在沒(méi)有Isaacs條件下的隨機(jī)微分對(duì)策問(wèn)題.pdf

1、微分對(duì)策問(wèn)題實(shí)際上可以看作是一種雙（多）方的控制問(wèn)題，而通常的控制問(wèn)題可以看作是單人微分對(duì)策問(wèn)題。Isaacs[53]在1954年首次利用微分方程來(lái)研究對(duì)策問(wèn)題，即微分對(duì)策。自此以后，很多專家學(xué)者開(kāi)始研究微分對(duì)策問(wèn)題及其在經(jīng)濟(jì)、社會(huì)科學(xué)等方面的應(yīng)用。Fleming，Souganidis[46]1989年研究了二人零和隨機(jī)微分對(duì)策，證明了在Isaacs條件下，隨機(jī)微分對(duì)策的上值函數(shù)和下值函數(shù)是相等的，稱為該對(duì)策問(wèn)題有值函數(shù)。他們的工作把E

2、vans，Souganidis[40]的工作首次推廣到了隨機(jī)情形。隨著倒向隨機(jī)微分方程理論的不斷發(fā)展和成熟，有很多學(xué)者利用此理論來(lái)研究對(duì)策問(wèn)題。Hamadène，Lepeltier[49]利用倒向隨機(jī)微分方程的解，構(gòu)造了零和隨機(jī)微分對(duì)策的鞍點(diǎn)。Hamadène，Lepeltier，Peng[51]研究了非零和隨機(jī)微分對(duì)策，通過(guò)相關(guān)的倒向隨機(jī)微分方程的解，構(gòu)造了對(duì)策的Nash均衡點(diǎn)。Buckdahn，Cardaliaguet，Rainer

3、[9]研究了非零和隨機(jī)微分對(duì)策的Nash均衡問(wèn)題，證明了等價(jià)的Nash均衡支付的存在性。Cardaliaguet[26]首次研究了帶不對(duì)稱信息的零和微分對(duì)策，證明了值函數(shù)的存在性。
　　對(duì)于在沒(méi)有Isaacs條件下的零和隨機(jī)微分對(duì)策，其值函數(shù)的存在性問(wèn)題是一個(gè)公開(kāi)問(wèn)題。Krasovskii，Subbotin[60]首次考慮了在沒(méi)有Isaacs條件下的零和確定性微分對(duì)策，他們利用位置策略得到值函數(shù)的存在性。Buckdahn，Li，Q

4、uincampoix[22]，[23]在沒(méi)有Isaacs條件下，利用帶延遲的非預(yù)期混合策略，分別研究了零和微分對(duì)策與零和隨機(jī)微分對(duì)策，均得到了值函數(shù)的存在性。
　　本論文基于以上工作，進(jìn)一步研究了在沒(méi)有Isaacs條件下的二人零和微分對(duì)策與零和隨機(jī)微分對(duì)策、非零和微分對(duì)策與非零和隨機(jī)微分對(duì)策。最后，我們考慮了一類新型的反射平均場(chǎng)倒向隨機(jī)微分方程，即與值函數(shù)耦合的受控的反射平均場(chǎng)倒向隨機(jī)微分方程。
　　更詳細(xì)地，本論文的內(nèi)容和

5、結(jié)構(gòu)如下。
　　在第一章中，我們給出了第二章到第五章的引言。
　　在第二章中，我們主要考慮了在沒(méi)有Isaacs條件下的二人零和微分對(duì)策，其中代價(jià)泛函為帶不對(duì)稱信息的終端泛函。為克服Isaacs條件的缺失及保護(hù)各自的私人信息，兩個(gè)競(jìng)爭(zhēng)者均考慮了帶延遲的非預(yù)期隨機(jī)策略。我們的策略與Buckdahn，Quincampoix，Rainer和Xu[25]中的策略不同。首先，我們的策略依賴于對(duì)策開(kāi)始之前的信息，且雙方均可相互觀察;其次，

6、我們定義在時(shí)間區(qū)間[t，T](0≤t≤T)上的帶延遲的非預(yù)期隨機(jī)策略保證了伴隨[0，T]的劃分π的一個(gè)隨機(jī)策略關(guān)于一個(gè)更細(xì)的劃分π'(π(∈)π')仍然是一個(gè)帶延遲的非預(yù)期隨機(jī)策略，基于此性質(zhì)，我們研究了當(dāng)兩個(gè)競(jìng)爭(zhēng)者采取不同劃分時(shí)的上值函數(shù)和下值函數(shù)的極限行為。另一方面，我們研究了在同一個(gè)劃分下的上值函數(shù)和下值函數(shù)的性質(zhì)、相關(guān)的次-動(dòng)態(tài)規(guī)劃原理，利用Fenchel變換，考慮了與相關(guān)的Hamilton-Jacobi-Isaacs方程的聯(lián)系

7、，證明了值函數(shù)的存在性。
　　本章的主要?jiǎng)?chuàng)新點(diǎn):推廣了Buckdahn，Quincampoix，Rainer和Xu[25]中帶延遲的非預(yù)期隨機(jī)策略的定義，在沒(méi)有Isaacs條件下證明了帶不對(duì)稱信息的微分對(duì)策的值函數(shù)是存在的。進(jìn)一步，為方便值函數(shù)的數(shù)值計(jì)算，我們給出了值函數(shù)的刻畫(huà)。
　　第三章:在第二章的框架下，我們進(jìn)一步研究了帶對(duì)稱信息的二人非零和微分對(duì)策的Nash均衡支付的存在性。我們的結(jié)論把Buckdahn，Cardal

8、iaguet和Rainer[9]的工作推廣到了不用假設(shè)Isaacs條件的情形。
　　本章的主要?jiǎng)?chuàng)新點(diǎn):首次考慮了在沒(méi)有Isaacs條件下的非零和微分對(duì)策，給出了Nash均衡支付的等價(jià)定義。我們研究了Nash均衡支付的刻畫(huà)性質(zhì)，利用此性質(zhì)證明了Nash均衡支付的存在性。
　　上述兩章來(lái)自于論文:
　　J.Li, W.Li.Zero-sum and nonzero-sum differential games withou

9、t Isaacs condition.已投稿。文章網(wǎng)址:http://arxiv.org/abs/1507.04989。
　　在第四章中，我們主要研究了在沒(méi)有Isaacs條件下的二人非零和隨機(jī)微分對(duì)策的Nash均衡問(wèn)題，把第三章關(guān)于微分對(duì)策的工作推廣到了隨機(jī)微分對(duì)策的情形。伴隨[0,T]的劃分π，我們選擇一適當(dāng)?shù)膸а舆t的非預(yù)期隨機(jī)策略來(lái)研究非零和隨機(jī)微分對(duì)策的Nash均衡問(wèn)題。我們首先證明了在沒(méi)有Isaacs條件下的零和隨機(jī)微分對(duì)

10、策的值函數(shù)是存在的，進(jìn)而給出了非零和隨機(jī)微分對(duì)策的Nash均衡支付的刻畫(huà)，利用此刻畫(huà)證明了Nash均衡支付的存在性。
　　本章的主要?jiǎng)?chuàng)新點(diǎn):首次考慮了在沒(méi)有Isaacs條件下的非零和隨機(jī)微分對(duì)策，給出了一新的Nash均衡支付的定義。我們研究了Nash均衡支付的刻畫(huà)性質(zhì)，利用此性質(zhì)證明了Nash均衡支付的存在性。
　　本章來(lái)自于論文:
　　J.Li, W.Li.Nash equilibrium payoffs for n

11、onzero-sum stochastic differential gameswithout Isaacs condition.已投稿。
　　在第五章中，我們考慮了一類新型的反射平均場(chǎng)倒向隨機(jī)微分方程，即與值函數(shù)耦合的受控的反射平均場(chǎng)倒向隨機(jī)微分方程。利用逼近的方法，我們不僅證明了此類方程解的存在唯一性，而且給出了相關(guān)的比較定理。通過(guò)推廣Peng在[104]中引入的隨機(jī)倒向半群的定義，我們得到了相關(guān)的動(dòng)態(tài)規(guī)劃原理。進(jìn)一步，我們證

12、明了與反射平均場(chǎng)倒向隨機(jī)微分方程耦合的值函數(shù)是相關(guān)的帶障礙的非局部拋物偏微分方程的唯一粘性解。
　　本章的主要?jiǎng)?chuàng)新點(diǎn):把Hao和Li[50]的工作推廣到了帶反射的情形，證明了與值函數(shù)耦合的受控的反射平均場(chǎng)倒向隨機(jī)微分方程解的存在唯一性，并為相關(guān)的帶障礙的拋物型偏微分方程的粘性解提供了概率解釋。
　　本章來(lái)自于論文:
　　J.Li,W.Li.Controlled reflected mean-field backward