關(guān)于波函數(shù)的幾點討論

1、關(guān)于波函數(shù)的幾點討論 張 敏 (華中師范大學(xué)物理科學(xué)與技術(shù)學(xué)院 武漢 430079) 摘要 摘要： 本文主要介紹了波函數(shù)的產(chǎn)生及其物理意義， 詳細(xì)討論了波函數(shù)的幾個性質(zhì)和它的三個標(biāo)準(zhǔn)條件，闡述了波函數(shù)所滿足的態(tài)的疊加原理。 關(guān)鍵詞 關(guān)鍵詞：波函數(shù) 波函數(shù)的性質(zhì) 態(tài)的疊加原理 1 引言 引言 在量子力學(xué)中波函數(shù)是最基本的概念， 理解波函數(shù)是建立量子觀念的關(guān)鍵。 波函數(shù)將微觀粒子的波動性與粒子性結(jié)合起來了， 它本身不具有任何意義， 它

2、的意義在于波恩對它的統(tǒng)計詮釋，深刻地理解波函數(shù)的意義對以后量子力學(xué)的學(xué)習(xí)奠定了基礎(chǔ)。 2 波函數(shù)的引入 波函數(shù)的引入 20 世紀(jì)初，人們認(rèn)識到微觀粒子具有波粒二象性，但在如何具體描述微觀粒子的狀態(tài)時遇到了困難。 波粒二象性是微觀粒子的本性， 因此描述微觀粒子狀態(tài)的數(shù)學(xué)工具應(yīng)該能反映這種性質(zhì)。 這里微觀粒子所呈現(xiàn)出來的粒子性，只是經(jīng)典粒子概念中的“原子性” ，即總是以具有一定的質(zhì)量、 電荷等屬性的客體出現(xiàn)在自然界， 而其呈現(xiàn)出的波動性是

3、波最本質(zhì)的東西——“波的疊加性” 。 把微觀粒子的波動性與粒子性統(tǒng)一起來的是波恩 1926 年提出的概率波， 他是在用薛定諤方程來處理散射問題時為解釋散射粒子的角分布而提出來的。 波恩認(rèn)為德布羅意提出的“物質(zhì)波” ，或薛定諤方程中的波函數(shù)所描述的，并不像經(jīng)典波那樣代表什么實在的物理量在空間分布的波動，只不過是刻畫粒子在空間的概率分布的概率波而已。 在解釋楊氏雙縫實驗衍射花樣的強度分布時，用波函數(shù) ） （r r ψ 描述衍射波的波幅，則衍

4、射花樣的強度分布用2 ) r (r ψ 描述， 它是用來刻畫電子出現(xiàn)在空間某一點附近的幾率大小，即 z y x ) r ( 2 Δ Δ Δ r ψ 代表點附近的小體積元 z y x Δ Δ Δ 中找到粒子的概率，這就是波恩提出的波函數(shù)的幾率詮釋。因此，電子呈現(xiàn)出來的波動性反映了微觀客體運動的一種統(tǒng)計規(guī)律性，所以稱為概率波，波函數(shù)也稱為概率波幅。[1] 在非相對論情況下， 幾率波正確地把物質(zhì)粒子的波動性與原子性統(tǒng)一起來了。 如果我們知道了

5、描寫微觀體系的波函數(shù)， 就可以得到粒子在空間任意一點出現(xiàn)的概率以及該系統(tǒng)的各種特性和狀態(tài)。微觀體系的狀態(tài)由波函數(shù)描述，這是量子力學(xué)的五大基本假設(shè)之一。 3 波函數(shù)的性質(zhì) 波函數(shù)的性質(zhì) 波函數(shù)本身沒有意義， 它的意義在于波恩對它的統(tǒng)計詮釋。 作為量子力學(xué)最基本的概念，波函數(shù)具有以下性質(zhì)： （1）歸一性 由波函數(shù)的統(tǒng)計詮釋，很自然地要求微觀粒子在空間各點出現(xiàn)的概率之和為 1，即波函波函數(shù)有兩個分量， ? ? ?? ? ? ??? = ) 2

6、 / , r () 2 / , r ( s , r z h r h r rψψ ψ ） （ [3] 但單值性的確可以看成是波動方程的一個邊界條件， 作為量子物理的一種數(shù)學(xué)表達形式, 波動力學(xué)本身必須是自洽的。我們知道,薛定諤波動方程是一個關(guān)于粒子空間坐標(biāo)的二階微分方程， 根據(jù)函數(shù)可微的必要條件可知, 波函數(shù)必須是粒子空間坐標(biāo)的連續(xù)函數(shù),因而必須是空間點的單值函數(shù)。 換句話說， 單值性是波動力學(xué)本身附加給波函數(shù)的一個必須滿足的條件。2、連

7、續(xù)條件 波函數(shù)及其各階微商的連續(xù)性，這要根據(jù)體系所處的勢場V(x)的性質(zhì)來分析，當(dāng)V(x)連續(xù)時，波函數(shù)及其一階微商均連續(xù)；當(dāng)V(x)不連續(xù)時，若在其間斷點的某一鄰域內(nèi)有界，則波函數(shù)及其一階微商連續(xù)， 若在其間斷點的某一鄰域內(nèi)V(x)無界， 則波函數(shù)及其一階微商可能連續(xù)，也可能不連續(xù)。 對于δ 勢阱， 在δ 勢阱處波函數(shù)的一階導(dǎo)數(shù)存在躍變 ) 0 ( ) 0 ( ) 0 ( 0ψ ψ ψ V ? = ′ ? ′ ? + ，而由于 ) 0

8、 ( ψ 有限，故 ) (x ψ 在x=0兩側(cè)是連續(xù)的。 3、有限條件 2 ) r (r ψ 只是表示概率密度，而在物理上只要求在空間任何有限體積元中找到粒子的概率為有限值即可，即 τ ψ τ d r 20 ∫ ） （r =有限值，設(shè) r=r0 是 ） （r r ψ 的一個孤立奇點， 0 τ 是包圍點 r0 的任意小體積，取 r0=0，則 0 ) r ( r 2 3 → r ψ 因此，并不排除在空間某些孤立奇點處∞ → ) r (r ψ

9、4 態(tài)的疊加原理 態(tài)的疊加原理 4.1 基本描述 基本描述 在量子力學(xué)中我們知道， 波函數(shù)是用來描述微觀體系狀態(tài)的， 而波函數(shù)的疊加是一種態(tài)的疊加。這種疊加性并不是一定要與某種實際的物理量在空間的分布聯(lián)系在一起，而是“波的相干疊加性”與“波函數(shù)完全描述一個微觀體系的狀態(tài)” 兩個概念的概括。 態(tài)的疊加原理的具體描述：設(shè)體系處于 1 ψ 描述的態(tài)下測量某力學(xué)量 A 所得的結(jié)果是一個確切值 a1（ 1 ψ 稱為 A 的本征態(tài)， 1 ψ 所對應(yīng)

10、的本征值為 a1） 。又假設(shè)在 2 ψ 態(tài)下，測量 A的結(jié)果是另一個確切值 a2。則在 2 2 1 1 c c ψ ψ ψ + = 所描述的狀態(tài)下，測量 A 所得結(jié)果，既可能為 a1， 也可能為 a2， 而測得結(jié)果為 a1 或 a2 的相對幾率是完全確定的。 我們稱ψ 態(tài)是 1 ψ態(tài)和 2 ψ 態(tài)的線性疊加態(tài)。 量子力學(xué)中這種態(tài)的疊加， 導(dǎo)致在疊加態(tài)下觀測結(jié)果的不確定性。4.2 態(tài)的疊加原理與楊氏雙縫實驗 態(tài)的疊加原理與楊氏雙縫實驗 在