高考數(shù)學(xué)中涂色問題的常見解法及策略.

1、高考數(shù)學(xué)中涂色問題的常見解法及策略高考數(shù)學(xué)中涂色問題的常見解法及策略與涂色問題有關(guān)的試題新穎有趣近年已經(jīng)在高考題中出現(xiàn)，其中包含著豐富的數(shù)學(xué)思想。解決涂色問題方法技巧性強(qiáng)且靈活多變，因而這類問題有利于培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新思維能力、分析問題與觀察問題的能力，有利于開發(fā)學(xué)生的智力。本文擬總結(jié)涂色問題的常見類型及求解方法一、區(qū)域涂色問題1、根據(jù)分步計(jì)數(shù)原理，對各個(gè)區(qū)域分步涂色，這是處理染色問題的基本方法。例1、用5種不同的顏色給圖中標(biāo)①、②、③、④

2、的各部分涂色，每部分只涂一種顏色，相鄰部分涂不同顏色，則不同的涂色方法有多少種？[來源:學(xué)科網(wǎng)]分析：先給①號區(qū)域涂色有5種方法，再給②號涂色有4種方法，接著給③號涂色方法有3種，由于④號與①、②不相鄰，因此④號有4種涂法，根據(jù)分步計(jì)數(shù)原理，不同的涂色方法有5434240????2、根據(jù)共用了多少種顏色討論，分別計(jì)算出各種出各種情形的種數(shù)，再用加法原理求出不同的涂色方法種數(shù)。例2、四種不同的顏色涂在如圖所示的6個(gè)區(qū)域，且相鄰兩個(gè)區(qū)域不能

3、同色。分析：依題意只能選用4種顏色，要分四類：（1）②與⑤同色、④與⑥同色，則有；44A（2）③與⑤同色、④與⑥同色，則有；44A（3）②與⑤同色、③與⑥同色，則有；44A（4）③與⑤同色、②與④同色，則有；（5）②與④同色、③與⑥同色，則有；44A44A所以根據(jù)加法原理得涂色方法總數(shù)為5=12044A例3、如圖所示，一個(gè)地區(qū)分為5個(gè)行政區(qū)域，現(xiàn)給地圖著色，要求相鄰區(qū)域不得使用同一顏色，現(xiàn)有4種顏色可供選擇，則不同的著方法共有多少種？分

4、析：依題意至少要用3種顏色1)當(dāng)先用三種顏色時(shí)，區(qū)域2與4必須同色，2)區(qū)域3與5必須同色，故有種；34A3)當(dāng)用四種顏色時(shí)，若區(qū)域2與4同色，4)則區(qū)域3與5不同色，有種；若區(qū)域3與5同色，則區(qū)域2與4不同色，44A有種，故用四種顏色時(shí)共有2種。由加法原理可知滿足題意的著色方法44A44A共有2=24224=7234A44A?②①③④24315①②2③④⑤⑥1nA?與不同色，共有種染色方法，但由于與鄰，所以應(yīng)排除與nA143n??nA

5、1AnA1A同色的情形；與同色時(shí)，可把、看成一個(gè)扇形，與前個(gè)扇形加在一起為nA1AnA1A2n?個(gè)扇形，此時(shí)有種染色法，故有如下遞推關(guān)系：1n?1na?1143nnnaa?????1211243(43)43nnnnnnaaa?????????????????21321234343434343nnnnnnnaa????????????????????124[33(1)3](1)33nnnnn????????????????二、點(diǎn)的涂色問題

6、方法有：（1）可根據(jù)共用了多少種顏色分類討論，（2）根據(jù)相對頂點(diǎn)是否同色分類討論，（3）將空間問題平面化，轉(zhuǎn)化成區(qū)域涂色問題。例6、將一個(gè)四棱錐的每個(gè)頂點(diǎn)染上一種顏色，并使同一條棱的兩端點(diǎn)異SABCD?色，如果只有5種顏色可供使用，那么不同的染色方法的總數(shù)是多少？解法一：滿足題設(shè)條件的染色至少要用三種顏色。（1）若恰用三種顏色，可先從五種顏色中任選一種染頂點(diǎn)S，再從余下的四種顏色中任選兩種涂A、B、C、D四點(diǎn)，此時(shí)只能A與C、B與D分別

7、同色，故有125460CA?種方法。（2）若恰用四種顏色染色，可以先從五種顏色中任選一種顏色染頂點(diǎn)S，再從余下的四種顏色中任選兩種染A與B，由于A、B顏色可以交換，故有種染法；再從余下的兩種24A顏色中任選一種染D或C，而D與C，而D與C中另一個(gè)只需染與其相對頂點(diǎn)同色即可，故有種方法。12115422240CACC?（3）若恰用五種顏色染色，有種染色法55120A?綜上所知，滿足題意的染色方法數(shù)為60240120=420種。解法二：設(shè)想