二元一次不等式（組）與平面區(qū)域

1、二元一次不等式(組)與平面區(qū)域,那么在直角坐標(biāo)系內(nèi)，二元一次不等式(組)的解集表示什么呢？,含有兩個(gè)未知數(shù)，并且未知數(shù)的次數(shù)都是一次的不等式叫做二元一次不等式． 使不等式成立的未知數(shù)的值叫做它的解．,我們研究不等式,y＞2x＋1 (1),的解，并把它在坐標(biāo)平面上表示出來(lái)．,為了求(1)式的任何一個(gè)實(shí)數(shù)解，可任意選取x的一個(gè)實(shí)數(shù)值，例如x=1，把它看作一次方程，這個(gè)方程的圖形是平行于y軸的直線，它與直

2、線l：y=2x＋1相交于點(diǎn)A(1，3)．,在直線x=1上，點(diǎn)A上方的所有點(diǎn)，如(1，4)、(1，5)、…的坐標(biāo)都滿足不等式(1)，它們都是(1)式的解．,在直線x=1上，點(diǎn)A下方的所有點(diǎn)，如 (1，2)、 (1，1)、…的坐標(biāo)都不滿足不等式(1)，它們都不是(1)式的解．,A,可見(jiàn)，以不等式(1)的解為坐標(biāo)的所有點(diǎn)的集合,P=｛M｜y＞2x＋1｝,是直線l上方的半平面所有的點(diǎn)，也就是圖中陰影所表示的平面部分，但不包括邊界直

3、線．這種情況，直線l在圖中一般畫(huà)成虛線．,以二元一次不等式的解為坐標(biāo)的所有點(diǎn)的集合表示一個(gè)平面圖形，我們把這個(gè)圖形叫做不等式表示的區(qū)域．,A,由上例知道，y＞2x＋1表示的區(qū)域是直線l上方的半平面；同理，容易求得y＜2x＋1表示的區(qū)域是直線l下方的半平面；而y=2x＋1就是邊界直線l．,一般地，y=kx＋b的直線把平面分成兩個(gè)半平面，y＞kx＋b表示的區(qū)域是直線上方的半平面；y＜kx＋b表示的區(qū)域是直線下方的半平面；直線

4、y=kx＋b是兩個(gè)半平面的邊界線．,由上面的討論容易想到，一般二元一次不等式,Ax＋By＋C＞0,表示的區(qū)域，一定是在直線Ax＋By＋C=0的某一側(cè)．但要斷定究竟是在哪一側(cè)，并不需要將不等式化為y的函數(shù)式，可以取直線Ax＋By＋C=0一側(cè)的一點(diǎn)，將它的坐標(biāo)代入不等式，如果不等式成立，那么這一側(cè)就是不等式表示的區(qū)域；如果不等式不成立，那么直線的另一側(cè)是不等式表示的區(qū)域．,除選點(diǎn)代入不等式的方法外，也可以用y的系數(shù)判斷不等式表示

5、的區(qū)域．如果B＞0(或B＜0)，那么不等式Ax＋By＋C＞0所表示的區(qū)域是直線Ax＋By＋C=0的上(或下)方的半平面；如果不等式寫(xiě)成Ax＋By＋C＜0的形式時(shí)，它表示的區(qū)域是直線下(或上)方的半平面．想一想，如果B=0時(shí)，原不等式表示什么樣的區(qū)域．,【例1】畫(huà)出不等式y(tǒng)≤－2x＋3表示的區(qū)域．,解：,不等式y(tǒng)≤－2x＋3的解集是,y＝－2x＋3， (1),y＜－2x＋3 (2),的解集的并集，,所以它們表示的區(qū)域是由(

6、1)、(2)的圖形合成的．,因?yàn)?1)式的圖形是直線l；(2)式的圖形是直線l 下方的半平面．所以已知不等式表示的區(qū)域是直線l和它下方的半平面，也就是圖中陰影部分并且包括直線．這種情況，直線l在圖中一般畫(huà)成實(shí)線．,解：,【例2】求不等式x＋2y－10＜0表示的區(qū)域，并畫(huà)出圖形．,先畫(huà)出直線l：x＋2y－10=0．,用選點(diǎn)代入不等式的方法，例如將原點(diǎn)(0，0)的坐標(biāo)代入不等式，得－10＜0，不等式式成立． 所以坐標(biāo)原

7、點(diǎn)所在的半平面是不等式表示的區(qū)域，即直線l下方的半平面，如圖的陰影部分，但不包括直線l．,【例3】某工廠有一批長(zhǎng)為2.5米的條形鋼材，要截成60厘米和42厘米兩種規(guī)格的零件毛坯，找出最佳的下料方案并計(jì)算材料的利用率．,設(shè)每根鋼材可截成60厘米長(zhǎng)的毛坯x根和42厘米長(zhǎng)的毛坯y根．按題意得不等式,解：,0.6x＋0.42y≤2.5． (1),在坐標(biāo)紙上畫(huà)出　　 0.6x＋0.42y=2.5 (2)的直線．如圖．,因?yàn)橐氐玫膬煞N

8、毛坯數(shù)的和必須是正整數(shù)，所以以(1)的解為坐標(biāo)的點(diǎn)一定是第一象限內(nèi)的網(wǎng)格的交點(diǎn)．,如果直線(2)上有網(wǎng)格的交點(diǎn)，那么按直線上網(wǎng)格交點(diǎn)的坐標(biāo)(x，y)的值作為下料方案，這時(shí)材料全被利用，因此這個(gè)方案就是最佳方案．但從圖4中可以看出，直線(2)不通過(guò)網(wǎng)格交點(diǎn)，在這種情況下，為了制訂最佳下料方案，應(yīng)該找靠近直線(2)的網(wǎng)格交點(diǎn)．,當(dāng)然不能在直線(2)的上方半平面內(nèi)找網(wǎng)格交點(diǎn)．因?yàn)锽=0.42＞0，上方半平面內(nèi)任何網(wǎng)格交點(diǎn)的坐標(biāo)都使

9、0.6x＋0.42y＞2.5，這時(shí)兩種零件毛坯長(zhǎng)度的和超過(guò)了原鋼材長(zhǎng)，這是不合理的．,這樣，下料范圍只能限制在0.6x＋0.42y＜2.5表示的區(qū)域內(nèi)．這個(gè)區(qū)域是直線(2)下方的半平面．在直線(2)的下方半平面上找到最靠近直線的網(wǎng)格交點(diǎn)，得點(diǎn)M(2，3)．,x=2，y=3就是所求的解，按這樣截取毛坯，材料盡管沒(méi)有被完全利用，但廢料最少．,材料的利用率,答：把每根條鋼截成2根60厘米長(zhǎng)和3根42厘米長(zhǎng)的零件毛坯是最佳的下料方案

10、．材料利用率為98.4％．,課堂練習(xí),課本97頁(yè) 練習(xí) 1、2、3、4題,小 結(jié),B決定上下：B>0上方，B<0下方,A決定左右：A>0右方，A<0左方,4、思考Ax+By+C>0或<0的系數(shù)A，B，C對(duì)區(qū)域各有什么影響。,3、畫(huà)Ax+By+C>0或<0表示的平面區(qū)域的方法步驟,2、Ax+By+C>0或<0表示直線一側(cè)的平面區(qū)域,1、Ax+By+C=0表示直線,課后作