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1、函數(shù)高考放縮研究2015.7.82009山東理科山東理科21(本小題滿分(本小題滿分12分)分)已知函數(shù),其中,為常數(shù)1()ln(1)(1)nfxaxx????x?Na(Ⅱ)當(dāng)時(shí),證明:對(duì)任意的正整數(shù),當(dāng)時(shí),有1a?n2n≥()1fxx?≤解:21(Ⅱ)證法一:因?yàn)?,所?a?1()ln(1)(1)nfxxx????當(dāng)為偶數(shù)時(shí),令,n1()1ln(1)(1)ngxxxx??????則()1112()10(1)11(1)nnnxngxxx
2、xx??????????????2x≥所以當(dāng)時(shí),單調(diào)遞增,又,??2x???,()gx(2)0g?因此恒成立,所以成立1()1ln(1)(2)0(1)ngxxxgx???????≥()1fxx?≤當(dāng)為奇數(shù)時(shí),要證,由于,所以只需證,n()1fxx?≤10(1)nx??ln(1)1xx??≤令,則(),()1ln(1)hxxx????12()1011xhxxx???????≥2x≥所以當(dāng)時(shí),單調(diào)遞增,又,??2x???,()1ln(1)h
3、xxx????(2)10h??所以當(dāng)時(shí),恒有,即命題成立綜上所述,結(jié)論成立2x≥()0hx?ln(1)1xx???證法二:當(dāng)時(shí),當(dāng)時(shí),對(duì)任意的正整數(shù),恒有,1a?1()ln(1)(1)nfxxx????2x≥n11(1)nx?≤故只需證明令,,1ln(1)1xx???≤()1(1ln(1))2ln(1)hxxxxx???????????2x???,則,當(dāng)時(shí),,故在上單調(diào)遞增,12()111xhxxx???????2x≥()0hx?≥()
4、hx??2??,因此當(dāng)時(shí),,即成立2x≥()(2)0hxh?≥1ln(1)1xx???≤故當(dāng)時(shí),有即2x≥1ln(1)1(1)nxxx????≤()1fxx?≤法一中的放縮:當(dāng)法一中的放縮:當(dāng)為奇數(shù)時(shí),要證為奇數(shù)時(shí),要證,由于,由于,所以只需證,所以只需證,n()1fxx?≤10(1)nx??ln(1)1xx??≤法二中的放縮:當(dāng)法二中的放縮:當(dāng)時(shí),對(duì)任意的正整數(shù)時(shí),對(duì)任意的正整數(shù),恒有,恒有,2x≥n11(1)nx?≤(2013山東高
5、考理科21)(本小題滿分13分)注意:0)12)(1(212211)(102222222???????????????????xxxxxxexxxexxxexxeexxxgx、、注:此題利用注:此題利用進(jìn)行放縮。進(jìn)行放縮。1102?????xex、、下面是一道我自己在下面是一道我自己在2010年高考前研究的題目:創(chuàng)編于年高考前研究的題目:創(chuàng)編于2010.5.16靈感來自靈感來自2007山東理山東理22題及題及2008山東文山東文21題及
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