ch3中值定理與導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用

1、Ch3、中值定理與導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用1、中值定理定理一、一、羅爾羅爾定理定理若滿足①在上連續(xù)；②在內(nèi)可導(dǎo)；③，則在內(nèi)至)(xf??ba??ba)()(bfaf???ba少存在一點(diǎn)。0)(????f使證：因，故在上有最大值、最小值，][)(baCxf?)(xf??baMm若，對任意，均有，結(jié)論成立。CxfmM??)(則)(ba??0)(???f若，因，故不能同時(shí)等于，mM?)()(bfaf?)()(bfaf和mM和不妨設(shè)，即內(nèi)部一點(diǎn)處取最大值。M

2、af?)()()(baxf在?當(dāng)0)(0)()(lim0)()(00??????????????????????fxfxfxfxfxx即時(shí)同理可證，又在內(nèi)可導(dǎo)，故，即。0)(???f)(xf??ba)()(?????ff0)(???f例1、驗(yàn)證羅爾定理對上的正確性。???????656sin)(??在xxf證：[條件驗(yàn)證]，內(nèi)可導(dǎo)上連續(xù)在為初等函數(shù)?????????????656656sin)(????xxf，即滿足羅爾定理?xiàng)l件。2ln

3、656?????????????????ff且[結(jié)論驗(yàn)證]，顯然有，故得證。xxxxfcotcossin1)(???0)(6562???????????????f使（既要驗(yàn)證條件，又要驗(yàn)證結(jié)論既要驗(yàn)證條件，又要驗(yàn)證結(jié)論）例2、設(shè)的實(shí)數(shù)，證明方程013221010??????naaaaaaann??為滿足在內(nèi)至少有一個(gè)實(shí)根。02210?????nnxaxaxaa???10證：設(shè)132210132)(???????nnxnaxaxaxaxf

4、?則在上連續(xù)，在內(nèi)連續(xù)，且，)(xf??10??100)0(?f0132)1(210???????naaaafn?3證：令2arccosarcsin)(????xxxf則Cxfxxxf????????????????)(01111)(22得又220arccos0arcsin)0(??????Cf即故??112arccosarcsin????xxx?同理可證2cotarctan???xarcx三、柯西中三、柯西中值定理定理若滿足①在上連續(xù)

5、；②在內(nèi)可導(dǎo)；③，則至少存在)()(xFxf??ba??ba0)(??xF一，??ba??。)()()()()()(??FfaFbFafbf?????使證：令，??)()()()()()()()()(aFxFaFbFafbfafxfx???????則在上連續(xù)，在內(nèi)可導(dǎo)，且，)(x???ba??ba)()(ba???由羅爾定理，至少有一個(gè)使，??ba??0)(????即。)()()()()()(??FfaFbFafbf?????例6、設(shè)在

6、上連續(xù)，在內(nèi)可導(dǎo)，證明在內(nèi)至少存在一點(diǎn)，)(xf??ba??ba)0(?a??ba?使。????)()()(222??fabafbf????證：令，則、在上連續(xù)，在內(nèi)可導(dǎo)，且2)(xxF?)(xf)(xF??ba??ba02)(???xxF由柯西定理，有使，??ba??)()()()()()(??FfaFbFafbf?????即????)()()(222??fabafbf????2、洛必達(dá)法洛必達(dá)法則1、型00定理定理1：若①；②；0)