排列組合的常見(jiàn)題型及其解法

1、排列組合的常見(jiàn)題型及其解法排列組合的常見(jiàn)題型及其解法一.特殊元素（位置）用優(yōu)先法把有限制條件的元素（位置）稱(chēng)為特殊元素（位置），對(duì)于這類(lèi)問(wèn)題一般采取特殊元素（位置）優(yōu)先安排的方法。例1、6人站成一橫排，其中甲不站左端也不站右端，有多少種不同站法？分析：解有限制條件的元素（位置）這類(lèi)問(wèn)題常采取特殊元素（位置）優(yōu)先安排的方法。解法1：（元素分析法）因?yàn)榧撞荒苷咀笥覂啥?，故第一步先讓甲排在左右兩端之間的任一位置上，有種站法；第二步再讓其余的5

2、人站在其他5個(gè)位置上，有種站法，故站法共有：＝480（種）解法2：（位置分析法）因?yàn)樽笥覂啥瞬徽炯?，故第一步先從甲以外?個(gè)人中任選兩人站在左右兩端，有種；第二步再讓剩余的4個(gè)人（含甲）站在中間4個(gè)位置，有種，故站法共有：（種）例2、某臺(tái)小型晚會(huì)由6個(gè)節(jié)目組成，演出順序有如下要求:節(jié)目甲必須排在前兩位，節(jié)目乙不能排在第一位，節(jié)目丙必須排在最后一位。該臺(tái)晚會(huì)節(jié)目演出順序的編排方案共有多少種？24例3、某單位7位員工在10月1日至10月7

3、日值班，每天一人，若7位員工中的甲乙排在相鄰兩天，丙不排在10月1日，丁不排在10月7日，則不同的安排方案有多少種？1008二.相鄰問(wèn)題用捆綁法對(duì)于要求某幾個(gè)元素必須排在一起的問(wèn)題，可用“捆綁法”：即將這幾個(gè)元素看作一個(gè)整體，視為一個(gè)元素，與其他元素進(jìn)行排列，然后相鄰元素內(nèi)部再進(jìn)行排列。例4、5個(gè)男生和3個(gè)女生排成一排，3個(gè)女生必須排在一起，有多少種不同排法？解：把3個(gè)女生視為一個(gè)元素，與5個(gè)男生進(jìn)行排列，共有種，然后女生內(nèi)部再進(jìn)行排

4、列，有種，所以排法共有：（種）。三.合并元素法例5、4名大學(xué)生到3工廠(chǎng)實(shí)習(xí)，每個(gè)工廠(chǎng)去至少一人，則不同的分配方案有多少種？2343CA四.相離問(wèn)題用插空法元素相離（即不相鄰）問(wèn)題，可以先將其他元素排好，然后再將不相鄰的元素插入已排好的元素位置之間和兩端的空中。例6、7人排成一排，甲、乙、丙3人互不相鄰有多少種排法？解：先將其余4人排成一排，有種，再往4人之間及兩端的5個(gè)空位中讓甲、乙、丙插入，有種，所以排法共有：（種）五.定序問(wèn)題用除

5、法（縮倍法）對(duì)于在排列中，當(dāng)某些元素次序一定時(shí)，可用此法。解題方法是：先將n個(gè)元素進(jìn)行全排列有種，個(gè)元素的全排列有種，由于要求m個(gè)元素次序一定，因此只能取其中的某一種排法，可以利用除法起到調(diào)序的作用，即若n個(gè)元素排成一列，其中m個(gè)元素次序一定，則有種排列方法。例7、由數(shù)字0、1、2、3、4、5組成沒(méi)有重復(fù)數(shù)字的六位數(shù)，其中個(gè)位數(shù)字小于十位數(shù)字的六位數(shù)有多少個(gè)？解：不考慮限制條件，組成的六位數(shù)有種，其中個(gè)位與十位上的數(shù)字一定，所以所求的六

6、位數(shù)有：（個(gè)）例8、7人排隊(duì)，A必須在B的后面，可以不相鄰，那么不同的排法有多少種？例8、7人排隊(duì)其中甲乙丙3人順序一定共有多少不同的排法解:(倍縮法)對(duì)于某幾個(gè)元素順序一定的排列問(wèn)題可先把這幾個(gè)元素與其他元素一起進(jìn)行排列然后用總排列數(shù)除以這幾個(gè)元素之間的全排列數(shù)則共有不同排法種數(shù)是：7373AA(空位法)設(shè)想有7把椅子讓除甲乙丙以外的四人就坐共有種方法，其余的三個(gè)位置甲乙丙共有1種坐法，則47A共有種方法。47A思考:可以先讓甲乙丙就

7、坐嗎例9、古都西安的名勝古跡“兵馬俑”的管理者，為了既方便游人與“兵馬俑”拍照留念，又防止毀壞文物特意作了三尊以假亂真的兵馬俑，固定在一起排成一排供人留念?，F(xiàn)在一個(gè)4人旅游團(tuán)來(lái)到這里并且想與兵馬俑合影留念，請(qǐng)問(wèn)當(dāng)這4人與三尊兵馬俑排成一排留影時(shí)，有多少種不同的站法？假設(shè)每?jī)勺鹬g有足夠的空隙站4人。840練習(xí)題：110個(gè)相同的球裝5個(gè)盒中每盒至少一有多少裝法？49C2.求這個(gè)方程組的自然數(shù)解的組數(shù)100xyzw????3103C

8、十二.環(huán)排問(wèn)題線(xiàn)排策略例20、8人圍桌而坐共有多少種坐法解：圍桌而坐與坐成一排的不同點(diǎn)在于，坐成圓形沒(méi)有首尾之分，所以固定一人并從此位置把圓形展成直線(xiàn)其余44A7人共有（81）！種排法即！7HFDCAABCDEABEGHGFex：6顆顏色不同的鉆石，可穿成幾種鉆石圈120十三.實(shí)際操作窮舉法例21、設(shè)有編號(hào)12345的五個(gè)球和編號(hào)12345的五個(gè)盒子現(xiàn)將5個(gè)球投入這五個(gè)盒子內(nèi)要求每個(gè)盒子放一個(gè)球，并且恰好有兩個(gè)球的編號(hào)與盒子的編號(hào)相同有

9、多少投法解：從5個(gè)球中取出2個(gè)與盒子對(duì)號(hào)有種還剩下3球3盒序號(hào)不能對(duì)應(yīng)，利用實(shí)際操作法，如果剩下345號(hào)球25C345號(hào)盒3號(hào)球裝4號(hào)盒時(shí)，則45號(hào)球有只有1種裝法，同理3號(hào)球裝5號(hào)盒時(shí)45號(hào)球有也只有1種裝法由分步計(jì)數(shù)原理有種252C5343號(hào)盒4號(hào)盒5號(hào)盒練習(xí)題：1.同一寢室4人每人寫(xiě)一張賀年卡集中起來(lái)然后每人各拿一張別人的賀年卡，則四張賀年卡不同的分配方式有多少種？(9)2.給圖中區(qū)域涂色要求相鄰區(qū)域不同色現(xiàn)有4種可選顏色則不同的

10、著色方法有72種54321十四.住店法策略解決“允許重復(fù)排列問(wèn)題”要注意區(qū)分兩類(lèi)元素：一類(lèi)元素可以重復(fù)，另一類(lèi)不能重復(fù)，把不能重復(fù)的元素看作“客”，能重復(fù)的元素看作“店”，再利用乘法原理直接求解.例22、七名學(xué)生爭(zhēng)奪五項(xiàng)冠軍，每項(xiàng)冠軍只能由一人獲得，獲得冠軍的可能的種數(shù)有.分析：因同一學(xué)生可以同時(shí)奪得n項(xiàng)冠軍，故學(xué)生可重復(fù)排列，將七名學(xué)生看作7家“店”，五項(xiàng)冠軍看作5名“客”，每個(gè)“客”有7種住宿法，由乘法原理得7種.5一般地n個(gè)不同元