元庫簡介,練習(xí)一邊長為一米的方桌如圖1(a)所示。四根桌腿為空心圓管，外徑為50mm，壁厚為2mm；桌面為3mm厚的鋼板（離地高度為1米），四邊為矩形加強管，橫截面高60mm，寬50mm,壁厚為2.5mm，其放置方位如圖1(b)所示。桌面中心位置處有一鋼塊（長寬高：400-400-200mm），它由四個角點處的四個彈簧支撐在桌面上，鋼塊中心處作用有一垂直向下的集中載荷P

65、=1000N。鋼塊的密度為7.8E1000kg/m3，彈簧的初始長度為60mm，剛度為100N/mm。材料彈性模量和泊松比分別為 和 。試計算結(jié)構(gòu)的變形、內(nèi)力與應(yīng)力。,加強管,,,重鋼塊,,桌面鋼板,,,P,彈簧,,鋼架桌,第六章 有限元動力學(xué)分析,有限元動力學(xué)方程和質(zhì)量矩陣動力學(xué)方程［M］— 結(jié)構(gòu)的質(zhì)量矩陣［C］— 阻尼矩陣［K］— 剛度矩陣,質(zhì)量矩陣結(jié)構(gòu)質(zhì)量矩陣由單元質(zhì)量矩陣疊加而成

66、一致質(zhì)量矩陣對平面問題三節(jié)點單元,采用一致質(zhì)量矩陣：1.可以得到更精確的振形2.計算所得頻率值是結(jié)構(gòu)真實頻率的上界 3.計算比較復(fù)雜，存儲量較大,團聚質(zhì)量矩陣根據(jù)精力學(xué)平行力分解原則求得等厚度平面三角形單元的團聚質(zhì)量矩陣,1.計算比較簡單 2.存儲量少

67、 3.有使結(jié)構(gòu)頻率計算值降低的趨勢 4.采用協(xié)調(diào)元時，由于協(xié)調(diào)單元有較高 的剛度，會使結(jié)構(gòu)計頻率計算值偏高 5.這兩種相反因素相抵，有時可得到 較好的固有頻率計算值,模態(tài)分析（特征值問題）無阻尼自由振動解的形式廣義特征值問題,廣義特征值問題的解固有頻率（n階，n為結(jié)構(gòu)自由度數(shù)）振型（特征矢量，n階，n為結(jié)構(gòu)自由度數(shù)）特征矢量的正交性

68、一般情況下，工程上只對前幾階固有頻率和振型感興趣,特征值問題常見求解方法廣義雅可比方法通過一系列變換將質(zhì)量矩陣和剛度矩陣對角化后求解此法為求全部特征值的方法只求少數(shù)低階特征值時，此法不合算逆迭代法通過一系列迭代求解特征值一般只用來求前三五階特征對求高階特征對時精度難以滿足（精度較低）子空間迭代法求大型結(jié)構(gòu)前幾階特征對很有效,計算舉例問題一懸壁薄板長300mm，寬200mm，厚2mm，沿短邊約束。