第13講垂直的判定與性質(zhì)

1、第13講垂直的判定與性質(zhì)1.線面垂直的定義：如果直線與平面內(nèi)的任意一條直線都垂直，則直線與平面互相垂直，記作l?l?.－平面的垂線，－直線的垂面，它們的唯一公共點叫做垂足.（線線垂直線線垂直線面垂直線面垂直）l??l??lP?2.判定定理：一條直線與一個平面內(nèi)的兩條相交直線都垂直，則這條直線與該平面垂直.符號語言表示為：若⊥，⊥，∩＝B，?，?，則⊥lmlnmnm?n?l?3.面面垂直的定義：兩個平面相交，如果它們所成的二面角是直二面角

2、，就說這兩個平面互相垂直.記作.???4.判定定理：一個平面過另一個平面的垂線，則這兩個平面垂直.（線面垂直線面垂直面面垂直面面垂直）?5.線面垂直性質(zhì)定理：垂直于同一個平面的兩條直線平行.（線面垂直（線面垂直線線平行）線線平行）?6.面面垂直性質(zhì)定理：兩個平面垂直，則一個平面內(nèi)垂直于交線的直線與另一個平面垂直.用符號語言表示為：若，，，，則.（面面垂直（面面垂直線面垂直）線面垂直）???l????a??al?a???【例1】四面體中，

3、分別為的中點，且，，求證：ABCDACBDEF?ADBC22EFAC?90BDC???平面.BD?ACD證明證明：取的中點，連結，∵分別為的中點，∴，CDGEGFGEFADBCEG12AC?12FGBD?.又∴，∴在中，，ACBD?12FGAC?EFG?222212EGFGACEF???∴，∴，又，即，，EGFG?BDAC?90BDC???BDCD?ACCDC??∴平面.BD?ACD【例2】已知棱長為1的正方體ABCD－A1B1C1D1

4、中，E是A1B1的中點，求直線AE與平面ABC1D1所成的角的正弦值.解：取CD的中點F，連接EF交平面于O，連AO.11ABCD由已知正方體，易知平面，所以為所求.EO?11ABCDEAO?在中，，，RtEOA?1112222EOEFAD???2215()122AE???.10sin5EOEAOAE???所以直線AE與平面所成的角的正弦值為.11ABCD105【例3】三棱錐中，，平面ABC，垂足為PABC?PABCPBAC??，PO?

5、O，求證：O為底面△ABC的垂心.證明證明：連接OA、OB、OC，∵平面ABC，∴PO?POBCPOAC??.又∵，PABCPBAC??，∴，得BCPAOACPBO??平面，平面AOBCBOAC??，∴O為底面△ABC的垂心.【例4】已知，斜邊BC平面，AB，AC分別與RtABC??A??平面成30和45的角，已知BC=6，求BC到平面的距離.??解：作于，于，則由，得1BB??1B1CC??1CBC?，且就是BC到平面的距離，11BB

6、CC?1CC?設，連結，則，1CCx?11ABAC113045BABCAC??????∴，22ACxABx??在中，，∴，∴，即BC到平面的距離為RtABC?690BCBAC????223624xx??6x??6【例5】如圖，已知平行六面體ABCD—A1B1C1D1的底面是菱形且∠C1CB=∠C1CD=∠BCD=60（1）證明：C1C⊥BD；（2）當?shù)闹禐槎嗌贂r，可使A1C⊥面1CDCCC1B1CBA?（2）證明：取CD中點G，連EG、

7、FG，∵E、F分別是AB、PC的中點，∴EG∥AD，F(xiàn)G∥PD.∴平面EFG∥平面PAD，故EF∥平面PAD.（3）當平面PCD與平面ABCD成45角時，直線EF⊥面PCD.證明：G為CD中點，則EG⊥CD由(1)知FG⊥CD，故∠EGF為平面PCD與平面ABCD所成二面角的平面角.即∠EGF=45，從而得∠ADP=45，AD=AP.由Rt△PAE≌Rt△CBE得PE=CE.又F是PC的中點，∴EF⊥PC，由CD⊥EG，CD⊥FG，得C

8、D⊥平面EFG，CD⊥EF即EF⊥CD，故EF⊥平面PCD.【例1】把直角三角板ABC的直角邊BC放置于桌面，另一條直角邊AC與桌面所在的平面垂直，a是?內(nèi)一條直線，若斜邊AB與a垂直，則BC是否與a垂直？?解：【例2】如圖，AB是圓O的直徑，C是圓周上一點，PA⊥平面ABC.（1）求證：平面PAC⊥平面PBC；（2）若D也是圓周上一點，且與C分居直徑AB的兩側，試寫出圖中所有互相垂直的各對平面.解：（1）證明：∵C是AB為直徑的圓O的

9、圓周上一點，AB是圓O的直徑，∴BC⊥AC.又PA⊥平面ABC，BC?平面ABC，∴BC⊥PA，從而BC⊥平面PAC.∵BC?平面PBC，∴平面PAC⊥平面PBC.（2）平面PAC⊥平面ABCD；平面PAC⊥平面PBC；平面PAD⊥平面PBD；平面PAB⊥平面ABCD；平面PAD⊥平面ABCD.【例3】三棱錐中，平面ABC，垂足為O，求證：PABC?PAPBPC??PO?O為底面△ABC的外心.證明證明：連接OA、OB、OC，∵平面AB

10、C，∴.PO?POOAPOOBPOOC???在△PAO、△PBO、△PCO中，90POAPOBPOC???????PO邊公共.PAPBPC??∴.∴POAPOBPOC?????OAOBOC??所以，O為底面△ABC的外心.【例4】三棱錐中，三個側面與底面所成的二面角相等，平面ABC，垂足為O，求證：OPABC?PO?為底面△ABC的內(nèi)心.【證】作于D，于E，于F，連接OD、OE、OF.PDAB?PEBC?PFAC?∵平面ABC，∴，.P

11、O?POODPOOEPOOF???POABPOBCPOAC???又∵PDABPEBCPFAC???∴.ABPDOBCPEOACPFO???平面平面平面得ODABOEBCOFAC???∴為三個側面與底面所成的二面角的平面角.PDOPEOPFO???即得，PDOPEOPFO?????∵PO邊公共，∴，得，PDOPEOPFO?????ODOEOF??又∵.ODABOEBCOFAC???∴O為底面△ABC的內(nèi)心.【例5】在斜三棱柱A1B1C1—