高等數(shù)學(xué)課件第2章 微積分-極限與連續(xù)

1、微積分--極限與連續(xù),1,第2章 極限與連續(xù),微積分--極限與連續(xù),2,一、數(shù)列概念,數(shù)列可看作自變量為正整數(shù)的函數(shù)(下標(biāo)函數(shù)),2.1 數(shù)列的極限,2.特性:,1)有界性:,2)單調(diào)性:,1.定義:按正整數(shù)編號依次排列的一列數(shù),稱為無窮數(shù)列,簡稱數(shù)列,記為{un}.其中的每個數(shù)稱為數(shù)列的項, un稱為通項(一般項).,稱此數(shù)列單調(diào)增加,稱此數(shù)列單調(diào)減少,微積分--極限與連續(xù),3,“割之彌細(xì)，所失彌少，割之又割，以至于不可割，則

2、與圓周合體而無所失矣”,1.早期極限思想的體現(xiàn),放映1,二、數(shù)列極限概念,當(dāng)自變量n趨于無窮大時，數(shù)列y＝f (n)的變化趨勢,(1)劉徽的割圓術(shù):,極限：研究函數(shù)在自變量的某個變化過程中，函數(shù)值無限趨近于某個常數(shù)的性質(zhì)。,對于數(shù)列：,微積分--極限與連續(xù),4,,正六邊形的面積,正十二邊形的面積,正 形的面積,,微積分--極限與連續(xù),5,(2) 莊子的截丈問題:,,第一天剩余u1＝,第二天剩余u2＝,第n天剩余u

3、n＝,0,但≠0,“一尺之棰,日取其半,萬世不竭.”,……,6,0,1,0,1,0,-1,1,2.直觀定義：,數(shù)列{un}, 若當(dāng)n無限增大時, un無限趨,近于常數(shù)a, 則稱數(shù)列{un}以a為極限, 或稱{un}收斂于a, 記：,發(fā)散,,無限增大,例,, 否則稱 {un}發(fā)散.,7,播放,對于較簡單的數(shù)列的極限, 可通過觀察法求得，例:,0,2,0,1,0,微積分--極限與連續(xù),8,問題:,“無限接近”意味著什么?如何用數(shù)學(xué)語言刻劃它

4、.,微積分--極限與連續(xù),9,3.“e —N”定義：,例1,證,設(shè)有數(shù)列{un}, 若對任意 , 總,則稱a是數(shù)列{un}的極限，或稱{un}收斂于a，記作:,存在正整數(shù)N, 使得當(dāng)n>N時，恒有,成立,,, 否則稱數(shù)列{un}發(fā)散。,則當(dāng)n>N時,,,,,,10,注:,3.N一般與任意給定的正數(shù)e 有關(guān),e 越小，N 越大。,例2,證,說明:常數(shù)列的極限等于同一常數(shù).,1.e 具有二重性: 任意性和不變

5、性。在取e 時, 對其大小不加限制，正由于這種任意性，才能用 刻劃un與a任意接近。而在根據(jù)e 找 N 時它是不變的.,2. e 刻劃un與a接近的程度, N刻劃數(shù)列作為動點運動到什么時刻可使un與a接近程度小于給定的e .若把數(shù)列看成函數(shù), 則e 、N分別用來刻劃因變量及自變量的變化過程.,4. N是不唯一的，用定義證明數(shù)列極限時, 關(guān)鍵是對任意 給定的e >0, 由

6、 來尋找N, 但不必要求最小的N.,,對于一切正整數(shù)n，,例3,證,(不妨設(shè)ε<1),, 則當(dāng)n>N時,,例3可用放大手法:,注:1)“放大”是為方便解不等式。注意不能“放過頭”, 上例若將 放大為1，則1不可能小于任意給定的正數(shù)。,2)“放大”后找到的N通常比不放大解得(若易解)的要大,,,,,微積分--極限與連續(xù),12,,,,,,,,,,,,,,,,,,三、數(shù)列極限的幾何意義,,,微積分--極限與連續(xù)

7、,13,1.唯一性,定理 每個收斂的數(shù)列只有一個極限.,證,由定義,,故收斂數(shù)列極限唯一.,四、數(shù)列極限的性質(zhì),或:,即: a=b,,,,,,,14,證,由定義,,注意：有界性是數(shù)列收斂的必要條件.,推論(逆否命題) 無界數(shù)列必定發(fā)散.,定理 收斂的數(shù)列必定有界.,,,取ε＝1，則n>N時{un}有界,,則對一切正整數(shù)n, 皆有,2.有界性,微積分--極限與連續(xù),15,五.小結(jié),數(shù)列:研究其變化規(guī)律;,數(shù)列極限:極限思想,

8、精確定義, 幾何意義;,收斂數(shù)列的性質(zhì):唯一性、有界性.,微積分--極限與連續(xù),16,思考題：1.試判斷下列論斷是否正確,1)若n越大, |un-a|越接近于零, 則有,3)若對 存在正整數(shù)N, 當(dāng)n>N時, 數(shù)列{un}中有無窮多項滿足不等式 , 則有,2)若 , 則n越大， 越接近于零,反例：,n越大,

9、 越接近于零, 但,反例：,反例：,或：,而,但 不存在,≠-1,微積分--極限與連續(xù),17,4)若對 數(shù)列{un}中除了有限項外都滿足不等式 , 則有,3.從幾何直觀層次思考：若數(shù)列為單調(diào)增加(減少)且有上界(下界)的數(shù)列，此數(shù)列的斂散性如何？,定義：從數(shù)列{un}中用任意一種方式選取無窮多項并按原來的相對次序排列，所得數(shù)列稱為數(shù)列{

10、un}的一個子列。,2.若數(shù)列{un}收斂，它的子列將會出現(xiàn)什么情況？,,,收斂于上(下)確界——最小(大)的上(下)界.,收斂于同一個常數(shù).,微積分--極限與連續(xù),18,作業(yè)：,P33：2-3 (3)(4)思考 2-4,一、x →∞時函數(shù)f (x)的極限,2.2 函數(shù)的極限,例f (x)＝ 無限增大時， f (x)→0,1.直觀定義：,數(shù)列極限：自變量取自然數(shù)離散地趨于正無窮大;,一般的函數(shù)極限：

11、自變量連續(xù)取值, 因而可能趨于正無窮、負(fù)無窮，或從左、右兩側(cè)趨于某一定點.,2.“e —X”定義(P32):,d,x>0時:,x >X, x→＋∞,x<0時:,x<－X, x→－∞,,例,＝0,＝0,不存在.,,,,,,,,,,不存在.,不同情形,,21,,3.幾何意義:,,,,對無論多么小的正數(shù) e , 總能找到正數(shù)X, 當(dāng)x滿足條件x >X 或x <－X 時, 曲線y＝f (x)介于水平直線y＝

12、A＋e和y＝A－e之間。,水平漸近線：,,(局部有界性),,,x >X 或x <－X,微積分--極限與連續(xù),22,例1 證明,證,則當(dāng) |x| >X 時,,例2 證明,證,……,二、x?x0時，函數(shù)f (x)的極限,例:f(x)＝x+2, x→2時, f (x)→,,x→2時, f (x)→,4,4,, x≠2時, f (x)＝,x+2,1.直觀定義：,函數(shù)f (x)在點x0的某空心鄰域內(nèi)有定義,,若當(dāng)x無限接

13、近于x0,(但不等于x0)時,,f (x)無限趨近,于常數(shù)A, 則稱f (x)當(dāng)x趨于x0時以A為極限, 記：,2.“e —d ”定義(P33):,0<|x－x0|<δ, | f (x)－A|<ε,d,24,注:1)e 刻劃 f (x)與A的接近程度, d 刻劃x與x0的接近程度。一般e 越小, d 越小。 d 是不唯一的。,2)用定義證明f (x)在x0點的極限時，關(guān)鍵是對任意給定的e >0，由| f (x

14、)－A|< e找到0<|x－x0|< d中的d.,3)f (x)在x0的極限研究f (x)在x0附近的變化趨勢,與x0點的定義無關(guān)，故有關(guān)問題討論均假定x≠x0 .,例3 證明,證,只要0< |x-2| < e ,,< e,取d＝e，則當(dāng) 0 < |x-2| <d 時，有,微積分--極限與連續(xù),25,例4 證明,任取d,取d＝e,,例5 證明: 當(dāng)x0>0時,,只要,&l

15、t; e,,取d＝,證,則當(dāng)0<|x-x0|< d時,,,,O,x0,x,,,,？,×,3.幾何意義:,任意給定正數(shù)e,無論它多小, 總存在x0的去心鄰域0<|x-xo|< d,使得y=f(x)在該去 心鄰域內(nèi)的圖 形介于兩條平 行線y=A-e和y=A+e之間.,(局部有界性),0<|x－x0|< d, |f (x)－A|< e,微積分--極限與連續(xù),27,0<|x－x0|&l

16、t; d, | f (x)－A|<e,0<x－x0< d , | f (x)－A|<e,d,d,0<x0－x< d , | f (x)－A|<e,d,,或 x0<x < x0+ d,,或 x0－ d < x < x0,右極限,左極限,4.單側(cè)極限,微積分--極限與連續(xù),28,,,,,,,,,,,,解：,－1,,1,,微積分--極限與連續(xù),29,例7,試討論當(dāng)x→0及x→1

17、時，函數(shù)f(x)的極限是否存在。,前述七種形式的極限：,其本質(zhì)都是研究在自變量的某個變化過程中, 函數(shù)值的變化趨勢: f(x)→A, 抓住這一本質(zhì), 將它們統(tǒng)一表示為：,三、變量的極限,變量的極限——lim f(x) ＝ A 或 f(x) →A,0<|x－x0|<δ時,,,,X>0,,n>N,正整數(shù)N,,|x|>X,X>0,,x<－X,X>0,,x > X,d >0,,0&l

18、t; x0－x <δ時,,d >0,,0< x－x0<δ時,,d >0,,微積分--極限與連續(xù),31,作業(yè)：,P38：2-6 2-7 (2)(3)思考：8預(yù)習(xí)：2.4無窮小與無窮大,微積分--極限與連續(xù),32,絕對值無限增大的變量稱為無窮大(量).,一、無窮大量,1.定義:,記作:,分析定義:,0<|x－x0|<δ時,,d >0,,有| f(x)| >M,

19、M >0,,|x|> X 時,,X >0,,有| f(x)| >M,M >0,,2.3 無窮大量與無窮小量,f (x)在X上無界,★比較:,微積分--極限與連續(xù),33,3.單說變量是無窮大量是無意義的，要指明自變量的變化過程。,注意,1. 無窮大量是變量, 不能與很大的數(shù)混淆;,4. 無窮大量是無界變量, 但無界變量未必是無窮大量.,當(dāng)n→∞是無界變量, 但不是無窮大量.,例:,f(x)＝xsinx,

20、當(dāng)x→∞是無界變量, 但不是無窮大量;,微積分--極限與連續(xù),34,微積分--極限與連續(xù),35,2. 正無窮大、負(fù)無窮大:,注： 正(負(fù))無窮大不可籠統(tǒng)地寫作無窮大;,例:,微積分--極限與連續(xù),36,,——圖示：,微積分--極限與連續(xù),37,1.定義:,極限為零的變量稱為無窮小(量). 記作:,二、無窮小量,分析定義:,0<|x－x0|<δ時,,d >0,,X>0,,|x|>X,微積分--極限與連續(xù),3

21、8,例如,,注意,1.無窮小量是變量, 不能與很小的數(shù)混淆;,2.零是可以作為無窮小量的唯一的數(shù)；,3.單說變量是無窮小量是無意義的，要指明自變量的變化過程。,ex當(dāng) 時是無窮小量; lnx當(dāng) 時是無窮小量.,x→-∞,x →1,微積分--極限與連續(xù),39,2. 變量極限與無窮小量的關(guān)系:,證,僅對x→x0的情形證明。,|f(x)-A|<e,,0<|x-x0|<d 時,,|α(x

22、)|<e,0<|x-x0|<d 時,,即|f (x)-A|<e,,定理,微積分--極限與連續(xù),40,3. 無窮小的運算性質(zhì):,(1)有限個無窮小量的代數(shù)和仍為無窮小量.,證,注意　無窮多個無窮小的代數(shù)和未必是無窮小.,<,e,當(dāng)|x|>X1時, 有|α|< ,,當(dāng)|x|>X2時, 有|β|< .,微積分--極限與連續(xù),41,★(3)無窮小量與有界變量之積仍為無窮小量.

23、,證,(2) 有限個無窮小的乘積仍為無窮小量.,0<|x－x0|< d2時, |α(x)|< e.,推論 常數(shù)與無窮小的乘積是無窮小.,例如:,<,e,f (x)在x0的某空心鄰域內(nèi)有界, 即,微積分--極限與連續(xù),42,,(4)無窮小量除以極限不為零的變量，其商仍為無窮小量.,證,設(shè)A>0.,？,,,<?,>?,,>0,結(jié)論？,,思考!,,微積分--極限與連續(xù),43,4. 無

24、窮小量階的比較,例如,,極限不同,反映了它們趨近于零的“快慢”程度不同.,兩個無窮小量的和、差、積仍為無窮小量。商呢?,=0,=－3,=1,無窮小量的商未必是無窮小量。,微積分--極限與連續(xù),44,定義:,,,,例,注：常數(shù)零是比任何其它無窮小量更高階的無窮小量。,,,(后面我們會利用等價無窮小量簡化某些極限的計算),微積分--極限與連續(xù),45,定理 在同一過程中,無窮大量的倒數(shù)為無窮小量;恒不為零的無窮小量的倒數(shù)為無窮大量.,證,三

25、、無窮大量與無窮小量之間的關(guān)系,意義:關(guān)于無窮大的討論, 都可歸結(jié)為關(guān)于無窮小的討論.,則,即,微積分--極限與連續(xù),46,當(dāng) 時是無窮大量;,當(dāng) 時是無窮小量.,當(dāng) 時是無窮大量;,當(dāng) 時是無窮小量.,x →1,或 x →2－,x→－∞,x→－∞,x →+∞,練習(xí):,★,無窮大

26、:,ln(2－x)——為無窮小,(t＝)2－x →1,無窮小:,ln(2－x)——為無窮大,(t＝)2－x→+∞,∴x →－∞ 或 x →2－,∴x →1,或(t＝)2－x→0＋,(畫lnt的圖形!),(畫lnt的圖形!),微積分--極限與連續(xù),47,試說出下列極限的數(shù)學(xué)定義：,證明,M >0,,證明：,只要x >lnM,,>M ,,則當(dāng)x>X 時,,取X=lnM(不妨設(shè)M>1),,要e x,e x

27、>M,解答:,2.不能保證. 例,1. 未必．例,不存在且不為無窮大,思考題:,1. 任何兩個無窮小量都可以比較階的高低嗎？,故當(dāng)x→0時,無窮小 與x不可以比較階的高低,微積分--極限與連續(xù),49,小 結(jié),1. 主要內(nèi)容:,三個定義;兩個定理;四個性質(zhì);一個推論.,2. 幾點注意:,無窮小量與無窮大量是相對于過程而言的.,(1) 無窮小(大)量是變量,不能與很小(大)的數(shù)混淆, 零是唯一的無窮小的數(shù)

28、；,(2) 無窮多個無窮小的代數(shù)和(乘積)未必是無窮小;,(3) 無界變量未必是無窮大量.,3.無窮小量的比較:,反映了同一過程中, 兩個無窮小量趨于零的速度快慢.,高(低)階無窮小; 等價無窮小; 無窮小的階.,微積分--極限與連續(xù),50,作業(yè)：,P52：2-14思考：2-13、2-17 (下次課后做在書上),微積分--極限與連續(xù),51,絕對值無限增大的變量稱為無窮大(量).,分析定義:,0<|x－x0|&

29、lt;δ時,,d >0,,有| f(x)| >M,M >0,,|x|> X 時,,X >0,,有| f(x)| >M,M >0,,★比較:,f (x)在X上無界,無窮大量與無窮小量,三個定義;兩個定理;四個性質(zhì);一個推論.,定義1.,極限為零的變量稱為無窮小(量).,定義2.,微積分--極限與連續(xù),52,(4) 無窮小量除以極限不為零的變量，其商仍為無窮小量.,(3) 有界函數(shù)與無窮小的乘積

30、是無窮小.,(2) 有限個無窮小的乘積是無窮小.,推論 常數(shù)與無窮小的乘積是無窮小.,(1) 在同一過程中,有限個無窮小的代數(shù)和仍是無窮小.,定理2.在同一過程中, 無窮大量的倒數(shù)為無窮小量;,定理1.,定義3.,恒不為零的無窮小量的倒數(shù)為無窮大量.,2.4 極限的性質(zhì)與運算法則,一、極限的性質(zhì),1(唯一性). 若limf(x)存在，則極限值唯一。,2(局部有界性). 若,存在，,則函數(shù)f (x)在x0的某空心鄰域內(nèi)有界.,

31、3(保號性). 若,且A>0,則在x0的某空心鄰域內(nèi)f (x)>0,(或A<0)，,(或f (x)<0).,4(保號性). 若在x0的某空心鄰域內(nèi)f (x)≥0,則A≥0,且,(或A≤0).,(或≤0),,反證！,在x0的某空心鄰域內(nèi)f (x)>0,A>0,且,反例:,微積分--極限與連續(xù),54,即,二、極限的四則運算法則,在極限存在的條件下，和、差、積、商(分母不為0)的極限等于極限的和、差、積

32、、商.,注意法則條件——,極限存在; 分母極限不為零.,微積分--極限與連續(xù),55,證：由極限與無窮小量的關(guān)系，,再由極限與無窮小量的關(guān)系,法則(1)、 成立。,都,,其中l(wèi)imα=limβ=0,(2)、,(3),是無窮小量,微積分--極限與連續(xù),56,推論:,故推論(3)中的n還可推廣到分?jǐn)?shù)以至任何實數(shù).,由直觀得:,(1)法則可推廣到有限個函數(shù)的和、差、積,,,(“函數(shù)極限”一節(jié)已證),微積分--極限與連續(xù),5

33、7,三、極限不等式,若在x0的某空心鄰域內(nèi)f (x)≥g (x)，且,則A≥B,證：由f (x)≥g (x)得f (x)－g (x)≥0，,由極限性質(zhì)4(保號性),A－B≥0,即A≥B,僅對x→x0情形敘述、證明, 其它情形有類似結(jié)論.,注:與“保號性”類似, 即使條件改為“f (x)>g (x)”,結(jié)論仍為“A≥B”,定理,微積分--極限與連續(xù),58,例1,解,四、求極限舉例,微積分--極限與連續(xù),59,小結(jié):,∴原式=∞,若Q

34、(x0)=0, 則商的法則不能應(yīng)用,微積分--極限與連續(xù),60,解,例3,(消去零因子法),微積分--極限與連續(xù),61,例4,微積分--極限與連續(xù),62,例5,解,變:,=0,微積分--極限與連續(xù),63,小結(jié):,微積分--極限與連續(xù),64,例6,=1,例7,＝1,(∞-∞型),(∞-∞型),x→1+:+∞+(-∞),x→1-:-∞+(+∞),微積分--極限與連續(xù),65,例8,解,無窮多項之和, 不可用法則. 先變形再求極限.,66

35、,例9,a3-b3 =,(a-b)(a2+ab+b2),(0·∞型),微積分--極限與連續(xù),67,例10 設(shè),=1,解,=1,注意解題步驟,微積分--極限與連續(xù),68,例11 無窮遞縮等比數(shù)列求和公式推導(dǎo),等比數(shù)列,前n項和,無窮遞縮等比數(shù)列所有項之和,微積分--極限與連續(xù),69,例12,解,若 , 求a，b,微積分--極限與連續(xù),70,小

36、結(jié)已經(jīng)學(xué)過的幾種求極限的方法在簡單的情形可通過直觀分析來求極限利用左、右極限與極限的關(guān)系來求極限利用無窮大量與無窮小量的關(guān)系求極限 利用無窮小量的性質(zhì)來求極限利用極限四則運算法則求極限(可能需要預(yù)先對函數(shù)式作適當(dāng)?shù)淖冃?后面我們將進(jìn)一步討論較復(fù)雜極限的求解方法.,微積分--極限與連續(xù),71,解答,沒有極限．,假設(shè) 有極限，,有極限，,由極限運算法則可知：,必有極限，,與已知矛盾，,故

37、假設(shè)錯誤．,思考題,在某個過程中，若 有極限， 無極限，那么 是否有極限？為什么？,微積分--極限與連續(xù),72,作業(yè)：,P46：2-9 (3)(12)(14) 2-10 P52：2-16 (1)(4)(5),微積分--極限與連續(xù),73,1.唯一性,定理 每個收斂的數(shù)列只有一個極限.,證,由定義,,故收斂數(shù)列極限唯一.,四、數(shù)列極限的性質(zhì),微積

38、分--極限與連續(xù),74,幾何解釋:,2.5 極限存在準(zhǔn)則與兩個重要極限,一、極限存在準(zhǔn)則,(1)單調(diào)遞增有上界；,準(zhǔn)則Ⅰ 單調(diào)有界數(shù)列必有極限.,注: 根據(jù)準(zhǔn)則只能判斷極限存在, 無法求出極限值.,(2)單調(diào)遞減有下界.,,,,,,,,,,,,,,,微積分--極限與連續(xù),75,證明,=,例1,微積分--極限與連續(xù),76,又,微積分--極限與連續(xù),77,例2,(1)證,(舍去),兩邊取極限得,并求極限值.,(2)解,微積分--極限與連

39、續(xù),78,準(zhǔn)則Ⅱ夾逼準(zhǔn)則 若數(shù)列xn、yn及zn滿足下列條件:,(1) N>0，n>N時, yn≤xn≤zn ;,則,注: 1)函數(shù)極限的夾逼準(zhǔn)則 若f(x)、g(x)及h(x)滿足:,2)利用夾逼準(zhǔn)則求極限關(guān)鍵:,(1),(|x|>X),(2),則,g(x)≤f (x)≤h(x) ;,(X>0),時,,構(gòu)造yn與zn ，且其極限易求.,微積分--極限與連續(xù),79,例3,解,由夾逼定理得,80,,,,

40、,二、兩個重要極限,1.,證,81,,,,,注: 1.,2.,(圖!),3. ,,,微積分--極限與連續(xù),82,例4,,故有：,(a為非零常數(shù)!),x→0時，sinx～x ～tanx sinax～ax ～tanax,微積分--極限與連續(xù),83,等價無窮小替換,定理 (等價無窮小替換定理),證,,微積分--極限與連續(xù),84,常用等價無窮小:,,(待證),微積分--極限與

41、連續(xù),85,例5,解,,例6,不能濫用等價無窮小代換.,對于代數(shù)和中的各無窮小不能分別替換.,注意,微積分--極限與連續(xù),86,例7,錯解,解,微積分--極限與連續(xù),87,例8,解,例9,,思考:例7可否拆成兩個極限之差?,不可!拆開后為∞－∞型,微積分--極限與連續(xù),88,2.,數(shù)列情形已證, 可推廣至x →+∞ 及x →－∞,,利用該重要極限解題時抓住特征：,微積分--極限與連續(xù),89,例11,解,一般地：,例10,解,不要仿照教材

42、解題步驟——勿作變換!,= e k,=e2,=e－1,2,－1,微積分--極限與連續(xù),90,例12,解 原式＝,例13,2,=e2,解 原式＝,2a,=e2a,微積分--極限與連續(xù),91,例14,例15,解,解,－2,=e－2,=e3,微積分--極限與連續(xù),92,本金A0，年利率r，連續(xù)復(fù)利,本利和作為新本金, 重復(fù)計算利息), t年后本利和A?,1. 先不考慮連續(xù)復(fù)利，只每年末結(jié)息:,滿一年本利和,滿兩年本利和,滿t年本利和,

43、2. 每年分n次記息, 年利率仍為r, 則每次結(jié)算利率,3. 最后，連續(xù)復(fù)利:,三、連續(xù)復(fù)利問題(——重要極限2的一個經(jīng)濟(jì)應(yīng)用),(利息隨時記入本金,,t年共結(jié)算nt次，故滿t年本利和:,93,這種將利息計入本金重復(fù)計算復(fù)利的方法稱為連續(xù)復(fù)利。類似于連續(xù)復(fù)利問題的數(shù)學(xué)模型在人口增長、林木增長、細(xì)菌繁殖、物體冷卻、放射性元素的衰變等許多實際問題中都會遇到，因此有很重要的實際意義。,例16 一機器原價值100000元，不斷變舊，每年減

44、少價值0.9％，求其10年后的價值.,100000(1-0.9)10,未考慮連續(xù)復(fù)利, 不科學(xué).,中學(xué)做法:,解 A0=100000, r =－0.9%, t =10.故10年后機器價值,微積分--極限與連續(xù),94,,(補證),= 1,微積分--極限與連續(xù),95,證明: 當(dāng),時,,～,證:,,～,,微積分--極限與連續(xù),96,小結(jié),1.兩個準(zhǔn)則,2.兩個重要極限,夾逼準(zhǔn)則; 單調(diào)有界準(zhǔn)則 .,3. 經(jīng)濟(jì)應(yīng)用,連續(xù)復(fù)利, 年利率r,

45、 本金A0, t年后本利和A=,微積分--極限與連續(xù),97,解答,思考題,求極限,= 9×10 = 9,微積分--極限與連續(xù),98,作業(yè)：,P47：2-11 (4)(6)(10)(12)P53：2-18 (3)(6),99,故極限存在，,備用題,1.設(shè),, 且,求,解：,設(shè),則由遞推公式有,,∴數(shù)列單調(diào)遞減有下界，,故,利用極限存在準(zhǔn)則,微積分--極限與連續(xù),100,例,微積分--極限與連續(xù),101,,,2.6 函數(shù)的連續(xù)

46、性,一、變量的改變量(增量),函數(shù)y=f (x):,x0——x,,(可正可負(fù)可為零),變量u：u0——u1 ,△u＝,u1－u0,△x＝x－x0 即,x＝x0＋△x,△y＝f (x)－ f (x0) ＝,f (x0＋△x)－f (x0),△x,△y,102,二、連續(xù)函數(shù)概念,當(dāng)△x→0時, 曲線y＝f (x) 上的動點M(x, f(x))無限趨近于該曲線上的定點M0 (x0 , f(x0) ).,,103,1. 函數(shù)f

47、 (x)在點x0處連續(xù),定義1 函數(shù)f (x)在點x0的某鄰域內(nèi)有定義，若,則稱f (x)在點x0處連續(xù), 并稱x0為f (x)的連續(xù)點.,例1 證明函數(shù)y=sinx在(-∞,+∞)內(nèi)任意一點處連續(xù).,證 任取x0∈ (-∞,+∞)，則,即y=sinx在x0處連續(xù).,故y=sinx在(-∞,+∞)內(nèi)任意點連續(xù).,同理可證：y=cosx在(-∞,+∞)內(nèi)任意點連續(xù).,△y＝sin(x0＋△x)－sin(x0),微積分--極限與連續(xù)

48、,104,定義2 函數(shù)f (x)在點x0的某鄰域內(nèi)有定義，若,,則稱f (x)在x0處連續(xù), x0為f (x)的連續(xù)點.,例2 證明函數(shù)y=ax+b在(-∞,+∞)內(nèi)任意一點處連續(xù).,注：例1 不可用定義2證明.,例3,證,0 = f (0),∴函數(shù)f (x)在x=0處連續(xù).,x =0左右兩側(cè)表達(dá)式相同，不必用左、右極限.,△x→0 x→x0,△y→0 f (x)→f (x0),定義3(e －d 定義)略,1

49、05,3.左連續(xù) 與 右連續(xù),2. 函數(shù)f (x)在(a,b)內(nèi)連續(xù):,f (x)在(a,b)內(nèi)每一點連續(xù),由前例,多項式函數(shù),正弦、余弦函數(shù)在其定義域R內(nèi)連續(xù).,連續(xù)用極限定義, 極限有“左、右極限”概念, 故有:,定理,,,,連續(xù),左連續(xù),右連續(xù),左端點a處右連續(xù)，右端點b處左連續(xù).,4. 函數(shù)f (x)在[a, b]上連續(xù):,f (x)在(a,b)內(nèi)連續(xù), 且在,幾何意義：圖形是一條連續(xù)不斷的曲線。,分段函數(shù)在不同表達(dá)式的區(qū)間

50、分界點處連續(xù)性的討論.,★,106,例4 討論函數(shù) 的連續(xù)性.,思路: 由于多項式函數(shù)在任意一點連續(xù), 所以對此分段函數(shù), 主要是討論在區(qū)間分界點處的連續(xù)性。,,解,∴函數(shù)f (x)在x=0處連續(xù).,∴函數(shù)f (x)在x=1處不連續(xù)，但左連續(xù).,f (x)在(-∞,0), (0,1), (1,+∞)內(nèi)連續(xù)(∵都是多項式函數(shù)),∴ f (x)的連續(xù)區(qū)間為(-∞, 1], (1,+∞).,求

51、連續(xù)區(qū)間,微積分--極限與連續(xù),107,三、函數(shù)的間斷點,1.定義,若函數(shù)f(x)在點x0處不滿足連續(xù)的條件, 則稱,(1)f (x0)不存在;,f (x)在點x0處不連續(xù)(間斷), 并稱x0為f (x)的間斷點.即至少有下列情況之一出現(xiàn)：,第一類：左、右極限存在 相等：可去間斷點 不相等：跳躍間斷點 第二類：其它,,2.間斷點分類,,微積分-

52、-極限與連續(xù),108,第一類間斷點圖示1 2 3,,,,,,,,,,,,,,可 去 間 斷 點,跳躍間斷點,109,1).可去間斷點,例5 討論函數(shù) 在x = 1處的連續(xù)性,解,上例中,,,,注：可去間斷點只要改變或補充定義其函數(shù)值, 則可使其變?yōu)檫B續(xù)點.,∴x = 0為函數(shù)的可去間斷點.,改變定義f (1)=2，,微積分--極限與

53、連續(xù),110,2).跳躍間斷點,解,第一類間斷點特點：,∴x = 0為函數(shù)的跳躍間斷點.,函數(shù)f (x)在點x0處的左、右極限都存在.,函數(shù) 在x = 0,例6 討論函數(shù) 在x = 0處的連續(xù)性.,沒有定義，故間斷。,0,∴x = 0為f(x)的可去間斷點.,f (0)=0, 則f (x)在x=0連續(xù)(即例3).,補充定義,微積分--極限與連續(xù),111,例7 討論函數(shù)

54、 在x = 0處的連續(xù)性.,解,,3).第二類間斷點,f (x)在x = 0沒有定義，故間斷。,∴x = 0為f(x)的第二類間斷點.,這種情況稱為振蕩間斷點.,微積分--極限與連續(xù),112,例8 討論函數(shù) 在x = 0處的連續(xù)性.,解,(左、右極限至少有一個為無窮大),∴x = 0為f(x)的第二類間斷點.,,這種情況稱為無窮間斷點.,微積分--極限與連續(xù),113,1.連續(xù)函數(shù)的四

55、則運算,例如,,四、連續(xù)函數(shù)的性質(zhì),∵ sinx 、cosx在(－∞,＋∞)內(nèi)連續(xù).,∴tanx 、cotx 、secx 、cscx在其定義域內(nèi)連續(xù).,微積分--極限與連續(xù),114,意義:,1.對連續(xù)函數(shù), 極限符號可以與函數(shù)符號互換;,例9,解,定理1,2. 復(fù)合函數(shù)的連續(xù)性,2.變量代換(u=φ(x))的理論依據(jù) .,= 1,微積分--極限與連續(xù),115,例10,解,同理可得,,(證得),= 1,記憶：,微積分--極限與連續(xù),116

56、,定理2,例如,,注意　定理2是定理1的特殊情況.,嚴(yán)格單調(diào)的連續(xù)函數(shù)必有嚴(yán)格單調(diào)的連續(xù)反函數(shù).,3. 反函數(shù)的連續(xù)性,y=sin u 在(－∞, ＋∞)內(nèi)連續(xù).,1. 初等函數(shù)在其定義域內(nèi)不一定連續(xù);,例如,,這些孤立點的鄰域內(nèi)沒有定義.,注:,注: 2. 初等函數(shù)求極限的方法：代入法.,基本初等函數(shù)在其定義域內(nèi)連續(xù)；,定理,★,4. 初等函數(shù)的連續(xù)性,注: 3. 討論分段函數(shù)的連續(xù)性，可利用初等函數(shù)的連續(xù)性說明各段子區(qū)間內(nèi)函數(shù)的

57、連續(xù)性，再用連續(xù)的充要條件單獨討論分段點的連續(xù)性.,(見前例4 —— 解題步驟與格式),初等函數(shù)在其定義區(qū)間內(nèi)連續(xù)的.,微積分--極限與連續(xù),118,例11,例12,解,解,微積分--極限與連續(xù),119,,五、閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì),1. 最值定理：閉區(qū)間上的連續(xù)函數(shù)一定有最大、最小值。,推論(有界性定理)閉區(qū)間上的連續(xù)函數(shù)在該區(qū)間上有界.,微積分--極限與連續(xù),120,例 y＝1＋sinx，,注意:1.若區(qū)間是開區(qū)間, 定理不一定成

58、立;,2.若區(qū)間內(nèi)有間斷點, 定理不一定成立.,在(－∞, ＋∞)上,,在(0, ＋∞)上,,ymax＝2,,ymax＝1,,ymin＝－1;,ymax＝ ymin＝1,ymin＝0 ;,121,2. 介值定理：,,幾何解釋:,M,m,連續(xù)曲線弧y＝f (x)與水平直線 y＝C至少有一個交點(C∈(m, M)),,定理(介值定理) 設(shè)f (x)在[a, b]上連續(xù)，且f (x)在[a, b]上的最大、最小值分別為M和m，則對任意C

59、∈(m, M)，至少,微積分--極限與連續(xù),122,幾何解釋:,連續(xù)曲線弧y＝f (x)的兩個端點位于x軸的兩側(cè)，則曲線弧與x軸至少有一個交點.,即方程 f (x) ＝0 在(a, b)內(nèi)至少存在一個實根.,微積分--極限與連續(xù),123,例13 證明方程4x2－x3=1在區(qū)間(0,1)內(nèi)至少有一根,證,由零點定理,,內(nèi)必有方程的根 ;,取,的中點,內(nèi)必有方程的根 ;,,可用此法求近似根.,二分法求近似根.,,,,則,則,原方程即為：x

60、3－4x2+1=0,令 f(x)=x3－4x2+1,,則 f (x)在[0,1]上連續(xù)，,又 f(0)=1>0， f(1)=-2<0,∴方程x3－4x2+1=0即4x2－x3=1在區(qū)間(0,1)內(nèi)至少有一根,微積分--極限與連續(xù),124,小結(jié),1.函數(shù)在一點連續(xù)必須滿足的三個條件;,3.間斷點的分類與判別;,2.區(qū)間上的連續(xù)函數(shù);,第一類間斷點:可去型,跳躍型.,第二類間斷點:無窮型,振蕩型.,間斷點,,(見下圖),微積分-

61、-極限與連續(xù),125,可去型,第一類間斷點,跳躍型,無窮型,振蕩型,第二類間斷點,微積分--極限與連續(xù),126,復(fù)合函數(shù)的連續(xù)性.,初等函數(shù)的連續(xù)性.,定義區(qū)間與定義域的區(qū)別;求極限的又一種方法.,兩個定理; 兩點意義.,反函數(shù)的連續(xù)性.,連續(xù)函數(shù)的和差積商的連續(xù)性.,閉區(qū)間連續(xù)函數(shù)性質(zhì)：有界性定理;最值定理;介值定理;根的存在性定理.,注意定理條件：1．閉區(qū)間； 2．連續(xù)函數(shù)． 這兩點不滿足

62、上述定理結(jié)論不一定成立,連續(xù)函數(shù)性質(zhì)：,微積分--極限與連續(xù),127,思考題,(2) 下述命題是否正確？,,如果f (x)在[a , b]上有定義，在(a , b)內(nèi)連續(xù)，且f (a)·f (b) < 0，那么f (x)在(a , b)內(nèi)必有零點.,微積分--極限與連續(xù),128,解答,且,但反之不成立.,例,但,微積分--極限與連續(xù),129,不正確.,例函數(shù),(2),f (x)在 (0,1) 內(nèi)連續(xù)，,f (0)

63、83;f (1)＝－2e < 0.,但f (x)在 (0, 1)內(nèi)無零點.,微積分--極限與連續(xù),130,作業(yè)：,P61：2-19 (3)(4)(6) 2-20 (2) 2-23,微積分--極限與連續(xù),131,,微積分--極限與連續(xù),132,例 指出下列函數(shù)的間斷點并判斷其類型,∴x = 0為可去間斷點.,為無窮間斷點.,,∴x = 0為可去間斷點.,∴x = 1為無窮間斷點.,,,提示