重慶科創(chuàng)學院微分方程電子教案第1節(jié)

1、重慶科創(chuàng)職業(yè)學院授課方案（教案）重慶科創(chuàng)職業(yè)學院授課方案（教案）課名：高等應用數(shù)學（下）教師：喬旭安班級：編寫時間：授課時數(shù)課題：6.1微分方程的基本概念2節(jié)教學目的及要求：理解并掌握微分方程的基本概念，主要包括微分方程的階，微分方程的通解、特解及微分方程的初始條件等。教學重點：常微分方程的基本概念，常微分方程的通解、特解及初始條件教學難點：微分方程的通解概念的理解。教學步驟及內(nèi)容：一、兩個實例一、兩個實例例1一條曲線通過點，且在該曲線

2、上任一點處的切線的斜(12))(yxM率為橫坐標平方的倍，求這條曲線的方程。3解：設曲線方程為。由導數(shù)的幾何意義可知函數(shù)滿)(xyy?)(xyy?23dyxdx?(1)同時還滿足以下條件：時，1?x2?y(2)把式兩端積分，得(1)即23yxdx??3yxC??(3)其中是任意常數(shù)。C把條件代入式，得，(2)(3)1?C由此解出并代入式，得到所求曲線方程：C(3)??314yx??旁批欄：微分方程中所出現(xiàn)的未知函數(shù)的最高階導數(shù)的階數(shù)，叫

3、做微分方程的階。例如，方程是一階微分方程；方程是二階微分方程方程。又如，方程(1)(5)??xyyyyy2sin5121044???????????是四階微分方程。2微分方程的解、通解與特解若將某個函數(shù)及其導數(shù)代入微分方程，能使微分方程成為恒等式，則稱此函數(shù)為微分方程的解。例如，函數(shù)和都是微分方程的解；函數(shù)和都是微分(3)(4)(1)(8)(9)方程的解。(5)如果微分方程的解中含有任意常數(shù)，且所含相互獨立的任意常數(shù)的個數(shù)與微分方程的階

4、數(shù)相同，這樣的解叫做微分方程的通解。例如，函數(shù)是(3)方程的解，它含有一個任意常數(shù)，而方程是一階的，所以函數(shù)是(1)(1)(3)方程的通解。又如，函數(shù)是方程的解，它含有兩個任意常數(shù)，而(1)(8)(5)方程是二階的，所以函數(shù)是方程的通解。(5)(8)(5)由于通解中含有任意常數(shù)，所以它還不能完全確定地反映某一客觀事物的規(guī)律性，必須確定這些常數(shù)的值。為此，要根據(jù)問題的實際情況提出確定這些常數(shù)的條件。例如，例1中的條件，例2中的條件，便是這