高考數學必備—函數—函數中的常見錯誤分析（1.2）

1、第 1 頁 共 8 頁函數中的常見錯誤分析（一）函數是高考數學的重要內容，高考考點多、覆蓋面廣，在考試中往往容易“因小失大” ，在審題過程中一定要抓住題目中的關鍵條件，從而理清解題思路。一、函數的概念及其表示易錯點 1 忽視函數概念中的“唯一性”【例 1】函數 的圖象與直線 交點的個數為（）【解析】當 在函數 的定義域內時，交點有 1 個；當 不在函數 的定義域內時，交點的個數為 0，故選擇 C?！驹u注】函數概念要求“對于定義域內每一

2、個 x 在值域中都有唯一元素與之對應” 。本題在解題過程中容易忽視 不在函數 的定義域內或誤認為交點個數可以有無數個，造成錯選 A 或D.易錯點 2 對同一函數的理解錯誤【例 2】已知函數 ，則下列函數與函數 是同一函數的是（）【解析】兩個函數是同一函數的充要條件是它們的定義域和對應法則分別相同。A 選項與函數的定義域不同；C,D 選項與函數 的對應法則不同，故選擇 B?！驹u注】本題中 C 選項的定義域與對應法則看似與函數 相同，但其分

3、段的分類標準與函數不相同，要注意辨別，不要錯選 C。易錯點 3 求函數的定義域時漏條件【例 3】函數 的定義域為（ ）【解析】由已知可得 則 故選 C.【評注】本題中容易出現(xiàn)將 漏掉的情況，從而錯選 B.求函數定義域時可能會出現(xiàn)忽視分式的分母不為 0、開偶次方時被開方數大于或等于 0，冪指數為 0 的數底數不為 0、對數的真數大于0 等情形。易錯點 4 求函數解析式時忽視定義域【例 4】已知 ，則函數?！窘馕觥坑捎?，且 ，所以

4、?！驹u注】本題中容易漏掉函數 的定義域，而只能得到 的錯誤結論?！咀兪?1】已知 = ?！窘馕觥苛?消去 x 得 ，又 且 ，故所求函數 。易錯點 5 混淆“函數 在某區(qū)間有意義”與“函數 的定義域為某區(qū)間”【例 5】函數 在 上有意義，求實數 的取值范圍?！窘狻坑梢阎傻卯?時， 恒成立，則 ，故實數 的取值范圍為 ?！驹u注】函數 的定義域為某區(qū)間，則該區(qū)間為函數有意義的最大范圍；若函數 在某區(qū)間上有意義

5、，則該區(qū)間是函數定義域的子集，本題容易誤認為 就是函數 的定義域?！咀兪?2】已知函數 的定義域為 ，求實數 的取值范圍。【解】 函數 的定義域為 ， 是不等式的解集，令 ，得不等式 的解集為 ，所以 3 是關于 m 的方程 的根，代入可得 。經檢驗知 時，不等式的解集是 ，故實數 的取值范圍為 。易錯點 6 錯誤理解復合函數定義域的求法步驟【例 6】已知函數 的定義域為 ，則函數 的定義域為（）【解析】由已知可得 的定義域為 ，令

6、，得 ，故函數第 3 頁 共 8 頁圍是 。【解析】因為函數 的單調遞增區(qū)間為 ，所以【變式 6】已知函數 在區(qū)間（0,1）上有增區(qū)間，則 的取值范圍是 ?！窘馕觥坑梢阎?，又函數在（0,1）上有增區(qū)間，則 為所求。三、 函數的奇偶性易錯點 11 在函數的奇偶性問題中未注意“定義域關于原點對稱”【例 11】已知函數 的定義域為 ，且 為偶函數，則實數 的值是（ ）【解析】函數 的圖象是

7、由函數 的圖象向左平移 1 個單位長度得到的，所以函數的定義域為（ ） ，又 為偶函數，且偶函數的定義域關于原點對稱，則 ，即 ，故選 B.【評注】若沒有注意奇（偶）函數定義域關于原點對稱的性質，很可能錯誤地認為，得到 ，從而錯選 C.易錯點 12 不能熟練應用“奇函數 若 x=0 處有定義，則 ”【例 12】定義在 R 上的奇函數 滿足當 時， ，則在R 上函數 的零點的個數為 ?！窘馕觥慨?時，由函數 得，在

8、同一平面直角坐標系中作出函數 和的圖象，可知它們只有一個交點，所以當 時，函數只有一個零點；由奇函數關于原點對稱的性質知當 時函數只有一個零點；又當 x=0 時， 。綜上可知，在 R 上函數 的零點個數為 3.【評注】本題中若沒有注意到“奇函數 若 x=0 處有定義，則 ”的結論，很容易得出在 R 上函數 的零點個數為 2 的錯誤結論?！咀兪?7】已知 是定義在 R 上的奇函數，在 上單調遞減，且，則函數的零點的個數為

9、 ?！窘馕觥坑珊瘮?是定義在 R 上的奇函數，得 ，所以函數 在 內有一個零點。而 在 上單調遞減，故在上只有一個零點；由奇函數的性質知函數 在 上也只有一個零點，又，故函數 零點的個數為 3.易錯點 13 復合函數奇偶性中錯將含自變量的代數式當成自變量【例 13】函數 的定義域為 R，若 與 都是奇函數，則（）【解析】由 與 都是奇函數，可得，則 ， ，故函數 是以 4 為周期的周期函數，又由 得,即 ， 函數是奇函數，故選 D.【