Littlewood-Richardson系數(shù)的組合學(xué).pdf

1、Littlewood-Richardson系數(shù)是組合數(shù)學(xué)中的一個(gè)重要研究對(duì)象，同時(shí)也是代數(shù)以及代數(shù)幾何中的重要研究對(duì)象。在組合數(shù)學(xué)中，Littlewood—Richardson系數(shù)是斜Schur函數(shù)關(guān)于Schur函數(shù)的展開式中的系數(shù).該類系數(shù)有多種組合解釋，其中最著名的就是由Littlewood和Richardson于1934年提出的Littlewood—Richardson法則，即系數(shù)cλμν。，等于形狀為λ/μ，類型為ν，并且反閱讀

2、字為格排列的半標(biāo)準(zhǔn)楊表的個(gè)數(shù).在群表示理論中，Littlewood—Richardson系數(shù)給出了一般線性群的不可約表示ψλ在與ψμ與ψν的張量積中的重?cái)?shù)。在代數(shù)幾何理論中，它們足兩個(gè)Schubert類乘積展開式中的系數(shù)。
　　 本篇論文的主要結(jié)果是關(guān)于Littlewood—Richardson系數(shù)的一些組合性質(zhì)及其在組合數(shù)學(xué)中的應(yīng)用。首先，我們利用hive模型研究了Littlewood—Richardson系數(shù)的一些組合性質(zhì)，

3、并給出了所有單重的斜Schur函數(shù)的刻畫，即在這類斜Schur函數(shù)關(guān)于Schur函數(shù)的展開式中，所有的系數(shù)均為0或者1。然后，我們通過研究組合數(shù)學(xué)中的一個(gè)g對(duì)數(shù)凸問題給出了Littlewood—Richardson系數(shù)的一個(gè)應(yīng)用.我們證明了多項(xiàng)式序列{∑nk=0(nk)2qk}n≥0的q對(duì)數(shù)凸性質(zhì)，其中Littlewood-Richardson系數(shù)的一個(gè)重要性質(zhì)--對(duì)偶Pieri法則在證明過程中起到了重要的作用。
　　 在第一章

4、中，我們首先給出了對(duì)稱函數(shù)，特別是Schur函數(shù)和Littlewood－Richardson系數(shù)的發(fā)展歷史和背景知識(shí)，同時(shí)也介紹了q對(duì)數(shù)凸和q對(duì)數(shù)凹的背景知識(shí)，然后給出了本篇論文將要用到的相關(guān)記號(hào)和定義。
　　 在第二章中，我們利用hive模型討論了斜Schur函數(shù)展成Schur函數(shù)的表達(dá)式中Littlewood—Richardson系數(shù)為單重的問題。Hive模型是一個(gè)可以用來研究Littlewood-Richardson系數(shù)及

5、其性質(zhì)的組合工具，它是Littlewood—Richardson法則的又一種表現(xiàn)形式.借助hive模型，我們給出了斜Schur函數(shù)關(guān)于Schur函數(shù)的展開式為單重的充分必要條件。從證明過程中我們可以看到，與傳統(tǒng)的Littlewood-Richardson法則相比，利用hive模型來討論Littlewood—Richardson系數(shù)可以使得問題的組合根源更加清晰，體現(xiàn)了hive模型在研究Littlewood-Richardson系數(shù)方面的

6、優(yōu)勢(shì)，特別是在證明本章主要定理中的必要條件時(shí)，hive模型使得證明更加直觀。同時(shí)，通過hive模型我們還能更深入地研究展開式中Littlewood—Richardson系數(shù)不滿足單重條件的一些內(nèi)在原因。
　　 在第三章中，我們利用Littlewood-Richardson系數(shù)的一些性質(zhì)證明了王毅等人提出的關(guān)于多項(xiàng)式序列{∑nk=0(nk)2qk}n≥0的q對(duì)數(shù)凸性質(zhì)的一個(gè)猜想，該方法給出了處理組合數(shù)學(xué)中q對(duì)數(shù)凸問題的一種新方法.

7、該類多項(xiàng)式是集合[n]上類型B的不交劃分的生成函數(shù)，同時(shí)也出現(xiàn)在根系格增長級(jí)數(shù)的相關(guān)理論中.對(duì)于集合[n]上類型A的不交劃分的生成函數(shù)，即Narayana多項(xiàng)式，陳永川等人已經(jīng)證明了它的q對(duì)數(shù)凸性質(zhì)。通過利用Schur函數(shù)理論中的Pieri法則和Jacobi-Trudi恒等式，我們將一個(gè)關(guān)于初等對(duì)稱函數(shù)乘積的和式展開成Schur函數(shù)，并證明了該展開式的Schur非負(fù)性，然后通過利用對(duì)稱函數(shù)的主特殊化證明其q對(duì)數(shù)凸性質(zhì)。同時(shí)，我們還證明了