平面微分系統(tǒng)的等時(shí)中心問題.pdf

1、若平面微分系統(tǒng)的孤立奇點(diǎn)的某鄰域被周期軌充滿，則稱此奇點(diǎn)為中心。若在中心的某鄰域內(nèi)的周期軌具有相同周期，則稱此中心為等時(shí)中心。對周期軌周期的研究是微分方程定性理論探討中的一個(gè)重要領(lǐng)域．周期的性質(zhì)與其他定性性質(zhì)密切相關(guān)。例如，在同(異)宿分岔和次諧分岔中，一個(gè)非退化條件就是周期的局部單調(diào)性。因此，判定一個(gè)中心是否是等時(shí)中心(稱為等時(shí)中心問題或中心的等時(shí)性問題)是很有必要的．等時(shí)中心問題研究的主要困難是計(jì)算周期常數(shù)或等時(shí)常數(shù)的代數(shù)簇以及尋找

2、線性化變換或橫截交換系統(tǒng)．本文研究平面微分系統(tǒng)的等時(shí)中心問題． 近年來，等時(shí)中心問題吸引了許多學(xué)者(如Chavarriga、Chicone、Christo-pher、Sabatini、Romanovski等)的目光，并出現(xiàn)了很多有意義的工作。然而，等時(shí)中心問題的研究迄今還沒有一個(gè)成熟的方法，并且，由于其中涉及大量多元多項(xiàng)式的代數(shù)簇計(jì)算，計(jì)算機(jī)的計(jì)算能力也限制著此問題的發(fā)展。因此，許多微分系統(tǒng)的等時(shí)中心問題還沒有得到解決，甚至低次

3、(如三次)多項(xiàng)式微分系統(tǒng)的等時(shí)中心問題也沒有被完全解答． Chouikha對阻尼項(xiàng)是速度平方的Lienard型方程的等時(shí)中心給出了一個(gè)復(fù)雜的判定原則。在第二章中，我們對他的判定原則給出了一個(gè)直接計(jì)算參數(shù)的方法．從而，通過把約化時(shí)間可逆三次多項(xiàng)式微分系統(tǒng)變換為Lienard型方程，我們有效地對此三次多項(xiàng)式微分系統(tǒng)的等時(shí)中心給出了參數(shù)條件． 等時(shí)中心的判定往往涉及大規(guī)模多元多項(xiàng)式的代數(shù)簇計(jì)算．在第三章中，我們在前人結(jié)式消元法

4、的基礎(chǔ)上從代數(shù)上嚴(yán)格證明了一個(gè)代數(shù)簇的分解公式。這個(gè)公式幫助我們得到了前人所沒有解決的三類具有二次等時(shí)中心的時(shí)間可逆三次微分系統(tǒng)的等時(shí)中心必要條件。接著，我們通過尋找線性化變換證明了滿足這些條件的系統(tǒng)在原點(diǎn)處的中心是等時(shí)的．從而，對二次等時(shí)中心在時(shí)間可逆三次擾動(dòng)下保持等時(shí)性的充要條件的研究得以完成． 非雙曲系統(tǒng)的線性化是當(dāng)今十分重要的問題，本質(zhì)上就是要尋找等時(shí)中心條件。Christopher對二次和具有三次齊次非線性項(xiàng)的平面復(fù)系

5、統(tǒng)解決了線性化問題。在第四章中，我們對具有五次齊次非線性項(xiàng)的復(fù)系統(tǒng)通過計(jì)算線性化量的代數(shù)簇和證明線性化變換的存在性，得到了系統(tǒng)線性化的參數(shù)條件。我們也相應(yīng)給出了具有五次齊次非線性項(xiàng)的實(shí)系統(tǒng)線性化的參數(shù)條件，從而，完成了對線性等時(shí)中心在五次齊次擾動(dòng)下保持等時(shí)性的充要條件的研究，推進(jìn)了Chavarriga等人的工作。 2002年， Jarque和Villadelprat在J．Diff．Equa．上研究了四次Hamilton系統(tǒng)的等時(shí)中心問題