Eshelby橢球夾雜的完整解析解及基于FFT的數(shù)值解法研究.pdf

1、課題來源于國(guó)家自然科學(xué)基金項(xiàng)目“軸承鋼接觸疲勞的微觀結(jié)構(gòu)演化機(jī)理和實(shí)驗(yàn)研究”(51475057)、中央高?；究蒲袠I(yè)務(wù)費(fèi)專項(xiàng)項(xiàng)目“高周接觸疲勞的白蝕帶微觀機(jī)理研究”(CDJZR14285501)、前沿交叉學(xué)科培育專項(xiàng)“非均質(zhì)材料接觸疲勞的微觀力學(xué)機(jī)理”(106112017CDJQJ328839)和重慶市科技計(jì)劃項(xiàng)目“非金屬夾雜物對(duì)軸承鋼疲勞壽命影響的蒙特卡羅仿真”(cstc2013jcyjA70013)。在實(shí)際工程應(yīng)用中，材料的機(jī)械性能

2、和可靠度對(duì)重要設(shè)備的壽命和功能有著非常大的影響。例如，在航空飛行器、人造衛(wèi)星等空間機(jī)械中，其零部件往往不可更換，軸承、變速器、齒輪等機(jī)械傳動(dòng)件的失效，會(huì)致使整個(gè)機(jī)械系統(tǒng)失效。同時(shí)，材料的微觀結(jié)構(gòu)影響著材料的宏觀表現(xiàn)，從材料科學(xué)和微觀力學(xué)的角度探索、研究雜質(zhì)對(duì)材料和機(jī)械傳動(dòng)件的物理和機(jī)械性能的影響，有助于提升材料的機(jī)械性能及可靠度。本文以全空間或半空間夾雜體為研究對(duì)象，根據(jù)Mura和Eshelby的微觀力學(xué)理論，研究雜質(zhì)對(duì)基體材料應(yīng)力彈性

3、場(chǎng)分布的影響，探索材料微觀失效機(jī)理，期望為提高材料的力學(xué)或物理性能提供有效指導(dǎo)。
　　本研究主要內(nèi)容包括：⑴根據(jù)格林函數(shù)的方法，推導(dǎo)出了位移，梯度、應(yīng)變及應(yīng)力的 Eshelby張量顯式表達(dá)式，同時(shí)也給出了它們的矩陣形式。借助共焦虛擬橢球單位外法向向量的概念，使得Eshelby張量表達(dá)式更為緊湊、簡(jiǎn)潔，且彰顯出其幾何意義。同時(shí)，通過分析橢球夾雜體外場(chǎng)和內(nèi)場(chǎng)的彈性場(chǎng)，對(duì)Eshelby張量的對(duì)稱性進(jìn)行了討論，亦論證了應(yīng)力、應(yīng)變和應(yīng)變梯度

4、Eshelby張量?jī)?nèi)場(chǎng)點(diǎn)的常數(shù)值，只與橢球的彈性模量和形狀有關(guān)。應(yīng)變、應(yīng)力Eshelby張量在橢球邊界處并不連續(xù)，而位移Eshelby張量在橢球邊界處連續(xù)，且內(nèi)場(chǎng)點(diǎn)的位移Eshelby張量與其坐標(biāo)變量成線性關(guān)系。最終，為了驗(yàn)證本文計(jì)算結(jié)果的正確性，給出了一個(gè)驗(yàn)證算例，算例的對(duì)比結(jié)果一致，驗(yàn)證了本公式的正確性及準(zhǔn)確性。⑵基于記號(hào)方法，給出了全空間中單位長(zhǎng)方體夾雜受均勻本征應(yīng)變所產(chǎn)生應(yīng)力場(chǎng)和位移場(chǎng)的顯式封閉表達(dá)式，并開發(fā)出了全空間任意形狀?yuàn)A

5、雜解的完全解法。本文將計(jì)算區(qū)域離散為多個(gè)均勻的長(zhǎng)方體網(wǎng)格，進(jìn)而以上述長(zhǎng)方體單元為基本單元，借助長(zhǎng)方體基本單元的彈性解，提出了任意形狀?yuàn)A雜體彈性場(chǎng)的半解析方法。由于現(xiàn)有的解析解均為顯性且相應(yīng)的計(jì)算方法直接有效，其效率較之前的方法提高了四倍以上，同時(shí)該方法也優(yōu)于傳統(tǒng)有限元法，具有簡(jiǎn)單，效率高的特點(diǎn)。⑶基于給出的半解析方法，其位移和應(yīng)力求解公式包含3-D離散卷積的形式。為了提高計(jì)算效率，本文通過離散快速傅里葉變換(FFT)算法高效地加速計(jì)算。

6、通過直接算法和離散傅里葉算法的計(jì)算時(shí)間對(duì)比，可以看出離散卷積快速傅里葉變換算法可以顯著提高計(jì)算效率。另一方面，為了驗(yàn)證本文數(shù)值方法的準(zhǔn)確性，給出了解析解和數(shù)值解的算例對(duì)比，兩者計(jì)算結(jié)果一致，說明本文的半解析求解方法高效、準(zhǔn)確。⑷對(duì)求解半空間橢球問題的方法進(jìn)行了討論，詳細(xì)介紹了鏡像法、勢(shì)函數(shù)法和基于FFT的網(wǎng)格劃分方法。針對(duì)勢(shì)函數(shù)方法，推導(dǎo)出了半空間橢球體夾雜受均勻熱應(yīng)變的顯式解析解，并利用勢(shì)函數(shù)方法和鏡像法進(jìn)行了算例分析。同時(shí)基于歐拉角