解析幾何試題的背景及拓展116

1、仿射幾何與北京高考解析幾何試題與北京高考解析幾何試題——2016北京卷第19題的背景和拓展我們知道，圓錐曲線的很多問題都可以在“圓”那里找到源頭，那么圓的哪些性質(zhì)可拓廣到其它曲線呢？那些不能照搬的性質(zhì)，又有什么樣的變化形式？舉個例子：圓有一個重要的性質(zhì)——“直徑所對的圓周角為直角”。那么類似的，對于橢圓能得到什么相應(yīng)的結(jié)論呢？設(shè)為橢圓的“直徑”（即過中心的弦），為橢圓上一點(diǎn)（異于），AB22221xyab??PAB仍垂直嗎？會有什么關(guān)系

2、？PAPB分析：設(shè)，則，1100()()AxyPxy11()Bxy?，又因?yàn)?，?201010122010101PAPByyyyyykkxxxxxx??????????2200221xyab??2211221xyab??所以，也就是說直線的斜率之積為定值。22012201yyxx??22ba??PAPB在2010年高考北京卷的第19題涉及到了這個內(nèi)容：在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)xOy與點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)對稱，是動點(diǎn)，且直線與的斜率之積等于。求動點(diǎn)B

3、(11)A?OPAPBP13?的軌跡方程。P這里，實(shí)際上就是把上面的問題反過來了。這些是簡單的問題，對于圓的更復(fù)雜的性質(zhì)，圓錐曲線里又會有怎樣相應(yīng)的結(jié)論呢？我們知道，對圓錐曲線的研究，思路的起點(diǎn)經(jīng)常是圓，而圓里面的問題太豐富了，中學(xué)教師如果能夠把圓錐曲線和圓的關(guān)系搞清楚，那么解析幾何問題的探索與研究的源泉將永不枯竭。本文簡述仿射幾何的幾條基本理論，探討如何把圓里的問題轉(zhuǎn)化到圓錐曲線中去，尋找高等數(shù)學(xué)觀點(diǎn)下的圓錐曲線（包括圓）的一致性，并

4、談?wù)勗谶@方面北京卷命題所做的一些探索和實(shí)踐。一、仿射幾何的幾條基本結(jié)論一、仿射幾何的幾條基本結(jié)論結(jié)論1:仿射變換保持同素性.仿射變換使得點(diǎn)對應(yīng)點(diǎn)直線對應(yīng)直線.結(jié)論2：仿射變換保持結(jié)合性.在直線上經(jīng)過仿射變換后其對應(yīng)點(diǎn)ABC?L在直線的對應(yīng)直線上.ABC?LL由于仿射變換保持同素性和結(jié)合性所以圖1中的四邊形經(jīng)過變換后仍為四邊ABNM形記為四邊形.又由前面提到的仿射幾何中的推論我們知道兩個封閉圖形面積ABNM之比經(jīng)過仿射變化后保持不變，即四

5、邊形的面積ABNMABNMSS?四邊形四邊形圓面積橢圓面積ABNM也為定值.根據(jù)以上的分析，在橢圓里我們可以提出類似的問題，這就有了2016年高考數(shù)學(xué)北京卷(理科)的第19題：已知橢圓的離心率為，，，，2222:1(0)xyCabab????32(0)Aa(0)Bb(00)O的面積為OAB△1（Ⅰ）求橢圓的方程；C（Ⅱ）設(shè)是橢圓上一點(diǎn)，直線與軸交于點(diǎn)，直線與軸交于點(diǎn)PCPAyMPBxN求證：為定值||||ANBM?（二）問題的拓展（二）

6、問題的拓展2016高考數(shù)學(xué)北京卷的文科第19題與理科19題是姊妹題具體如下:已知橢圓過，兩點(diǎn)2222:1xyCab??(20)A(01)B（Ⅰ）求橢圓的方程及離心率；C（Ⅱ）設(shè)為第三象限內(nèi)一點(diǎn)且在橢圓上，直線與軸交于點(diǎn)，直線與軸PCPAyMPBx交于點(diǎn)求證：四邊形的面積為定值NABNM在這個題的命制過程中，還給出了其他的一些方向，但慎重考慮后，我們做了一些取舍，這里一并和大家談?wù)劊痛蠹姨接?。本題中我們把點(diǎn)限定在第三象限，但實(shí)際上點(diǎn)在其

7、他象限時也有類似問題，比PP如：當(dāng)點(diǎn)在第一象限的時候（且在橢圓上），仍然設(shè)交軸于點(diǎn)，P22141xy??APyM交軸于點(diǎn)，其中，則可以證明是一個定值。證明的過程BPxN(20)(01)ABMNPABPSS?△△中，首先需要一個幾何轉(zhuǎn)化，即，接下來就1||||2MNPABPMNAABNSSSSANBM?????△△△△和前面的問題沒什么差別了。這個結(jié)果非常漂亮，但最后還是割愛了，為什么呢？我們放棄它，并不是因?yàn)檫@個幾何轉(zhuǎn)化，我們甚至認(rèn)為解