數(shù)學(xué)建模投資的風(fēng)險和效益

1、 1 / 14多目標(biāo)優(yōu)化 多目標(biāo)優(yōu)化摘要 摘要：對市場上的多種風(fēng)險投資和一種無風(fēng)險資產(chǎn)（存銀行）進行組合投資策略的的設(shè)計需要考慮連個目標(biāo)，總體收益盡可能大和總體風(fēng)險盡可能小，然而， 這兩目標(biāo)并不是相輔相成的，在一定意義上是對立的。模型一應(yīng)用多目標(biāo)決策方法建立模型，以投資效益沒目標(biāo)，對投資問題建立個一個優(yōu)化模型，不同的投資方式具有不同的風(fēng)險和效益，該模型根據(jù)優(yōu)化模型的原理，提出了兩個準則，并從眾多的投資方案中選出若干個，使在投資額一定 的

2、條件下，經(jīng)濟效益盡可能大，風(fēng)險盡可能小。模型二給出了組合投資方案設(shè)計的一個線性規(guī)劃模型，主要思想是通過線性加權(quán)綜合兩個設(shè)計目標(biāo)：假設(shè)在投資規(guī)模相當(dāng)大的基礎(chǔ)上，將交易費函數(shù)近似線性化，通過決策變量化解風(fēng)險函數(shù)的非線性?！娟P(guān)鍵字】： 【關(guān)鍵字】：經(jīng)濟效益 線性規(guī)劃模型 有效投資方案 線性加權(quán) 1. 問題重述 問題重述投資的效益和風(fēng)險(1998 年全國大學(xué)生數(shù)學(xué)建模競賽 A 題)市場上有 n 種資產(chǎn)（如股票、債券、…）Si ( i=1,…n)

3、 供投資者選擇，某公司有數(shù)額為 M 的一筆相當(dāng)大的資金可用作一個時期的投資。公司財務(wù)分析人員對這 n 種資產(chǎn)進行了評估，估算出在這一時期內(nèi)購買 Si 的平均收益率為 i r 并預(yù)測出購買 Si的風(fēng)險損失率為 i q ?？紤]到投資越分散，總的風(fēng)險越小，公司確定，當(dāng)用這筆資金購買若干種資產(chǎn)時，總體風(fēng)險用所投資的 Si中最大的一個風(fēng)險來度量。購買 Si要付交易費，費率為 i p ，并且當(dāng)購買額不超過給定值 i u 時，交易費按購買 i u 計

4、算（不買當(dāng)然無須付費） 。另外，假定同期銀行存款利率是 0 r , 且既無交易費又無風(fēng)險。 （ 0 r =5%） 已知 n = 4 時的相關(guān)數(shù)據(jù)如下：i r (%) i q (%) i p (%) i u (元)S1 28 2.5 1 103S2 21 1.5 2 198S3 23 5.5 4.5 5225 2.6 6.5 40試給該公司設(shè)計一種投資組合方案，即用給定的資金 M，有選擇地購買若干種資產(chǎn)或存銀行生息，使凈收益盡可能

5、大，而總體風(fēng)險盡可能小。(2)試就一般情況下對以上問題進行討論，并利用一下數(shù)據(jù)進行計算。i S i r i q i p i u1 S 9.6 42 2.1 1812 S 18.5 54 3.2 4073 / 14由于資產(chǎn)預(yù)期收益的不確定性，導(dǎo)致它的風(fēng)險特性，在這里投資 Si 的平均收 益率為 xiri，風(fēng)險損失為 xiqi。要使投資者的凈收益盡可能大，而風(fēng)險損失盡可能小，第一個解決方法就是進行投資組合，分散風(fēng)險，以期待獲得較高的收益，

6、模型的目的就在于求解最優(yōu)投資組合，當(dāng)然最優(yōu)投資還決定于個人的因素，即投資者對風(fēng)險，收益的偏好程度，怎樣解決二者的相互關(guān)系也是模型要解決的一個 重要問題。本題所給的投資問題是利用原給的數(shù)據(jù)，通過計算分析得到一種盡量讓人滿意的投資方案，并推廣到一般情況，利用第二問進行驗證，下面是實際要考慮的兩點情況： （1） 在風(fēng)險一定的情況下，取得最大的收益（2） 在收益一定的情況下，所冒的風(fēng)險最小當(dāng)然，不同的投資者對利益和風(fēng)險的側(cè)重點不同，將在一定的范

7、圍內(nèi)視為正常，所以只需要給出一種盡量好的模型，即風(fēng)險盡量小，收益盡量大，這是一般投資者的心里。對于模型一，在問題一的情況下，公司可對五種項目投資，其中銀行的無風(fēng)險，收益 r0=5%為定值，在投資期間是不會變動的，其它的投資項目雖都有一定的風(fēng)險，但其收益可能大于銀行的利率，我們擬建立一個模型，這個模型對一般的投資者都適用，并根據(jù)他們風(fēng)險承受能力的不同提出多個實用于各種類型人的 投資方案（一般投資者分為：冒險型與保守型。即越冒險的人對風(fēng)險損

8、失的承受能力越強） 。對于模型二：由于資產(chǎn)預(yù)期收益的不確定性，導(dǎo)致它的風(fēng)險特性，將資產(chǎn)的風(fēng)險預(yù)期收益率用一定的表達式表示出來，在這里，投資 Si 的平均收益為X(i)*r(i),風(fēng)險損失為 r(i)*q(i).要使投資者的凈收益盡可能大，而風(fēng)險損失盡可能小。4 模型的建立與求解 模型的建立與求解投資者的凈收益為購買各種資產(chǎn)及銀行的收益減去此過程中的交易費用。 在對資產(chǎn) Si 進行投資時，對于投資金額 xi 的不同，所付的交易費用也有所不

9、同步投資時不付費，投資額大于 ui 時交易費為 xipi，否則交易費為 uipi，記ii i0 x 0u 0 r ; i ii i ixx x u?? ? ? ? ? ? ? ? ? ?，；即題中所給的交易費的計算數(shù)額是一個分段函數(shù)，在實際的計算中不容易處理，但我們注意到，在表 1 中，ui 的數(shù)值非常小， =103+198+52+40=387 ? i u元，對其中最大的 ui 來說，u2=198<200 元，而已知 M 是一筆相