并行GPBiCG(m,l)算法與預處理技術.pdf

1、許多大規(guī)?？茖W計算問題的數(shù)值模擬最終歸結為大型稀疏線性或非線性代數(shù)方程組的求解.而代數(shù)方程組的求解時間往往在整體數(shù)值模擬時間中占有非常大的比重，以致成為整體數(shù)值模擬的瓶頸.因此，設計高效的代數(shù)解法器是求解這類問題的關鍵所在，同時也是設計相關高性能軟件的基石.目前，在給定Krylov子空間迭代方法的前提下，有兩種途徑可以降低大型稀疏代數(shù)方程組的求解時間.一種是并行計算，另一種是使用預處理技術.
　　本文主要研究了三項內(nèi)容:一種并行K

2、rylov子空間算法的設計與分析;一種新的基于模板消元的預處理技術和在研究預處理理論中遇到的一類特征值反問題.
　　首先，針對Krylov子空間迭代法并行計算的瓶頸問題:全局通信，以文獻中最近出現(xiàn)的GPBiCG(m，l)方法為例來說明如何設計并行Krylov子空間方法.設計思想是將原方法中的每次迭代需要的三個內(nèi)積同步點降低到一個.我們稱新方法為改進的GPBiCG(m，l)(簡稱為IGPBiCG(m，l))方法.本文理論上證明了IG

3、PBiCG(m，l)方法的并行可擴展性比原方法好3倍以上，證明了當問題的規(guī)模足夠大時，在相同條件下IGPBiCG(m，l)方法的求解時間相比原方法節(jié)省趨向于66％.數(shù)值試驗得到了與理論分析相吻合的結果.另外，盡管GPBiCG(1，0)方法數(shù)學上等價于BiCGSTAB，但是數(shù)值試驗表明IGPBiCG(1，0)方法的收斂性比中的IBiCGSTAB方法好.
　　其次，提出了一種基于模板消元的新的預處理技術.文提出了基于數(shù)學模板(Sten

4、cil)消元方法來構造并行差分格式，我們將這種方法發(fā)展為一種模板消元預處理技術.對于由五點差分格式或七點差分格式離散二維或三維偏微分方程得到的，經(jīng)過對角尺度化的大型稀疏線性方程組，證明了使用模板消元預處理技術后，利用Krylov子空間迭代法求解預處理線性方程組的速度是求解原方程組速度的兩倍.這種預處理技術易于實施，且容易和其它現(xiàn)有的預處理技術結合使用.數(shù)值試驗結果表明，將其與ILU(0)等預處理方法結合使用，能明顯地加快Krylov子空

5、間迭代法的收斂速度.另外，基于數(shù)學模板消元技術，我們提出了具有良好并行性的代數(shù)模板消元法.討論了如何利用代數(shù)模板消元法求矩陣的逆，并且分析了這種方法計算復雜度.
　　最后，為了保持特殊矩陣之逆的一些性質，我們提出了一種簡單且實用的算法，以求解非負矩陣和M矩陣的特征值反問題.給出了算法的穩(wěn)定性、敏感性、計算量分析以及非負矩陣反問題與M矩陣反問題可解的充分條件和必要條件;將新算法發(fā)展成為一種多層自適應算法，并以大量的算例驗證了算法的有