Hardy-Littlewood方法的若干應(yīng)用.pdf

1、1742年，哥德巴赫在與歐拉的兩封通信中，提出了著名的哥德巴赫猜想，具體可以表述為:(1)任何一個(gè)不小于6的偶數(shù)，都可以表示成兩個(gè)奇素?cái)?shù)之和;(2)任何一個(gè)不小于9的奇數(shù)，都可以表示成三個(gè)奇素?cái)?shù)之和.其中(1)被稱為偶數(shù)哥德巴赫猜想，(2)被稱為奇數(shù)哥德巴赫猜想.1937年，Vinogradov[64]基本解決了奇數(shù)哥德巴赫猜想.他借助Hardy-Littlewood方法并結(jié)合素變量三角和的估計(jì)證明了每一個(gè)充分大的奇數(shù)都可以表示成三個(gè)奇

2、素?cái)?shù)之和.2013年，奇數(shù)哥德巴赫猜想被Helfgott[22，23]徹底解決.作為哥德巴赫問(wèn)題的非線性推廣，華林-哥德巴赫問(wèn)題也是數(shù)學(xué)家關(guān)注的焦點(diǎn)問(wèn)題之一.這一類問(wèn)題主要研究滿足某些同余條件的充分大的正整數(shù)N表為素?cái)?shù)方冪的可能性，即研究方程N(yùn)=pk1+pk2+…+pks(0.1)的可解性，其中p1，…，ps是素?cái)?shù).設(shè)H（k）表示使得對(duì)于所有滿足某些同余條件的充分大的N，方程(0.1)有解時(shí)s的最小值.對(duì)于固定的k，我們關(guān)心H（k）的上

3、界.1938年，華羅庚[26]在對(duì)華林-哥德巴赫問(wèn)題的研究中，以Hardy-Littlewood方法作為基本工具，結(jié)合Vinogradov關(guān)于素變量三角和的估計(jì)得到了深刻的結(jié)果.他證明了H(k)≤2k+1對(duì)于所有k≥1都成立.當(dāng)k≤3時(shí)，這一結(jié)果仍然是迄今為止最好的.對(duì)于4≤k≤7的情況，H（k）的上界得到了很大程度的改進(jìn).到目前為止最好的結(jié)果為:H(4)≤13（趙立璐[72]）;H(5)≤21(Kawada和Wooley[32]);H

4、(6)≤32（趙立璐[72]）;H(7)≤45(Kumchev和Wooley[36]).當(dāng)k≥8時(shí)，目前最好的結(jié)果是由Kumchev和Wooley得到的，具體可參見(jiàn)文[36].這一系列結(jié)果，大部分是在應(yīng)用Hardy-Littlewood方法的基礎(chǔ)上得到的.根據(jù)Hardy在文[14]中的說(shuō)法，Hardy-Littlewood方法應(yīng)該可以解決堆壘數(shù)論中包括哥德巴赫猜想、華林問(wèn)題等在內(nèi)的許多經(jīng)典問(wèn)題.雖然偶數(shù)哥德巴赫猜想至今尚未解決，但就堆壘

5、數(shù)論問(wèn)題的研究和發(fā)展來(lái)看，Hardy-Littlewood方法的確是研究堆壘數(shù)論問(wèn)題的強(qiáng)有力工具之一.
　　本文我們將應(yīng)用Hardy-Littlewood方法研究幾類堆壘數(shù)論問(wèn)題.考慮的第一個(gè)問(wèn)題是幾乎相等的混合方次華林-哥德巴赫問(wèn)題.1953年，Prachar在文[51]中首先研究了下面方程的可解性n=p22+p33+p44+p55，(0.2)其中pi(2≤i≤5)是素?cái)?shù).他證明了幾乎所有的偶數(shù)n都可以表示成(0.2)的形式.設(shè)

6、E(N)表示不超過(guò)N且不能寫成(0.2)式的偶數(shù)n的個(gè)數(shù).在[51]中，Prachar證明了E(N)(＜＜)N(log N)-30/47+ε.后來(lái)Bauer[1，2]，任秀敏和曾啟文[57，58]等都對(duì)E(N)的上界做了進(jìn)一步的研究.目前最好的結(jié)果是趙立璐在文[73]中得到的，他證明了E(N)(＜＜)N15/16+ε.
　　在本文中，我們研究(0.2)式在素變量幾乎相等時(shí)的情形.具體來(lái)說(shuō)，該問(wèn)題是研究方程{n=p22+p33+p4

7、4+p55，|pkk-N/4|≤U,2≤k≤5(0.3)的可解性，其中U=N1-θ+ε，N是一個(gè)充分大的數(shù).令E(N，U)表示不能寫成(0.3)且滿足N-4U≤n≤N+4U的偶數(shù)n的個(gè)數(shù).在這一問(wèn)題中，我們希望對(duì)盡可能大的θ∈(0，1)，有E(N，U)(＜＜)U1-ε其中U=N1-θ+ε.(0.4)2012年，李太玉和唐恒才在[37]中首先對(duì)這一問(wèn)題進(jìn)行了研究并證明了(0.4)對(duì)于θ=1/264成立.本文也對(duì)方程(0.3)進(jìn)行了研究并改

8、進(jìn)了[37]中的結(jié)果.我們的主要定理如下:
　　定理1在上述記號(hào)下，(0.4)式對(duì)θ=4/325成立.
　　繼文[51]之后，Prachar在另一篇文章[52]中證明了任意充分大的奇數(shù)N都可以表示成N=p1+p22+p33+p44+p55.(0.5)在[37]中，李太玉和唐恒才研究了(0.5)式在素變量幾乎相等時(shí)的情形，即研究了方程{N=p1+p22+p33+p44+p55，|pkk-N/4|≤U,1≤k≤5(0.6)的可解

9、性，其中U=N1-θ+ε.他們證明了當(dāng)θ=1/264時(shí)(0.6)式可解.在本文中，我們利用定理1，證明了下面這個(gè)結(jié)果.
　　定理2對(duì)于任意充分大的奇數(shù)N和U=N1-4/325+ε，素變量方程(0.6)可解.
　　本文考慮的第二個(gè)問(wèn)題是與除數(shù)函數(shù)有關(guān)的一類均值估計(jì)問(wèn)題.記d(n）為除數(shù)函數(shù)，k是一個(gè)正整數(shù).對(duì)于X＞1，考慮關(guān)于除數(shù)函數(shù)的如下形式的均值:T（k，s;X）:=Σ1≤m1，…，ms≤X d(mk1+…+mks).(0

10、.7)對(duì)于T(k，s;X)的估計(jì)，以前的工作主要集中在k=2的情形.最早研究這個(gè)問(wèn)題的是Gafurov,他在[10，11]中研究了當(dāng)s=2時(shí)的情形，證明了T(2,2;X)=A1X2logX+A2X2+ O(X5/3log9X),其中A1，A2是常數(shù).上式的余項(xiàng)被余剛在文[69]中改進(jìn)至O(X3/2+ε).2000年，C.Calderón和M.J.de Velasco[6]研究了s=3時(shí)的情形.他們證明了T(2,3;X)=8ξ(3)/5ξ

11、(4)X3logX+O(X3).后來(lái)這一結(jié)果被郭汝庭和翟文廣[13]改進(jìn)至T(2,3;X)=8ξ(3)/5ξ(4)X3logX+(C1I2+C2I1)X3+O(X8/3+ε),其中Ci，Ij(i，j=1，2)是常數(shù).2014年，趙立璐[71]將上式余項(xiàng)改進(jìn)為O(X2log7X).此外，胡立群[24]證明了當(dāng)s=4時(shí)，T(2，4;X)有如下漸進(jìn)公式:T(2,4;X)=2C'1I'1X4logX+(C'1I'2+C'2I'1)X4+O(X7

12、/2+ε),其中C'i，I'j（i，j=1，2）是常數(shù).隨后，胡立群和劉華鋒在文[25]中，將上式余項(xiàng)進(jìn)一步改進(jìn)為O(X3log7X).
　　本文我們給出了當(dāng)k≥2時(shí)T(k，s;X)的漸進(jìn)公式.當(dāng)k=2時(shí)，我們的主要結(jié)果如下:
　　定理3令T(k，s;X)如(0.7)式所定義且k=2.那么當(dāng)s≥3時(shí)，有T(2,s;X)=2C1,sI1,sXslogX+(C1,sI2,s+C2,sI1,s)Xs+ Os(Xs+1/2logs+

13、4 X+Xs-2logX),其中ε＞0是任意給定的常數(shù)，Ci，s和Ij,s（i，j=1，2）由(1.16)式定義.這里Ci，s（i=1，2）是該問(wèn)題的奇異級(jí)數(shù)，它是絕對(duì)收斂的且滿足Ci，s(＞＞)1.注意到，當(dāng)s=3時(shí)，定理3的結(jié)果與趙立璐在文[71]中的結(jié)果一致.當(dāng)s=4時(shí)，定理3中的余項(xiàng)為O(X5/2log8X)，此結(jié)果改進(jìn)了胡立群和劉華鋒在文[25]中的結(jié)果.對(duì)于k≥3，我們有下面的定理:
　　定理4設(shè)T(k，s;X)由(0

14、.7)式定義且k≥3.那么對(duì)于s＞min{2k-1，k2+k-2}，我們有T(k,s;X)=kC1，k，sI1，k，sXslogX+(C1,k,sI2，k，s+C2，k，sI1,k,s)Xs+O(Xs-θ+ε),其中θ={k（1/2k-1-1/s）當(dāng)3≤k≤6且s＞2k-1，s-k2-k+2/2sk-2s當(dāng)k≥7且s＞k2+k-2.這里Ci，k，s和Ij,k，s(i，j=1，2)由(1.14)式和(1.15)式定義.奇異級(jí)數(shù)Ci，k，s