等差數列定義及通項公式

1、等差數列定義及通項公式,,基礎教育系,一、舉例,4，5，6，7，8，9，10； ⑴3，0，-3，-6，…； ⑵1/10，2/10，3/10，4/10，…；⑶,特點：,從第2項起，每一項與前一項的差都等于同一常數。,二、等差數列的定義,一般地，如果一個數列從第二項起，每一項與它的前一項的差都等于同一個常數，這個數列就叫做等差數列; 這個常數就叫做等差數列的公差; 公差通常用字母 d 表

2、示。,在數列{an}中，若an+1 - an=d (n∈N*) , d 為常數，則{an}是等差數列。常數 d 叫做等差數列的公差。,特例：,0，0，0，0，…a , a , a , a , …,理解：,①第二項起；②“同一個”③求公差d時，可以用d ＝an – an－1 ，也可以用d ＝ an+1 – an；④公差d ∈ R，當d=0時， 數列為常數列， d>0時,數列為遞增數列， d<0時,數列為遞減數列；

3、⑤ d ＝an　 – an－1或d ＝ an+1 – an是證明或判斷等差數列的依據。,三、等差數列的通項公式：,1、公式推導：,歸納法：,∵{an}是等差數列，則有a2=a1+da3=a2+d=(a1+d)+d=a1+2da4=a3+d=(a1+2d)+d=a1+3da5=a4+d=(a1+3d)+d=a1+4d……an=an-1+d=a1+(n – 1)d∴an=a1+(n – 1)d又，當n=1時,等式成立∴ n

4、∈N*時， an=a1+(n – 1)d,疊加法：,∵{an}是等差數列，則有an－an-1＝dan-1－an-2＝dan-2－an-3＝d……a2－a1＝d∴an – a1=(n – 1)d∴an=a1+(n – 1)d,2、通項公式：an=a1+(n – 1)d， a1為首項，d為公差。3、公式變形：對任意的p、q ∈N*，在等差數列中，有ap=a1+(p – 1)daq=a1+(q – 1)d∴ ap –

5、 aq=(p – q)d∴ ap=aq+(p – q)d(其中p、q的關系可以有p>q , p=q , p<q),4、通項公式的應用：①可以由首項和公差求出等差數列中的任意一項；②已知等差數列的任意兩項，可以確定數列的任意一項。,四、例題評講：,例1、判斷下列數列是否為等差數列。⑴　1，2，4，6，8；⑵　2，4，6，8，10；⑶　0，0，0，0，0；⑷　1，2，4，7，11；,例2、⑴求等差數列8，5，2

6、，…的第20項。⑵－401是不是等差數列– 5， – 9， – 13，…的項？如果是，是第幾項？分析：對于⑴小題，是由公式求指定項，為此 將a1=8,d= – 3,n=20代入，就可求出相應的項。對于⑵小題，是判斷一個數是否為等差數列的項，可用解方程的方法。,⑴求等差數列8，5，2，…的第20項。解：由a1=8,d=5-8=-3,n=20 ，得 a20=8+(20-1) ×(-3)= -

7、49,⑵－401是不是等差數列– 5， – 9， – 13，…的項？如果是，是第幾項？解： 由a1= - 5，d= - 9 - ( - 5)= - 4,得 an= - 5 - 4(n - 1) 令 - 401= - 5 - 4(n - 1)解得n=100，即 - 401是為個數列的第100項。說明：判斷一個數是否為等差數列的項，要看關于通項公式構成的以n為末知數的方程有沒有正整數解。,例3、　在等

8、差數列{an}中，已知a5=10,a12=31，求首項a1與公差d。解：依題意得 a1+4d=10 a1+11d=31 解得：a1= - 2 , d = 3 ;即這個等差數列的首項是-2，公差是3。,五、課堂練習：,1、求等差數列3，7，11，…的第4項與第10項。2、求等差數列10，8，6，…的第20項。3、在等差數列{an}中，已知a4=10,a7=19求首項a1與公差d。4、在等