2023年全國碩士研究生考試考研英語一試題真題(含答案詳解+作文范文)_第1頁
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1、1極值點(diǎn)偏移問題的兩種常見解法之比較淺談部分導(dǎo)數(shù)壓軸題的解法在高考導(dǎo)數(shù)壓軸題中,不斷出現(xiàn)極值點(diǎn)偏移問題,那么,什么是極值點(diǎn)偏移問題?參考陳寬宏、邢友寶、賴淑明等老師的文章,極值點(diǎn)偏移問題的表述是:已知函數(shù)是連續(xù)函數(shù),在區(qū)間內(nèi)有且只有一個(gè)極值點(diǎn),()yfx?12()xx0x且,若極值點(diǎn)左右的“增減速度”相同,常常有極值點(diǎn),12()()fxfx?1202xxx??我們稱這種狀態(tài)為極值點(diǎn)不偏移;若極值點(diǎn)左右的若極值點(diǎn)左右的“增減速度增減速度”

2、不同,函數(shù)的圖不同,函數(shù)的圖象不具有對稱性,常常有極值點(diǎn)象不具有對稱性,常常有極值點(diǎn)的情況,我們稱這種狀態(tài)為的情況,我們稱這種狀態(tài)為“極值點(diǎn)極值點(diǎn)1202xxx??偏移偏移”.極值點(diǎn)偏移問題常用兩種方法證明:一是函數(shù)的單調(diào)性函數(shù)的單調(diào)性,若函數(shù)在區(qū)()fx間內(nèi)單調(diào)遞增,則對區(qū)間內(nèi)的任意兩個(gè)變量,()ab()ab12xx、;若函數(shù)在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞減,則對區(qū)間1212()()fxfxxx???()fx()ab內(nèi)的任意兩個(gè)變量,.二是利用“對數(shù)

3、平均不對數(shù)平均不()ab12xx、1212()()fxfxxx???等式等式”證明,什么是“對數(shù)平均”?什么又是“對數(shù)平均不等式”?兩個(gè)正數(shù)兩個(gè)正數(shù)和的對數(shù)平均數(shù)定義:的對數(shù)平均數(shù)定義:ab()lnlnababLababaab??????????對數(shù)平均數(shù)與算術(shù)平均數(shù)、幾何平均數(shù)的大小關(guān)系是:對數(shù)平均數(shù)與算術(shù)平均數(shù)、幾何平均數(shù)的大小關(guān)系是:,(此式記為對數(shù)平均不等式)()2ababLab???下面給出對數(shù)平均不等式的證明:證明:i)當(dāng)時(shí)

4、,顯然等號成立0ab??ii)當(dāng)時(shí),不妨設(shè),0ab??0ab??①先證先證,要證,只須證:,lnlnababab???lnlnababab???lnaabbba??令,只須證:1axb??12ln1xxxx???設(shè),則,所以1()2ln1fxxxxx????22221(1)()10xfxxxx????????3存在唯一零點(diǎn),即,(1)??1x11x?故時(shí),存在兩個(gè)零點(diǎn);0a?()fx當(dāng)時(shí),由得,,0a?()0fx??1ln(2)xxa?

5、??或若,即時(shí),,故在上單調(diào)遞增,與題意不符ln(2)1a??2ea??()0fx??()fxR若,即時(shí),易證故在上只有一ln(2)1a??02ea???()=(1)0fxfe???極大值()fxR個(gè)零點(diǎn),若,即時(shí),易證ln(2)1a??2ea??,故在上只有一個(gè)零()=(ln(2)fxfa?極大值2(ln(2)4ln(2)5)0aaa??????()fxR點(diǎn)綜上述,0a?(Ⅱ)解法一、根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性證明)解法一、根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性證明

6、由(Ⅰ)知,且0a?1212xx???令,則2()()(2)(2)1xxhxfxfxxexex????????2(1)2(1)(e1)()xxxhxe??????因?yàn)?,所以,所以,所以在?nèi)單調(diào)遞增1x?2(1)1010xxe?????()0hx??()hx(1)??所以,即,所以,所以()(1)0hxh??()(2)fxfx??22()(2)fxfx??,12()(2)fxfx??因?yàn)椋趨^(qū)間內(nèi)單調(diào)遞減,所以,即12121xx???()

7、fx(1)??122xx??122xx??解法二、利用對數(shù)平均不等式證明解法二、利用對數(shù)平均不等式證明由(Ⅰ)知,,又所以,0a?(0)2fa??當(dāng)時(shí),且,故02a??10x?212x??122xx??當(dāng)時(shí),,又因?yàn)?a?12012xx????12122212(2)(2)(1)(1)xxxexeaxx????????即12122212(2)(2)(1)(1)xxxexexx?????所以111222ln(2)2ln(1)ln(2)2ln

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