數(shù)學(xué)建模投資的風(fēng)險(xiǎn)和效益

1、多目標(biāo)優(yōu)化 多目標(biāo)優(yōu)化 摘要 摘要：對(duì)市場(chǎng)上的多種風(fēng)險(xiǎn)投資和一種無(wú)風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)（存銀行）進(jìn)行組合投資策略的的設(shè)計(jì)需要考慮連個(gè)目標(biāo)，總體收益盡可能大和總體風(fēng)險(xiǎn)盡可能小，然而，這 兩目標(biāo)并不是相輔相成的，在一定意義上是對(duì)立的。 模型一應(yīng)用多目標(biāo)決策方法建立模型，以投資效益沒目標(biāo)，對(duì)投資問(wèn)題建立個(gè)一個(gè)優(yōu)化模型，不同的投資方式具有不同的風(fēng)險(xiǎn)和效益，該模型根據(jù)優(yōu)化模型的原理，提出了兩個(gè)準(zhǔn)則，并從眾多的投資方案中選出若干個(gè)，使在投資額一定 的條件下，經(jīng)

2、濟(jì)效益盡可能大，風(fēng)險(xiǎn)盡可能小。 模型二給出了組合投資方案設(shè)計(jì)的一個(gè)線性規(guī)劃模型，主要思想是通過(guò)線性加權(quán)綜合兩個(gè)設(shè)計(jì)目標(biāo)：假設(shè)在投資規(guī)模相當(dāng)大的基礎(chǔ)上，將交易費(fèi)函數(shù)近似線性化，通過(guò)決策變量化解風(fēng)險(xiǎn)函數(shù)的非線性。 【關(guān)鍵字 關(guān)鍵字】 ：經(jīng)濟(jì)效益 線性規(guī)劃模型 有效投資方案 線性加權(quán) 1. 問(wèn)題重述 問(wèn)題重述 投資的效益和風(fēng)險(xiǎn)(1998 年全國(guó)大學(xué)生數(shù)學(xué)建模競(jìng)賽 A 題) 市場(chǎng)上有 n 種資產(chǎn)（如股票、債券、…）Si ( i=1,…n) 供

3、投資者選擇，某公司有數(shù) 額為 M 的一筆相當(dāng)大的資金可用作一個(gè)時(shí)期的投資。公司財(cái)務(wù)分析人員對(duì)這 n 種 資產(chǎn)進(jìn)行了評(píng)估，估算出在這一時(shí)期內(nèi)購(gòu)買 Si 的平均收益率為 i r 并預(yù)測(cè)出購(gòu)買 Si 的風(fēng)險(xiǎn)損失率為 i q ?？紤]到投資越分散，總的風(fēng)險(xiǎn)越小，公司確定，當(dāng)用這筆資金 購(gòu)買若干種資產(chǎn)時(shí)，總體風(fēng)險(xiǎn)用所投資的 Si中最大的一個(gè)風(fēng)險(xiǎn)來(lái)度量。 購(gòu)買 Si 要付交易費(fèi)，費(fèi)率為 i p ，并且當(dāng)購(gòu)買額不超過(guò)給定值 i u 時(shí)，交易費(fèi)按購(gòu)買 i

4、 u 計(jì)算（不買當(dāng)然無(wú)須付費(fèi)） 。另外，假定同期銀行存款利率是 0 r , 且既無(wú)交易費(fèi)又無(wú)風(fēng)險(xiǎn)。 （ 0 r =5%） 已知 n = 4 時(shí)的相關(guān)數(shù)據(jù)如下： i r (%) i q (%) i p (%) i u (元) S1 28 2.5 1 103 S2 21 1.5 2 198 S3 23 5.5 4.5 52 25 2.6 6.5 40 試給該公司設(shè)計(jì)一種投資組合方案，即用給定的資金

5、 M，有選擇地購(gòu)買若干種資 產(chǎn)或存銀行生息，使凈收益盡可能大，而總體風(fēng)險(xiǎn)盡可能小。 (2)試就一般情況下對(duì)以上問(wèn)題進(jìn)行討論，并利用一下數(shù)據(jù)進(jìn)行計(jì)算。 i S i r i q i p i u 1 S 9.6 42 2.1 181 2 S 18.5 54 3.2 407 由于資產(chǎn)預(yù)期收益的不確定性，導(dǎo)致它的風(fēng)險(xiǎn)特性，在這里投資 Si 的平均收益率為 xiri，風(fēng)險(xiǎn)損失為 xiqi。要使投資者的凈收益盡可能大

6、，而風(fēng)險(xiǎn)損失盡可能 小，第一個(gè)解決方法就是進(jìn)行投資組合，分散風(fēng)險(xiǎn)，以期待獲得較高的收益，模型的目的就在于求解最優(yōu)投資組合，當(dāng)然最優(yōu)投資還決定于個(gè)人的因素，即投資 者對(duì)風(fēng)險(xiǎn)，收益的偏好程度，怎樣解決二者的相互關(guān)系也是模型要解決的一個(gè)重 要問(wèn)題。 本題所給的投資問(wèn)題是利用原給的數(shù)據(jù)，通過(guò)計(jì)算分析得到一種盡量讓人滿意的投資方案，并推廣到一般情況，利用第二問(wèn)進(jìn)行驗(yàn)證，下面是實(shí)際要考慮的兩點(diǎn)情況： （1） 在風(fēng)險(xiǎn)一定的情況下，取得最大的收益

7、（2） 在收益一定的情況下，所冒的風(fēng)險(xiǎn)最小 當(dāng)然，不同的投資者對(duì)利益和風(fēng)險(xiǎn)的側(cè)重點(diǎn)不同，將在一定的范圍內(nèi)視為正常，所以只需要給出一種盡量好的模型，即風(fēng)險(xiǎn)盡量小，收益盡量大，這是一般 投資者的心里。 對(duì)于模型一，在問(wèn)題一的情況下，公司可對(duì)五種項(xiàng)目投資，其中銀行的無(wú)風(fēng)險(xiǎn)，收益 r0=5%為定值，在投資期間是不會(huì)變動(dòng)的，其它的投資項(xiàng)目雖都有一定的風(fēng)險(xiǎn)，但其收益可能大于銀行的利率，我們擬建立一個(gè)模型，這個(gè)模型對(duì)一般 的投資者都適用，并根據(jù)他們風(fēng)

8、險(xiǎn)承受能力的不同提出多個(gè)實(shí)用于各種類型人的投資方案（一般投資者分為：冒險(xiǎn)型與保守型。即越冒險(xiǎn)的人對(duì)風(fēng)險(xiǎn)損失的承受能力越強(qiáng)） 。 對(duì)于模型二：由于資產(chǎn)預(yù)期收益的不確定性，導(dǎo)致它的風(fēng)險(xiǎn)特性，將資產(chǎn)的風(fēng)險(xiǎn)預(yù)期收益率用一定的表達(dá)式表示出來(lái)， 在這里， 投資 Si 的平均收益為 X(i)*r(i),風(fēng)險(xiǎn)損失為 r(i)*q(i).要使投資者的凈收益盡可能大，而風(fēng)險(xiǎn)損失盡可能小。 4 模型的建立與求解 模型的建立與求解 投資者的凈收益為購(gòu)買各種資產(chǎn)

9、及銀行的收益減去此過(guò)程中的交易費(fèi)用。在對(duì)資產(chǎn) Si 進(jìn)行投資時(shí)，對(duì)于投資金額 xi 的不同，所付的交易費(fèi)用也有所不同 步投資時(shí)不付費(fèi)，投資額大于 ui 時(shí)交易費(fèi)為 xipi，否則交易費(fèi)為 uipi，記 ii i0 x 0u 0 r ; i ii i ixx x u?? ? ? ? ? ? ? ? ? ?， ；即題中所給的交易費(fèi)的計(jì)算數(shù)額是一個(gè)分段函數(shù)，在實(shí)際的計(jì)算中不容易處理，但我們注意到，在表 1 中，ui 的數(shù)值非常小，? i u