[學習]復變函數論第三版鐘玉泉ppt5解析函數的洛朗展式與孤立奇點shu

1、1,2024/3/26,第一節(jié) 解析函數的洛朗展式,1. 雙邊冪級數,2. 解析函數的洛朗展式,3. 洛朗級數與泰勒級數的關系,4. 解析函數在孤立奇點鄰域內的洛朗展式,5. 典型例題,第五章 解析函數的洛朗展式與孤立奇點,2,2024/3/26,1. 雙邊冪級數,定義 稱級數,（1）,為雙邊冪級數（1）的系數。雙邊冪級數,為雙邊冪級數，其中復常數,負冪項部分,非負冪項部分,主要部分,解析部分,注: 主要部分與解析部分同時收斂稱冪級

2、數收斂,,,3,2024/3/26,,若,收斂域為,的收斂半徑為R,,收斂域為,時收斂,,兩收斂域無公共部分,,兩收斂域有公共部分H:,這時,級數(1)在圓環(huán)H:r<|z-a|<R 收斂于和函數f(z)=f1(z)+ f2(z),4,2024/3/26,定理5.1 設雙邊冪級數(1)的收斂圓環(huán)為 H: r<|z-a|<R (r≥0, R≤+∞)則(1) 級數在H內絕對收斂且內

3、閉一致收斂于: f(z)=f1(z)+f2(z).,(2) f(z) 在H內解析.,在H內可逐項求導p次(p=1,2,…).,(4) 函數f(z)可沿H內曲線C逐項積分.,5,2024/3/26,定理5.2 (洛朗定理) 在圓環(huán)H:r<|z-a|<R,(r≥0,R≤+∞)內解析的函數f(z)必可展成雙邊冪級數,其中,(2),2. 解析函數的洛朗(Laurent)展式,(3),6,2024

4、/3/26,(2),2. 解析函數的洛朗(Laurent)展式,定義5.1 (2)式稱為f(z)在點a處的羅朗展式，(3)稱為其羅朗系數，而(2)右邊的級數則稱為羅朗級數。,(3),注: 泰勒級數是羅朗級數的特殊情形。,3. 洛朗級數與泰勒級數的關系,7,2024/3/26,例1 求函數 分別在圓環(huán) 及 的洛朗級數。,(1)在圓環(huán)　　　 內 于是有

5、洛朗級數,解,8,2024/3/26,(2)在圓環(huán) 　 　　　上, ,于是有洛朗級數,解,例1 求函數 分別在圓環(huán) 及 的洛朗級數。,9,2024/3/26,例2 求函數 在 內的洛朗級數。,例3 求函數 在

6、內的洛朗級數。,例4 求函數 在 內的洛朗級數。,10,2024/3/26,4. 解析函數在孤立奇點鄰域內的洛朗展式,定義5.2 如果f(z)在點a的某一去心鄰域K-{a}： 0<|z-a|<R 內解析，點a是f(z)的奇點，則稱為f(z)的孤立奇點.,如果a為f(z)的一個孤立奇點，則f(z)在點a的某一去心鄰域K-{a}：0<|z-

7、a|<R內能展成洛朗級數。,11,2024/3/26,4. 解析函數在孤立奇點鄰域內的洛朗展式,將函數展成洛朗級數的常用方法。,1. 直接展開法:,利用定理公式計算系數,然后寫出,2. 間接展開法,根據正、負冪項組成的的級數的唯一性, 可,用代數運算、代換、求導和積分等方法去展開 .,12,2024/3/26,例1,展開成洛朗級數.,5. 典型例題,例2 求函數 在

8、 內的洛朗級數。,例3 試問函數 能否在 內展成,洛朗級數？,13,2024/3/26,第二節(jié) 解析函數的有限孤立奇點,2. 孤立奇點的性質,3. Picard定理,4 . Schwarz引理,1. 孤立奇點的分類,14,2024/3/26,1. 孤立奇點的分類,如a為f(z)的孤立奇點,則f(z)在a的某去心鄰域K-{a}內可以展成羅

9、朗級數,則稱,為f(z)在點a的正則部分,而稱,為f(z)在點a的主要部分。,15,2024/3/26,1. 孤立奇點的分類,定義5.3 設a為f(z)的孤立奇點. (1)如果f(z)在點a的主要部分為零,則稱a為f(z)的可去奇點;(2)如果f(z)在點a的主要部分為有限多項,設為,則稱a為f(z)的m階極點，一階極點也稱為簡單極點； (3)如果f(z)在點a的主要部分有無限多項,則稱a為f(z)的本性奇點.,16,2024

10、/3/26,定理5.3 若a為f(z)的孤立奇點，則下列三條是等價的。因此，它們中的任何一條都是可去奇點的特征。,(2),(1) f(z)在點a的主要部分為零;,(3) f(z)在點a的某去心鄰域內有界。,2.可去奇點的性質,17,2024/3/26,證 (1) ?(2). 由(1)有,因此,18,2024/3/26,證,(2) ?(3). 因,(3) ?(1). 因主要部分的系數,其中 　　　　,　　

11、 可任意小，故,19,2024/3/26,Schwarz引理 如果函數f(z)在單位圓|z|<1內解析,并且滿足條件 f(0)=0,|f(z)|<1(|z|<1)，則在單位圓|z|<1內恒有|f(z)|≤|z|,且有 .,3. 施瓦茨(Schwarz)引理,如果上式等號成立,或在圓|z|<1內一點z0≠0處前一式等號成立,則(當且僅當)其中α為一實常數.,20,20

12、24/3/26,4. 極點的性質,定理5.4 如果f(z)以a為孤立奇點，則下列三條是等價的。因此，它們中的任何一條都是m階極點的特征。,(1) f(z)在a點的主要部分為,(2)f(z)在點a的某去心鄰域內能表示成,其中λ(z) 在點a的鄰域內解析,且λ(a)≠0,以點a為m階零點。,注意 第(3)條表明：f(z)以點a為m階極點的充要條件是,,以點a為m階零點。,定理5.5 f(z)的孤立奇點a為極點?,21,2024/3/2

13、6,定理5.6 f(z)的孤立奇點a為本性奇點?,5. 本性奇點的性質,定理5.7 若z=a為f(z)的本性奇點,且在點a的充分小去心鄰域內不為零,則z=a亦必為,的本性奇點.,22,2024/3/26,奇點,,,孤立奇點,非孤立奇點,支點,可去奇點,極點,本性奇點,,（單值函數的）,（多值函數的）,23,2024/3/26,定理5.8 如果a為f(z)的本性奇點,則對于任何常數A,不管它是有限數還是無窮,都有一個收斂與a的點列{z

14、n},使得,6. Picard(皮卡)定理,定理5.9(皮卡(大)定理)如果a為f(z)的本性奇點,則對于每一個A≠∞,除掉可能一個值A=A0外,必有趨于a的無限點列{zn}使f(zn)=A (n=1,2,…).,24,2024/3/26,第三節(jié) 解析函數在無窮遠點的性質,定義5.4 設函數f(z)在無窮遠點(去心)鄰域 N-{∞}：+∞>|z|>r≥0內解析,則稱點∞為f(z)的一

15、個孤立奇點.,設點∞為f(z)的孤立奇點,利用變換 ,于是,在去心鄰域:,(5.12),內解析，則,25,2024/3/26,(1)對于擴充z平面上無窮遠點的去心鄰域N-{∞},有擴充z/平面上的原點的去心鄰域;,(2)在對應點z與z/上,函數,(3),或兩個極限都不存在.,注：,26,2024/3/26,定義5.5 若z/=0為,的可去奇點(解析點)、,m級極點或本性奇點,則相應地稱z=∞為f(z)的可去奇點(解析

16、點)、m級極點或本性奇點.,設在去心鄰域 內將,展成羅朗級數:,27,2024/3/26,定理5.3/ (對應于定理5.3)f(z)的孤立奇點z=∞為可去奇點的充要條件是下列三條中的任何一條成立: (1)f(z)在 的主要部分為零; (2) (3)f(z)在 的某去心鄰域N-{∞}內有界.,28,202

17、4/3/26,定理5.4/(對應于定理5.4)f(z)的孤立奇點z =∞為m級極點的充要條件是下列三條中的任何一條成立:,(1) f(z)在 z=∞的主要部分為,(2) f(z)在z =∞的某去心鄰域N-{∞}內能表成,(3) g(z)=1/ f(z)以z =∞為m級零點(只要令g(∞)=0).,其中 在z =∞的鄰域N內解析,且,29,2024/3/26,定理5.5’(對應于定理5.5) f(z)的孤立奇點∞為極點的充要條

18、件是,定理5.6’(對應于定理5.6) f(z)的孤立奇點∞為本性奇點的充要條件是下列任何一條成立:(1)f(z)在z=∞的主要部分有無窮多項正冪不等于零,廣義不存在(即當z趨向于∞時,,f(z)不趨向于任何(有限或無窮)極限).,(2),30,2024/3/26,第四節(jié) 整函數與亞純函數,1. 整函數,2. 亞純函數,31,2024/3/26,在整個z平面上解析的函數f(z)稱為整函數.,(5.14),設f(z)為一整函數,

19、則f(z)只以z=∞為孤立奇點,且可設,1. 整函數,32,2024/3/26,定理5.10 若f(z)為一整函數,則(1)z=∞為f(z)的可去奇點的充要條為:f(z)=c. (2)z=∞為f(z)的m級極點的充要條件:f(z)是一個m次多項式,(3)z=∞為f(z)的本性奇點的充要條件為:展式(5.14)有無窮多個cn不等于零.(我們稱這樣的f(z)為超越整函數).,33,2024/3/26,定義5.6 在z平面上