圓錐曲線概念歸納及題型總結(jié)

1、1圓錐曲線的方程與性質(zhì)圓錐曲線的方程與性質(zhì)1橢圓橢圓（1）橢圓概念平面內(nèi)與兩個定點、的距離的和等于常數(shù)2（大于）的點的軌跡叫做橢圓。這兩個1F2Fa21||FF定點叫做橢圓的焦點，兩焦點的距離2c叫橢圓的焦距。若為橢圓上任意一點，則有M。21||||2MFMFa??橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為：（）（焦點在x軸上）或（）22221xyab??0ab??12222??bxay0ab??（焦點在y軸上）。注：①以上方程中的大小，其中；ab0ab??22

2、2bac??②在和兩個方程中都有的條件，要分清焦點的位置，只要看22221xyab??22221yxab??0ab??2x和的分母的大小。例如橢圓（，，）當(dāng)時表示焦點在軸上2y221xymn??0m?0n?mn?mn?x的橢圓；當(dāng)時表示焦點在軸上的橢圓。mn?y（2）橢圓的性質(zhì)①范圍①范圍：由標(biāo)準(zhǔn)方程知，，說明橢圓位于直線，所圍成22221xyab??||xa?||yb?xa??yb??的矩形里；②對稱性②對稱性：在曲線方程里，若以代替

3、方程不變，所以若點在曲線上時，點也在y?y()xy()xy?曲線上，所以曲線關(guān)于曲線關(guān)于軸對稱軸對稱，同理，以代替方程不變，則曲線關(guān)于曲線關(guān)于軸對稱軸對稱。若同時以xx?xyx?代替，代替方程也不變，則曲線關(guān)于原點對稱曲線關(guān)于原點對稱。xy?y所以，橢圓關(guān)于軸、軸和原點對稱。這時，坐標(biāo)軸是橢圓的對稱軸，原點是對稱中心，橢圓xy的對稱中心叫橢圓的中心；③頂點③頂點：確定曲線在坐標(biāo)系中的位置，常需要求出曲線與軸、軸的交點坐標(biāo)。在橢圓的標(biāo)準(zhǔn)x

4、y方程中，令，得，則，是橢圓與軸的兩個交點。同理令得0x?yb??1(0)Bb?2(0)Bby0y?，即，是橢圓與軸的兩個交點。xa??1(0)Aa?2(0)Aax所以，橢圓與坐標(biāo)軸的交點有四個，這四個交點叫做橢圓的頂點。同時，線段、分別叫做橢圓的長軸和短軸長軸和短軸，它們的長分別為長分別為和，和分別叫做21AA21BB2a2bab橢圓的長半軸長和短半軸長。由橢圓的對稱性知：橢圓的短軸端點到焦點的距離為橢圓的短軸端點到焦點的距離為；在中

5、，，a22RtOBF?2||OBb?2||OFc?，，且，即；22||BFa?2222222||||||OFBFOB??222cab??④離心率④離心率：橢圓的焦距與長軸的比叫橢圓的離心率。∵，∴，且越接近cea?0ac??01e??e，就越接近，從而就越小，對應(yīng)的橢圓越扁；反之，越接近于，就越接近于，從而1cabe0c0b越接近于，這時橢圓越接近于圓。當(dāng)且僅當(dāng)時，，兩焦點重合，圖形變?yōu)閳A，方程為aab?0c?。222xya??2雙曲線

6、雙曲線（1）雙曲線的概念平面上與兩點距離的差的絕對值為非零常數(shù)的動點軌跡是雙曲線（）。12||||||2PFPFa??注意：①式中是差的絕對值，在條件下；時為雙曲線的一支；1202||aFF??12||||2PFPFa??時為雙曲線的另一支（含的一支）；②當(dāng)時，表21||||2PFPFa??1F122||aFF?12||||||2PFPFa??示兩條射線；③當(dāng)時，不表示任何圖形；④兩定點叫做雙曲線122||aFF?12||||||2PF

7、PFa??12FF3（1）拋物線的概念平面內(nèi)與一定點F和一條定直線l的距離相等的點的軌跡叫做拋物線(定點F不在定直線l上)。定點F叫做拋物線的焦點，定直線l叫做拋物線的準(zhǔn)線。方程叫做拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程。拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程。??022??ppxy注意：它表示的拋物線的焦點在x軸的正半軸上，焦點坐標(biāo)焦點坐標(biāo)是F（0），它的準(zhǔn)線方程準(zhǔn)線方程是2p；2px??（2）拋物線的性質(zhì)）拋物線的性質(zhì)一條拋物線，由于它在坐標(biāo)系的位置不同，方程也不同，有四種不

8、同的情況，所以拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程還有其他幾種形式：，，.這四種拋物線的圖形、標(biāo)準(zhǔn)方程、焦pxy22??pyx22?pyx22??點坐標(biāo)以及準(zhǔn)線方程如下表：標(biāo)準(zhǔn)方程22(0)ypxp??22(0)ypxp???22(0)xpyp??22(0)xpyp???圖形焦點坐標(biāo)(0)2p(0)2p?(0)2p(0)2p?準(zhǔn)線方程2px??2px?2py??2py?范圍0x?0x?0y?0y?對稱性軸x軸x軸y軸y頂點(00)(00)(00)(00)離