2013考研數(shù)學(xué)高數(shù)公開課-中值定理輔導(dǎo)講義

1、公開課一：中值定理及應(yīng)用公開課一：中值定理及應(yīng)用一、預(yù)備知識一、預(yù)備知識1、極值點(diǎn)與極值—設(shè)連續(xù)，其中。若存在，當(dāng)))((Dxxfy??Dx?00??時(shí)，有，稱為的極大點(diǎn)；若存在，當(dāng)????||00xx)()(0xfxf?0xx?)(xf0??時(shí)，有，稱為的極小點(diǎn)，極大點(diǎn)和極小點(diǎn)稱為????||00xx)()(0xfxf?0xx?)(xf極值點(diǎn)。2、極限的保號性定理定理設(shè)，則存在，當(dāng)時(shí)，，)0(0)(lim0????Axfxx0????

2、??||00xx)0(0)(??xf即函數(shù)極限大于零則鄰域大于零；極限小于零則鄰域小于零?！咀C明】設(shè)，取，因?yàn)?，由極限的定義，存0)(lim0???Axfxx020??A?Axfxx??)(lim0在，當(dāng)時(shí)，，于是。0??????||00xx2|)(|AAxf??02)(??Axf3、極限保號性的應(yīng)用【例題1】設(shè)，討論是否是極值點(diǎn)。2|1|)(lim0)1(1???????xxffx1?x【例題2】（1）設(shè)，討論是否是的極值點(diǎn)；0)(?

3、?afax?)(xf（2）設(shè)，討論是否是的極值點(diǎn)。0)(??afax?)(xf【解答】（1）設(shè)，即，由極限的保號性，存在，當(dāng)0)(??af0)()(lim????axafxfax0??時(shí)，有。????||0ax0)()(???axafxf當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，。)(aax???)()(afxf?)(???aax)()(afxf?顯然不是的極值點(diǎn)。ax?)(xf（2）設(shè)，即，由極限的保號性，存在，當(dāng)0)(??af0)()(lim????axafx

4、fax0??時(shí)，有。????||0ax0)()(???axafxf當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，。)(aax???)()(afxf?)(???aax)()(afxf?顯然不是的極值點(diǎn)。ax?)(xf【結(jié)論1】設(shè)連續(xù)函數(shù)在處取極值，則或不存在。)(xfax?0)(??af)(af?題型二：結(jié)論中含一個(gè)中值題型二：結(jié)論中含一個(gè)中值，不含，不含，且導(dǎo)數(shù)之間差距為一階，且導(dǎo)數(shù)之間差距為一階?ba【例題1】設(shè)，在內(nèi)可導(dǎo)，，證明：存在][)(baCxf?)(ba0

5、)()(??bfaf)(ba??，使得。0)()(??????ff【例題2】設(shè)，在內(nèi)可導(dǎo)，，證明：存在][)()(baCxgxf?)(ba0)()(??bfaf，使得。)(ba??0)()()(???????gff【例題3】設(shè)，在內(nèi)二階可導(dǎo)，且，證明：存在]10[)(Cxf?)10()1()0(ff?)10(??，使得。????????1)(2)(ff題型三：含中值題型三：含中值??情形一：含中值的項(xiàng)復(fù)雜度不同??【例題1】設(shè)，在內(nèi)可導(dǎo)

6、，且，證明：存在][)(baCxf?)(ba1)()(??bfaf，使得。)(ba???1)]()([????????ffe【例題2】設(shè)，在內(nèi)可導(dǎo)，證明：存在，使得][)(baCxf?)(ba)0(?a)(ba???。???2)()()(fbaf????情形二：含中值的項(xiàng)復(fù)雜度相同??【例題1】設(shè)，在內(nèi)可導(dǎo)，且。]10[)(Cxf?)10(1)1(0)0(??ff（1）證明：存在，使得。)10(?cccf??1)(（2）證明：存在，使得