三中值定理應(yīng)用

1、第三章第三章微分中值定理與導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用微分中值定理與導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用1內(nèi)容提要內(nèi)容提要一、介值定理1、定理、定理1（零點(diǎn)定理）（零點(diǎn)定理）設(shè)函數(shù)在閉區(qū)間上連續(xù)，且，那么在開區(qū)間內(nèi)至少有一()fx[]ab()()0fafb?()ab點(diǎn)使?()0f??2、定理、定理2（介值定理）（介值定理）設(shè)函數(shù)在閉區(qū)間上連續(xù)，且及，那么對(duì)于與()fx[]ab()faA?()fbBAB??AB之間的任一個(gè)常數(shù)，開區(qū)間內(nèi)至少有一點(diǎn)，使C()ab?()()fCab??

2、???二、微分中值定理1、定理、定理3（費(fèi)馬（（費(fèi)馬（fermat）引理））引理）設(shè)函數(shù)在點(diǎn)的某鄰域內(nèi)有定義，并且在處可導(dǎo)，如果()fx0x000()()Uxxx?????0x對(duì)任意的，有（），那么。0()xUx?0()()fxfx?0()()fxfx?0()0fx??注：①費(fèi)馬引理函數(shù)的極值點(diǎn)若可導(dǎo)，則其導(dǎo)數(shù)為0。②一階導(dǎo)數(shù)等于零的點(diǎn)稱為函數(shù)的駐點(diǎn)。2、定理定理4（羅爾（（羅爾（Rolle定理）定理））如果函數(shù)滿足：（1）在閉區(qū)間上連

3、續(xù)；（2）在開區(qū)間內(nèi)可導(dǎo)；()fx[]ab()ab（3）在區(qū)間端點(diǎn)處的函數(shù)值相等，即，()()fafb?那么在內(nèi)至少有一點(diǎn)，使得。()ab()ab????()0f???3、定理、定理5（拉格朗日（（拉格朗日（Lagrange）定理））定理）如果函數(shù)滿足：（1）在閉區(qū)間上連續(xù)；（2）在開區(qū)間內(nèi)可導(dǎo)，()fx[]ab()ab那么在內(nèi)至少有一點(diǎn)，使得。()ab()ab????()()()()fbfafba?????4、定理、定理6如果函數(shù)在區(qū)

4、間上的導(dǎo)數(shù)恒為零，那么函數(shù)在區(qū)間上是一個(gè)常數(shù)。()fxI()fxI5、定理、定理7（柯西（（柯西（Cauchy）定理））定理）如果函數(shù)及滿足：（1）在閉區(qū)間上連續(xù)；（2）在開區(qū)間內(nèi)可()fx()Fx[]ab()ab導(dǎo)；（3）對(duì)任一那么在內(nèi)至少有一點(diǎn)，()()0xabFx??()ab()ab????部分。例3、設(shè)函數(shù)在上連續(xù)，且。試證：在()fx[0]?00()0()cos0fxdxfxxdx??????內(nèi)至少存在兩個(gè)不同的點(diǎn)，使(0)?

5、12??12()()0.ff????分析：證明介值問題，一般兩種情形：（1）要證的結(jié)論與某函數(shù)在一點(diǎn)的函數(shù)值有關(guān)，但與其導(dǎo)數(shù)值無關(guān)，可考慮用連續(xù)函數(shù)的介值定理（如例1，例2）；（2）要()f?證的結(jié)論與某函數(shù)在某一點(diǎn)的導(dǎo)數(shù)值或更高階導(dǎo)數(shù)值有關(guān)，則應(yīng)考慮微分中值定理()f??（包括羅爾定理、拉格朗日中值定理和泰勒公式）（題型二將詳述）。本題要證的結(jié)論與導(dǎo)數(shù)無關(guān)，但用連續(xù)函數(shù)的介值定理又解決不了，是隱含介值問題，實(shí)際上應(yīng)用微分中值定理解決，

6、根據(jù)，利用變限積分的函數(shù)??()()xaftdtfx???作輔助函數(shù)。()xaftdt?本題提示：本題直接用連續(xù)函數(shù)的介值定理比較困難，可考慮作輔助函數(shù)：。顯然有，但要證本題結(jié)論，還需要找的一個(gè)零()()xaFxftdt??(0)()0FF???()Fx點(diǎn)，這要由第二個(gè)條件來實(shí)現(xiàn)，為了與聯(lián)系起來，可將其0()cos0fxxdx???()Fx變換為再通過分部積分和積分中值定理就可達(dá)000()coscos()fxxdxxdFx??????到

7、目的。例4、設(shè)在上連續(xù)，在上有連續(xù)的導(dǎo)數(shù)且在()fx[01]10()0()fxdxgx??[01]內(nèi)，并且，試證至少存在兩個(gè)不同的點(diǎn)(01)()0gx??10()()0fxgxdx??，使。（提示：同例3）12(01)???12()()0ff????題型二題型二證明存在證明存在，使，使?()()0(12)nfn????解題提示：用羅爾定理（或多次利用羅爾定理）例5、設(shè)函數(shù)在上連續(xù)，在內(nèi)可導(dǎo)，且()fx[03](03)(0)(1)(2)3